广义周期点阵结构的高阶渐近展开分析方法

doi:10.7527/S1000-6893.2025.32386

中国飞机强度研究所建所 60 周年专刊

本期目录 | 过刊浏览 | 高级检索

前一篇 |

广义周期点阵结构的高阶渐近展开分析方法

徐仕杰¹^,², 张卫红¹()

^1.西北工业大学机电学院，西安 710072
^2.太行国家实验室，成都 610200

收稿日期:2025-06-09 修回日期:2025-06-23 接受日期:2025-07-14 出版日期:2025-08-12 发布日期:2025-07-30
通讯作者: 张卫红 E-mail:zhangwh@nwpu.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金(12032018);国家自然科学基金(12220101002)

A high-order asymptotic expansion analysis method for generalized periodic lattice structures

Shijie XU¹^,², Weihong ZHANG¹()

^1.School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China
^2.TaiHang National Laboratory，Chengdu 610200，China

Received:2025-06-09 Revised:2025-06-23 Accepted:2025-07-14 Online:2025-08-12 Published:2025-07-30
Contact: Weihong ZHANG E-mail:zhangwh@nwpu.edu.cn
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(12032018)

摘要/Abstract

摘要：

针对广义周期多尺度点阵结构的高精度分析计算需求，提出了一种高阶渐近展开分析改进方法。该方法首先通过映射变换，将广义周期点阵单胞微结构均匀化问题转换为正方形单胞微结构的经典周期均匀化问题，再通过能量法计算单胞的等效性能，进一步采用有限元方法实现位移场、应变场及应力场的高阶渐近展开分析计算。通过典型数值算例，分析比较了高阶渐近展开分析方法的计算精度。计算结果表明，该方法对于静力学、动力学固有频率等问题均具有良好的计算精度，为广义周期点阵结构的高性能轻量化结构设计提供了有效支撑。

关键词: 广义周期点阵结构, 多尺度分析, 均匀化, 渐近展开分析, 映射方法, 高阶近似

Abstract:

This paper proposes a novel high-order asymptotic expansion analysis method for generalized periodic lattice structures， aimed at accurately predicting their physical and mechanical behaviors and equivalent performances. The proposed method converts the homogenization problem of generalized periodic lattice structures into the classical two-scale homogenization problem for a cubic unit cell， thereby elucidating the intrinsic mapping mechanisms of the generalized two-scale homogenization approach. This conversion clarifies the fundamental properties of the equivalent performance of generalized periodic two-scale homogenization， substantially reducing the computational and programming complexities involved. By employing typical numerical examples， this paper compares the outcomes from the proposed mapping method with those derived from classical periodic two-scale homogenization and fine-scale finite element methods. The results affirm the universality and effectiveness of the proposed method， which exhibits high computational precision for addressing both static and dynamic issues， such as natural frequency calculations， thus providing strong theoretical support and practical pathways for designing high-performance， lightweight structures in generalized periodic lattice configurations.

Key words: generalized periodic lattice structures, multi-scale analysis, homogenization, asymptotic expansion analysis, mapping method, high-order approximation

中图分类号:

徐仕杰, 张卫红. 广义周期点阵结构的高阶渐近展开分析方法[J]. 航空学报, 2025, 46(21): 532386.

Shijie XU, Weihong ZHANG. A high-order asymptotic expansion analysis method for generalized periodic lattice structures[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2025, 46(21): 532386.

