观测不确定性下的高效贝叶斯更新方法及其在机翼结构中的应用

doi:10.7527/S1000-6893.2023.28592

固体力学与飞行器总体设计

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观测不确定性下的高效贝叶斯更新方法及其在机翼结构中的应用

于汀, 李璐祎(), 刘昱杉, 常泽明

西北工业大学航空学院，西安 710072

收稿日期:2023-02-21 修回日期:2023-03-14 接受日期:2023-04-04 出版日期:2023-04-10 发布日期:2023-04-07
通讯作者: 李璐祎 E-mail:luyili@nwpu.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金(52375156)

Efficient Bayesian updating method under observation uncertainty and its application in wing structure

Ting YU, Luyi LI(), Yushan LIU, Zeming CHANG

School of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China

Received:2023-02-21 Revised:2023-03-14 Accepted:2023-04-04 Online:2023-04-10 Published:2023-04-07
Contact: Luyi LI E-mail:luyili@nwpu.edu.cn
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(52375156)

摘要/Abstract

摘要：

贝叶斯模型更新是一种基于先验分布和观测数据来预测和校准模型的有效方法。在工程试验中，仪器精度、人为误差和环境干扰等不确定因素都会引起观测数据的不准确，进而导致后验分布参数也具有不确定性，给贝叶斯更新带来了新的挑战。为准确得到观测不确定性下后验样本的分布，通过将观测不确定性下的贝叶斯更新问题等价转化为区间和随机变量共同作用下的可靠性分析问题，建立观测不确定性下的贝叶斯更新模型，并提出了模型求解的双层和单层Kriging算法，高效地实现了观测不确定性下贝叶斯模型更新的量化求解。所建模型和方法在机翼等结构中的应用表明，所建模型能够准确度量观测不确定性对后验分布参数的影响，实现观测不确定性下输入变量分布参数的完整更新，有效地降低输入变量分布参数的不确定性；所建的单层Kriging算法可以高效地给出后验样本的平均估计，双层Kriging算法能够精确地给出后验样本分布参数的完整取值区间。相比于蒙特卡洛方法，所提2种方法在保证精度的同时，大幅减少了原始模型的调用次数，提高了观测不确定性下贝叶斯更新的计算效率。

关键词: 观测不确定性, 贝叶斯更新, Kriging代理模型, 模型参数更新, 机翼结构

Abstract:

Bayesian model updating is an effective method to predict and calibrate models based on prior distribution and observation data. Uncertainties in engineering experiments， such as instrumental accuracy， human errors and environmental interference， can cause inaccuracy of observation data， which in turn result in uncertainty of posterior distribution parameters， bringing new challenges to Bayesian updating. To obtain the accurate posterior sample distribution under the observation uncertainty， the Bayesian updating problem under the observation uncertainty is studied. By equivalently transforming the Bayesian updating problem under the observation uncertainty into a reliability analysis problem involving interval and random variables， a new Bayesian updating model is established. A single-layer and a double-layer Kriging algorithms for estimating the established model are proposed， which can efficiently achieve quantitative Bayesian model updating under the observation uncertainty. The application of the proposed model and method in wing and other structures shows that the established model can accurately measure the influence of observation uncertainty on posterior distribution parameters， achieve the complete update of input variable distribution parameters under observation uncertainty， and effectively reduce the uncertainty of input variable distribution parameters. The single-layer Kriging algorithm can efficiently provide the average estimates of the posterior sample distribution， while the double-layer Kriging algorithm can accurately provide the complete value interval of posterior sample distribution parameters. Compared with the Monte Carlo method， the two proposed algorithms significantly reduce the number of calls to the original model while ensuring the accuracy， enhancing the computational efficiency of Bayesian updating under observation uncertainty.

Key words: observation uncertainty, Bayesian updating, Kriging surrogate model, model parameter update, wing structure

中图分类号:

V224

于汀, 李璐祎, 刘昱杉, 常泽明. 观测不确定性下的高效贝叶斯更新方法及其在机翼结构中的应用[J]. 航空学报, 2023, 44(24): 228592-228592.

Ting YU, Luyi LI, Yushan LIU, Zeming CHANG. Efficient Bayesian updating method under observation uncertainty and its application in wing structure[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2023, 44(24): 228592-228592.

