极小失效概率估计的元模型二次重要抽样方法

doi:10.7527/S1000-6893.2025.32316

固体力学与飞行器总体设计

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极小失效概率估计的元模型二次重要抽样方法

李星霖¹^,²^,³, 吕震宙¹^,²^,³(), 陈亦舟¹^,²^,³

^1.西北工业大学航空学院，西安 710072
^2.清洁高效透平动力装备全国重点实验室，西安 710072
^3.飞行器基础布局全国重点实验室，西安 710072

收稿日期:2025-05-28 修回日期:2025-06-17 接受日期:2025-07-07 出版日期:2025-07-16 发布日期:2025-07-15
通讯作者: 吕震宙 E-mail:zhenzhoulu@nwpu.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金(12272300);国家自然科学基金(12572141)

Meta-model-based double importance sampling method for extremely small failure probability estimation

Xinglin LI¹^,²^,³, Zhenzhou LYU¹^,²^,³(), Yizhou CHEN¹^,²^,³

^1.School of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China
^2.State Key Laboratory of Clean and Efficient Turbomachinery Power Equipment，Xi’an 710072，China
^3.National Key Laboratory of Aircraft Configuration Design，Xi’an 710072，China

Received:2025-05-28 Revised:2025-06-17 Accepted:2025-07-07 Online:2025-07-16 Published:2025-07-15
Contact: Zhenzhou LYU E-mail:zhenzhoulu@nwpu.edu.cn
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(12272300)

摘要/Abstract

摘要：

在自适应训练功能函数代理模型的基础上，元模型重要抽样方法可以逼近求解失效概率的最优重要抽样密度，因此其可以高效解决可靠性分析问题。然而，在面对极小失效概率时，元模型重要抽样密度中包含的归一化因子求解十分耗时。为此，提出极小失效概率估计的元模型二次重要抽样方法，设计分层加权聚类策略来二次构造归一化因子估计的重要抽样密度，并通过算例对所提方法的有效性进行验证。结果表明：在精度一致的条件下，所提方法的效率不低于已有的元模型重要抽样方法，且对于极小失效概率估计问题，所提方法的效率远高于已有的元模型重要抽样方法。

关键词: 元模型, 重要抽样密度, 可靠性分析, 极小失效概率, 分层加权聚类策略

Abstract:

Based on a surrogate model of the performance function with an adaptive learning strategy， the meta-model-based importance sampling （Meta-IS） method can approximate the optimal importance sampling probability density function （IS-PDF） for estimating failure probabilities， making it an efficient approach for reliability analysis. However， when dealing with extremely small failure probabilities， estimating the normalization factor in the IS-PDF becomes computationally expensive for Meta-IS. To mitigate the computational burden， a meta-model-based double importance sampling （Meta-IS₂） method for estimating extremely small failure probabilities is proposed. The hierarchical weighted clustering strategy is designed to construct an IS-PDF for estimating the normalization factor. The feasibility of the proposed method is verified with instants. The results show that， under equivalent accuracy， the computational efficiency of the proposed method is no less than that of the existing Meta-IS method. Furthermore， for the cases with extremely small failure probabilities， the proposed method significantly outperforms that of the existing Meta-IS method.

Key words: meta-model, importance sampling density, reliability analysis, extremely small failure probability, hierarchical weighted clustering strategy

中图分类号:

李星霖, 吕震宙, 陈亦舟. 极小失效概率估计的元模型二次重要抽样方法[J]. 航空学报, 2026, 47(3): 232316.

Xinglin LI, Zhenzhou LYU, Yizhou CHEN. Meta-model-based double importance sampling method for extremely small failure probability estimation[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2026, 47(3): 232316.