图/表 18

图 1

图 2

图 3

图 4

图 5

图 6

表1

4种方法计算结果与误差比较

参数	单胞数目	计算方法	应力场分布	最大Von-Mises 等效应力/MPa	应力误差/%	最大位移/mm	最大位移误差/%
$a = - 0.15$	$8 × 8$	直接离散		4.29		53.83
		经典周期高阶		3.00	30.0	46.55	13.5
		广义周期高阶		3.62	15.6	50.47	6.3
		广义周期零阶		2.16	49.5	49.92	7.8
	$12 × 12$	直接离散	图7 （a）	4.48		52.21
		经典周期高阶	图7 （d）	3.15	29.7	46.55	10.8
		广义周期高阶	图7 （c）	3.98	13.1	50.47	3.6
		广义周期零阶	图7 （b）	2.26	49.5	49.92	4.6
	$16 × 16$	直接离散		4.72		51.52
		经典周期高阶		3.32	29.6	46.55	9.7
		广义周期高阶		4.20	11.1	50.47	2.2
		广义周期零阶		2.51	46.7	49.92	3.1
$a = - 0.3$	$8 × 8$	直接离散		5.61		62.05
		经典周期高阶		2.99	46.6	46.55	25.0
		广义周期高阶		4.86	13.3	60.58	4.2
		广义周期零阶		3.56	36.6	59.85	5.3
	$12 × 12$	直接离散	图8 （a）	6.00		61.80
		经典周期高阶	图8 （d）	3.14	47.5	46.55	24.7
		广义周期高阶	图8 （c）	5.42	9.6	60.58	2.1
		广义周期零阶	图8 （b）	3.88	35.3	59.85	3.7
	$16 × 16$	直接离散		6.30		61.49
		经典周期高阶		3.11	47.2	46.55	24.3
		广义周期高阶		5.86	6.9	60.58	1.5
		广义周期零阶		4.02	36.2	59.85	2.7

表1

图 7

图 8

图 9

图 10

表2

旋转对称广义周期点阵结构最大Von-Mises等效应力及误差

单胞数目	精细尺度有限元直接离散（直接离散）		广义周期高阶渐近展开（广义周期高阶）			广义周期零阶渐近展开（广义周期零阶）
单胞数目	时间/s	最大Von-Mises 等效应力/MPa	时间/s	最大Von-Mises 等效应力/MPa	误差/%	时间/s	最大Von-Mises 等效应力/MPa	误差/%
$4 × 48$	676	1.636 9	14.4	1.619 2	1.08	9.4	1.398 2	14.6
$6 × 72$	1 287	1.648 0	26.9	1.640 9	0.43	9.4	1.428 4	13.3
$8 × 96$	4 268	1.653 8	46.9	1.647 8	0.30	9.4	1.445 7	12.6

表2

图 11

图 12

表3

精细尺度有限元直接离散与广义周期高阶渐近展开计算得到的前5阶固有频率及误差

单胞数目	计算方法	计算时间/s	模态振型	第1阶	第2阶	第3阶	第4阶	第5阶
$2 × 24$	直接离散	199.5	图12 （a）	21.09	42.85	57.41	66.30	92.06
	广义周期零阶广义周期高阶	9.4	图12 （b）图12 （c）	20.53	40.08	58.56	67.63	76.42
	相较直接离散误差/%			2.7	6.5	2.0	2.0	17.0
	同振型误差			2.7	6.5	11.7	17.8	17.0
$4 × 48$	直接离散	792.0	图13 （a）	20.86	41.04	61.05	65.57	81.68
	广义周期零阶广义周期高阶	9.4	图13 （b）图13 （c）	20.53	40.08	58.56	67.63	76.42
	相较直接离散误差/%			1.6	2.3	4.1	3.1	6.4
$8 × 96$	直接离散	2707.1	图14 （a）	20.67	40.37	59.18	67.07	77.68
	广义周期零阶广义周期高阶	9.4	图14 （b）、图14 （c）	20.53	40.08	58.56	67.63	76.42
	相较直接离散误差/%			0.7	0.7	1.0	0.8	1.6

