积分修正类轨道计算方法综述

doi:10.7527/S1000-6893.2025.32528

电子电气工程与控制

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积分修正类轨道计算方法综述

王昌涛¹^,², 代洪华¹^,²(), 董一超¹^,², 石琳¹^,², 杨文传¹^,², 岳晓奎¹^,²

^1.西北工业大学航天学院，西安 710072
^2.航天飞行动力学技术国家级重点实验室，西安 710072

收稿日期:2025-07-08 修回日期:2025-09-01 接受日期:2025-09-26 出版日期:2025-10-10 发布日期:2025-10-09
通讯作者: 代洪华 E-mail:hhdai@nwpu.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金(52425212);国家重点研发计划(2021YFA0717100);西北工业大学博士论文创新基金(CX2025033)

Review of integral correction methods for orbit calculation

Changtao WANG¹^,², Honghua DAI¹^,²(), Yichao DONG¹^,², Lin SHI¹^,², Wenchuan YANG¹^,², Xiaokui YUE¹^,²

^1.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China
^2.National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics （AFDL），Xi’an 710072，China

Received:2025-07-08 Revised:2025-09-01 Accepted:2025-09-26 Online:2025-10-10 Published:2025-10-09
Contact: Honghua DAI E-mail:hhdai@nwpu.edu.cn
Supported by:
National Natural Science Fundation of China(52425212);National Key Research and Development Program of China(2021YFA0717100);Innovation Foundation for Doctor Dissertation of Northwestern Polytechnical University(CX2025033)

摘要/Abstract

摘要：

针对航天器轨道的快速计算问题，综述了积分修正类轨道算法的相关研究。首先在统一的配点符号体系下系统介绍了不同的积分修正类算法，并进行了分类与对比；然后聚焦该类算法的大步长和并行计算优势，梳理了其在参数优化和并行加速方面的研究进展；而后在航天器轨道设计、高精度轨道递推和飞行器制导等典型应用中阐述了积分修正类算法的特有优势；最后，结合算法特点与轨道计算需求分析了未来发展趋势，提出了值得研究的方向。

关键词: 轨道快速计算, 轨道递推, 积分修正, 参数优化, 并行计算

Abstract:

To address the high-efficiency orbit calculation problem of spacecraft， this paper reviews research on integral correction methods. First， a variety of integral correction methods based on different principles are systematically introduced within a unified notation framework， and a classification comparison is conducted. Then， focusing on the advantages of these methods in large-step and parallel computation， the research progress in parameter optimization and parallel acceleration is summarized. Subsequently， the unique superiority of integral correction methods is elaborated by typical applications such as spacecraft orbit design， high-precision orbit propagation， and spacecraft guidance. Finally， combining the methods’ characteristics and the orbit calculation requirements， the development trends and directions worth studying are analyzed and proposed.

Key words: high-efficiency orbit calculation, orbit propagation, integral correction, parameter optimization, parallel computation

中图分类号:

V412.4⁺1

王昌涛, 代洪华, 董一超, 石琳, 杨文传, 岳晓奎. 积分修正类轨道计算方法综述[J]. 航空学报, 2026, 47(5): 332528.

Changtao WANG, Honghua DAI, Yichao DONG, Lin SHI, Wenchuan YANG, Xiaokui YUE. Review of integral correction methods for orbit calculation[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2026, 47(5): 332528.

图/表 15

图 1

图 2

图 3

表1

零阶与一阶积分修正类算法的对比

参数	二体模型		EGM2008
参数	零阶	一阶	零阶	一阶
$(t c (J) + t c (g)) / t c (g)$	5.96		1.60
$E / m$	$5.9 × 10 - 5$	$3.1 × 10 - 5$	$2.7 × 10 - 7$	$3.7 × 10 - 7$
$t c / s$	0.012	0.041	5.385	4.844
$N i c$	1 309	698	399	224