图/表 18

图 1

表1

分布参数（算例1）

变量	分布类型	均值	标准差
$m$	正态分布	1	0.05
$c 1$	正态分布	1	0.10
$c 2$	正态分布	0.1	0.01
$r$	正态分布	0.79	0.05
$F 1$	正态分布	0.3	0.2
$t 1$	正态分布	1	0.2

表1

表2

可靠性分析结果（算例1）

方法	重要样本池容量	估计 $P f ε$ 样本池容量	$P f$	$ε r$ /%	$C o v (P f)$ /%
MCS			$7.21 × 10 - 7$		3.7
Meta-IS	$5 × 103$	$1 × 109$	$6.95 × 10 - 7$	3.6	3.8
Meta-IS₂	$5 × 103$	$5 × 104$	$7.39 × 10 - 7$	2.5	1.9

表2

表3

计算成本统计（算例1）

方法	N_call	$t 1 / s$	$t 2 / s$	$t t o t a l / s$
MCS	$1 × 109$			106.56
Meta-IS	112+39	378.21	$1.37 × 104$	$1.41 × 104$
Meta-IS₂	112+39	378.21	3.13	381.34

表3

图 2

表4

可靠性分析结果（算例2）

方法	重要样本池容量	估计 $P f ε$ 样本池容量	$P f$	$ε r$ /%	$C o v (P f)$ /%
MCS			$7.70 × 10 - 7$		3.6
Meta-IS	$3 × 103$	$1 × 109$	$7.67 × 10 - 7$	0.39	3.6
Meta-IS₂	$3 × 103$	$3 × 105$	$7.87 × 10 - 7$	2.20	4.1

表4

表5

计算成本统计（算例2）

方法	N_call	$t 1 / s$	$t 2 / s$	$t t o t a l / s$
MCS	$1 × 109$			262.57
Meta-IS	449+149	$3.39 × 103$	$1.93 × 105$	$1.97 × 105$
Meta-IS₂	449+149	$3.39 × 103$	88.88	$3.48 × 103$

表5

图 3

表6

可靠性分析结果（算例3）

方法	重要样本池容量	估计 $P f ε$ 样本池容量	$P f$	$ε r$ /%	$C o v (P f)$ /%
MCS			$6.14 × 10 - 7$		4.0
Meta-IS	$2 × 103$	$1 × 109$	$6.10 × 10 - 7$	0.7	4.1
Meta-IS₂	$2 × 103$	$5 × 104$	$6.08 × 10 - 7$	1.0	1.2

表6

表7

计算成本统计（算例3）

方法	N_call	$t 1 / s$	$t 2 / s$	$t t o t a l / s$
MCS	$1 × 109$			49.78
Meta-IS	（13+15+9+8）+（1+0+0+0）	82.46	$7.39 × 103$	$7.46 × 103$
Meta-IS₂	（13+15+9+8）+（1+0+0+0）	82.46	1.56	84.02

表7

图 4

图 5

表8

涡轮轴结构随机变量分布参数

变量	符号	分布类型	均值	标准差
转速 $ω$ /（rad∙s^-1）	$X 1$	正态分布	1 000	33.72
弹性模量 $E$ /MPa	$X 2$	正态分布	$1.46 × 105$	$4.38 × 103$
泊松比 $λ$	$X 3$	正态分布	0.325	$6.5 × 10 - 3$
扭矩 $T$ /（N·m）	$X 4$	正态分布	1 200	48
应力极限 $σ *$ /MPa	$X 5$	正态分布	480	17

表8

图 6

图 7

表9

可靠性分析结果（算例4）

方法

重要

样本池

容量

估计 $P f ε$

样本池

容量

P f

C o v (P f)

Meta-IS

2 × 103

1 × 109

6.90 × 10 - 7

3.80

Meta-IS₂

2 × 103

2 × 104

6.86 × 10 - 7

3.24

表9

表10

计算成本统计（算例4）

方法	N_call	$t 1 / s$	$t 2 / s$	$t t o t a l / s$
Meta-IS	32+1	$2.99 × 103$	$2.81 × 103$	$5.80 × 103$
Meta-IS₂	32+1	$2.99 × 103$	0.33	$2.99 × 103$

表10

图 8

参考文献 27

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