表3

图 13

图 14

图 15

参考文献 41

[1]	COMPTON B G， LEWIS J A. 3D printing： 3D-printing of lightweight cellular composites （adv. mater. 34/2014）［J］. Advanced Materials， 2014， 26（34）： 6043.
[2]	Intralattice［EB/OL］. （2023-03-03）［2024-08-12］. .
[3]	LIU Z Q， MEYERS M A， ZHANG Z F， et al. Functional gradients and heterogeneities in biological materials： Design principles， functions， and bioinspired applications［J］. Progress in Materials Science， 2017， 88： 467-498.
[4]	ZHAO Z L， ZHOU S W， FENG X Q， et al. Morphological optimization of scorpion telson［J］. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2020， 135： 103773.
[5]	OSORIO L， TRUJILLO E， VAN VUURE A W， et al. Morphological aspects and mechanical properties of single bamboo fibers and flexural characterization of bamboo/epoxy composites［J］. Journal of Reinforced Plastics and Composites， 2011， 30（5）： 396-408.
[6]	CHEN W J， ZHENG X N， LIU S T. Finite-element-mesh based method for modeling and optimization of lattice structures for additive manufacturing［J］. Materials， 2018， 11（11）： 2073.
[7]	ZHAO Z L， ZHOU S W， FENG X Q， et al. On the internal architecture of emergent plants［J］. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2018， 119： 224-239.
[8]	STROMBERG L L， BEGHINI A， BAKER W F， et al. Application of layout and topology optimization using pattern gradation for the conceptual design of buildings［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2011， 43（2）： 165-180.
[9]	YE Q， GUO Y， CHEN S K， et al. Topology optimization of conformal structures on manifolds using extended level set methods （X-LSM） and conformal geometry theory［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2019， 344： 164-185.
[10]	TANG Y L， KURTZ A， ZHAO Y F. Bidirectional Evolutionary Structural Optimization （BESO） based design method for lattice structure to be fabricated by additive manufacturing［J］. Computer-Aided Design， 2015， 69： 91-101.
[11]	NGUYEN J， PARK S I， ROSEN D. Heuristic optimization method for cellular structure design of light weight components［J］. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing， 2013， 14（6）： 1071-1078.
[12]	TANG Y L， DONG G Y， ZHAO Y F. A hybrid geometric modeling method for lattice structures fabricated by additive manufacturing［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2019， 102（9）： 4011-4030.
[13]	DEDÈ L， BORDEN M J， HUGHES T J R. Isogeometric analysis for topology optimization with a phase field model［J］. Archives of Computational Methods in Engineering， 2012， 19（3）： 427-465.
[14]	MOSES E， FUCHS M B， RYVKIN M. Topological design of modular structures under arbitrary loading［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2002， 24（6）： 407-417.
[15]	GAO T， ZHANG W H. Topology optimization involving thermo-elastic stress loads［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2010， 42（5）： 725-738.
[16]	MAHARAJ Y， JAMES K A. Metamaterial topology optimization of nonpneumatic tires with stress and buckling constraints［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2020， 121（7）： 1410-1439.
[17]	ZUO Z H， XIE Y M， HUANG X D. Optimal topological design of periodic structures for natural frequencies［J］. Journal of Structural Engineering， 2011， 137（10）： 1229-1240.
[18]	XU Z， ZHANG W H， ZHOU Y， et al. Multiscale topology optimization using feature-driven method［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2020， 33（2）： 621-633.
[19]	WANG C， ZHU J H， ZHANG W H， et al. Concurrent topology optimization design of structures and non-uniform parameterized lattice microstructures［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2018， 58（1）： 35-50.
[20]	ZHU J H， ZHOU H， WANG C， et al. A review of topology optimization for additive manufacturing： Status and challenges［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2021， 34（1）： 91-110.
[21]	BABUŠKA I. Homogenization approach in engineering［C］∥Computing Methods in Applied Sciences and Engineering. Berlin： Springer， 1976： 137-153.