表1

表2

积分修正类算法的特点

积分修正类算法	优点	缺点
2010 MCPI^［18］式（28）	无需计算雅可比矩阵	收敛速度慢
2017 FAPI^［21］式（35）、式（36）	直接修正，无需预估修正；收敛速度快	一阶方法引入雅可比矩阵，单次迭代计算量大
2019 APC^［22］式（48）	收敛速度快	引入雅可比矩阵，单次迭代计算量大
2020 MNP^［23］式（56）	修正次数 $K$ 可以平衡收敛速度与单次迭代计算量	$K$ 的取值难以确定，偏大或偏小都会导致低效

表2

图 4

图 5

表3

图 6

表4

积分修正类算法参数优化方案总结

参数优化方案	误差评估	配点更新	步长更新	调整时机	优点	缺点
自适应Chebyshev-Picard迭代法，APC^［22］	微分函数Chebyshev近似多项式最后3项的系数，式（59）	配点倍增，优先调整配点	奇数分段策略，达到配点数上界时分段数加2	每个区间的迭代完成后	误差评估代价低；配点倍增策略支持“热启动”；奇数分段策略使算法精度均衡	依赖轨道的先验知识
自适应局部变分迭代法，ALVIM^［42］	2次 $M + 1$ 个配点处状态估计值的差值，式（61）	式（66）与式（67），优先调整配点	用户自定义比例放缩或重置		适用于一般轨道问题的求解	无法发挥大步长优势；配点调整频繁降低了效率
打磨法，PM^［44］	微分函数的偏导范数， $∂ g (x, t) / ∂ x$	按划分区间的比例更新	在微分函数偏导范数极大值处划分区间，优先调整步长		从大到小划分步长，发挥了算法大步长计算优势；优先调整步长减少了配点的调整	微分函数的偏导数范数计算量大，误差评估代价较高
修订Chebyshev-Picard迭代法，RPC^［45］	迭代误差 $e i t$ 和插值误差 $e i n$ 间关系，式（72）和式（73）	用户自定义	用户自定义	每次迭代后	细粒度的参数优化	迭代误差和插值误差间的关系较难平衡

表4

图 7

图 8

表5

硬件核数对并行效果的影响（J2模型）

平台	ARM	FPGA	MATLAB	GPU
型号	CortexA9	ZYNQ 7020	R2018b on Inter（R） i5-13500	NVIDIA Quadro P1000
核数	2	12	20	640
$t u t p$ /%	15.38	22.26	35.48	61.98
计算耗时/ms	101.10	34.30	8.60	5.38
加速比	1.00	2.95	11.76	18.79

表5

表6

轨道规模对并行效果的影响（MATLAB平台）

参数	数值
轨道规模 $K c ⋅ L k$	1	5	10	15	20
$t u t p$ /%	35.48	42.16	44.68	47.07	50.48
平均每轨耗时/ms	8.60	1.92	1.30	1.25	1.23
加速比	1.00	4.48	6.62	6.88	6.99

表6

表7

模型对并行效果的影响（MATLAB与GPU平台）

参数		$J 2$	EGM2008	FEM
$t u t p$ /%	MATLAB	35.48	33.27	39.43
$t u t p$ /%	GPU	61.98	57.51	79.67
计算耗时/ms	MATLAB	8.60	5 963.61	265.10
计算耗时/ms	GPU	5.38	1 573.55	19.85
GPU/MATLAB加速比		1.59	3.79	13.35

表7

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主管单位：中国科学技术协会主办单位：中国航空学会北京航空航天大学

参数	ODE113	APC	ALVIM	PM	RPC
计算耗时/ms	102.2	25.1	43.0	29.1	20.1
平均步长/s	188.7	7 121.2	5 718.0	7 554.4	4 500.0
平均配点数		25.65	22.35	25.00	20.92

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[2]	周大鹏, 曲晓雷. 基于知识引导智能鸽群优化的舰载机着舰控制[J]. 航空学报, 2024, 45(S1): 730801-730801.
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[13]	陈坚强, 吴晓军, 张健, 李彬, 贾洪印, 周乃春. FlowStar:国家数值风洞(NNW)工程非结构通用CFD软件[J]. 航空学报, 2021, 42(9): 625739-625739.
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