[22]	KESAVAN S. Homogenization of elliptic eigenvalue problems： Part 1［J］. Applied Mathematics and Optimization， 1979， 5（1）： 153-167.
[23]	KESAVAN S. Homogenization of elliptic eigenvalue problems： Part 2［J］. Applied Mathematics and Optimization， 1979， 5（1）： 197-216.
[24]	BENSOUSSAN A， LIONS J L， PAPANICOLAOU G. Asymptotic analysis for periodic structures［M］. Providence， R.I. American Mathematical Society， 2011
[25]	BRIANE M. Three models of non periodic fibrous materials obtained by homogenization［J］. ESAIM： Mathematical Modelling and Numerical Analysis， 1993， 27（6）： 759-775.
[26]	TSALIS D， BAXEVANIS T， CHATZIGEORGIOU G， et al. Homogenization of elastoplastic composites with generalized periodicity in the microstructure［J］. International Journal of Plasticity， 2013， 51： 161-187.
[27]	TSALIS D， CHATZIGEORGIOU G， CHARALAMBAKIS N. Homogenization of structures with generalized periodicity［J］. Composites Part B： Engineering， 2012， 43（6）： 2495-2512.
[28]	徐仕杰，张卫红. 广义周期点阵结构的等效性能均匀化映射方法研究［J］. 中国科学（技术科学）， 2024， 54（6）： 1036-1056.
	XU S J， ZHANG W H. Research on equivalent performance homogenization mapping method of generalized periodic lattice structure［J］. SCIENTIA SINICA Technologica， 2024， 54（6）： 1036-1056 （in Chinese）.
[29]	XU S J， ZHANG W H. Energy-based homogenization method for lattice structures with generalized periodicity［J］. Computers & Structures， 2024， 302： 107478.
[30]	DONG H， ZHENG X J， CUI J Z， et al. Multi-scale computational method for dynamic thermo-mechanical performance of heterogeneous shell structures with orthogonal periodic configurations［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2019， 354： 143-180.
[31]	YANG Z Q， LIU Y Z， SUN Y， et al. A second-order reduced multiscale method for nonlinear shell structures with orthogonal periodic configurations［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2022， 123（1）： 128-157.
[32]	TOMPSON A F B. Numerical simulation of chemical migration in physically and chemically heterogeneous porous media［J］. Water Resources Research， 1993， 29（11）： 3709-3726.
[33]	HOU T Y， WU X H. A multiscale finite element method for elliptic problems in composite materials and porous media［J］. Journal of Computational Physics， 1997， 134（1）： 169-189.
[34]	CAO L Q， CUI J Z. Asymptotic expansions and numerical algorithms of eigenvalues and eigenfunctions of the Dirichlet problem for second order elliptic equations in perforated domains［J］. Numerische Mathematik， 2004， 96（3）： 525-581.
[35]	CAO L Q. Iterated two-scale asymptotic method and numerical algorithm for the elastic structures of composite materials［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2005， 194（27-29）： 2899-2926.
[36]	OLEINIK O A， SHAMAEV A S， YOSIFIAN G A. Mathematical problems in elasticity and homogenization［M］. Amsterdam： Elsevier Science Publishers B.V.， 2012.
[37]	GHOSH S， LEE K， MOORTHY S. Two scale analysis of heterogeneous elastic-plastic materials with asymptotic homogenization and Voronoi cell finite element model［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1996， 132（1-2）： 63-116.
[38]	SCHRÖDER J. A numerical two-scale homogenization scheme： The FE2-method［M］∥Plasticity and Beyond. Vienna： Springer Vienna， 2014： 1-64.
[39]	RAO Y P， XIANG M Z， CUI J Z. A strain gradient brittle fracture model based on two-scale asymptotic analysis［J］. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2022， 159： 104752.
[40]	曹礼群，崔俊芝，王崇愚. 非均质材料多尺度物理问题与数学方法［C］∥中国科学院技术科学论坛学术报告会. 2002.
	CAO L Q， CUI J Z， WANG C Y. Multi-scale physical problems and mathematical methods for heterogeneous materials［C］∥Academic Report Meeting of the Technology Science Forum of China Academy of Sciences. 2002 （in Chinese）.
[41]	张卫红，徐仕杰，朱继宏. 循环对称结构的多尺度拓扑优化方法［J］. 计算力学学报， 2021， 11（4）： 512-522.
	ZHANG W H， XU S J， ZHU J H. Multi-scale topology optimization method for cyclic symmetric structures［J］. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2021， 11（4）： 512-522 （in Chinese）.

E-mail：hkxb@buaa.edu.cn

关于我们

期刊社服务

专业学科

封面文章

友情链接

主管单位：中国科学技术协会主办单位：中国航空学会北京航空航天大学

广义周期点阵结构的高阶渐近展开分析方法

A high-order asymptotic expansion analysis method for generalized periodic lattice structures

RichHTML

PDF (PC)

可视化

摘要/Abstract

引用本文

使用本文

图/表 18

参考文献 41

相关文章 15

编辑推荐

Metrics

本文评价

[1]	李伟, 宋鑫, 林湘齐, 苏智琳, 王成波, 李桐. 复合材料连接结构的钉载均匀化快速寻优方法[J]. 航空学报, 2024, 45(23): 230345-230345.
[2]	张超, 曹勇, 赵振强, 张海洋, 孙建波, 王志华, 蔚夺魁. 树脂基复合材料在民用航空发动机中的应用与关键技术研究进展[J]. 航空学报, 2024, 45(2): 28556-028556.
[3]	徐晓刚, 张扬, 王天波, 马旭东, 陈刚. 多尺寸水滴喷雾掺混增强效应[J]. 航空学报, 2023, 44(S2): 729130-729130.
[4]	陈小前, 赵勇, 霍森林, 张泽雨, 都柄晓. 多尺度结构拓扑优化设计方法综述[J]. 航空学报, 2023, 44(15): 528863-528863.
[5]	童自翔, 李明佳, 李冬. 导热-辐射耦合传热的多尺度分析和数值模型[J]. 航空学报, 2021, 42(9): 625729-625729.
[6]	李增聪, 田阔, 赵海心. 面向多级加筋壳的高效变保真度代理模型[J]. 航空学报, 2020, 41(7): 623435-623435.
[7]	李鹏, 周晚林, 李蓓, 邵金涛. 考虑间隙和拧紧力矩的复合材料钉载分配均匀化方法[J]. 航空学报, 2019, 40(3): 422548-422548.
[8]	高涛, 漆文凯, 沈承. 基于一种新的均匀化实施方法的FRP刚度预测[J]. 航空学报, 2017, 38(5): 220579-220579.
[9]	王博, 田阔, 郑岩冰, 郝鹏, 张可. 超大直径网格加筋筒壳快速屈曲分析方法[J]. 航空学报, 2017, 38(2): 220379-220387.
[10]	邢誉峰, 陈磊. 若干周期性复合材料结构数学均匀化方法的计算精度[J]. 航空学报, 2015, 36(5): 1520-1529.
[11]	袁欣, 孙慧玉. 黏弹性树脂基三维编织复合材料的变温松弛模量[J]. 航空学报, 2012, (6): 1036-1043.
[12]	汪星明;邢誉峰. 三维编织复合材料研究进展[J]. 航空学报, 2010, 31(5): 914-927.
[13]	孙士平;秦国华;张卫红. 多相多孔材料/结构的集成优化设计[J]. 航空学报, 2009, 30(1): 186-192.
[14]	许英杰;张卫红;杨军刚;汪海滨. 平纹机织多元多层碳化硅陶瓷基复合材料的等效弹性模量预测[J]. 航空学报, 2008, 29(5): 1350-1355.
[15]	邢誉峰;田金梅. 三维正交机织复合材料单胞特征单元及其应用[J]. 航空学报, 2007, 28(4): 881-885.