图/表 12

图1

图2

表1

输入变量X后验分布参数

方法	$μ$	$σ$	$c o v (σ)$ / $10 - 3$	N	N_call
单层MCS	0.221 0	0.408 4	2.58	$5 × 105$	$5 × 105$
双层MCS	［0.179 2，0.221 0］	［0.407 8，0.408 7］	1.09	$5 × 106$	$5 × 106$
单层Kriging	0.221 0	0.408 7	3.34	$5 × 105$	8
双层Kriging	［0.179 3，0.221 0］	［0.407 7，0.408 9］	$2.64$	$5 × 106$	6
精确解析解	［0.179 6，0.221 1］	0.408 2

表1

图3

图4

表2

表3

矩形截面悬臂梁结构输入变量后验分布参数（50个观测样本）

变量	算法	$μ$	$σ$	$c o v (σ)$ / $10 - 3$	$N$	N_call
X	单层MCS	449.32	14.42	4.58	$5 × 105$	$5 × 105$
	双层MCS	［448.37，452.57］	［14.32，14.59］	$1.09$	$5 × 106$	$5 × 106$
	单层Kriging	449.09	14.63	$5.34$	$5 × 105$	$30$
	双层Kriging	［448.24，453.45］	［14.69，14.77］	$4.64$	$5 × 106$	$20$

Y	单层MCS	949.04	14.34	$2.42$
	双层MCS	［948.93，952.24］	［14.70，14.91］	$5.74$
	单层Kriging	949.81	14.26	$2.19$
	双层Kriging	［949.80，953.63］	［14.05，14.84］	$6.34$

w	单层MCS	2.39	0.11	$3.40$
	双层MCS	［2.37，2.49］	［0.09，0.11］	$1.35$
	单层Kriging	2.38	0.12	$3.56$
	双层Kriging	［2.76，2.78］	［0.10，0.15］	$5.42$

t	单层MCS	3.79	0.21	$4.07$
	双层MCS	［3.67，3.92］	［0.17，0.20］	$1.94$
	单层Kriging	3.99	0.23	$3.80$
	双层Kriging	［3.78，4.22］	［0.18，0.21］	$4.92$

表3

图5

图6

表4

飞机机翼有限元模型的输入变量先验分布参数

输入变量	分布类型	均值	标准差
$A / m 2$	正态分布	$1 × 10 - 4$	$1 × 10 - 5$
$E 1 / P a$	正态分布	$7 × 1010$	$7 × 109$
$E 2 / P a$	正态分布	$2.1 × 1011$	$2.1 × 1010$
$θ 1 / m$	正态分布	$3 × 10 - 3$	$3 × 10 - 4$
$θ 2 / m$	正态分布	$2 × 10 - 2$	$2 × 10 - 3$
$P / N$	正态分布	$2 000$	$200$
$L / m$	正态分布	$3$ .0	$0.3$

表4

表5

飞机机翼结构输入变量后验分布参数

变量	算法	$μ$	$σ$	$c o v (σ) / 10 - 3$	$N$	$N c a l l$	计算耗时/s
$A$	单层MCS	$0.95 × 10 - 4$	$0.94 × 10 - 5$	$2.6$	$3.2 × 104$	$3.2 × 104$	34 685.4
	双层MCS	$[0.94 × 10 - 4, 0.95 × 10 - 4]$	$[0.98 × 10 - 5, 0.99 × 10 - 5]$	$3.8$	$3.2 × 105$	$3.2 × 105$	497 551.7
	单层Kriging	$0.95 × 10 - 4$	$0.98 × 10 - 5$	$1.7$	$3.2 × 104$	$327$	688.6
	双层Kriging	$[0.95 × 10 - 4, 0.96 × 10 - 4]$	$[0.91 × 10 - 5, 0.97 × 10 - 5]$	$2.5$	$3.2 × 105$	$268$	467.3

$E 1$	单层MCS	$7.01 × 1010$	$6.98 × 109$	$7.2$
	双层MCS	$[7.01 × 1010, 7.02 × 1010]$	$[6.89 × 109, 6.99 × 109]$	$2.3$
	单层Kriging	$7.02 × 1010$	$6.99 × 109$	$1.9$
	双层Kriging	$[7.01 × 1010, 7.02 × 1010]$	$[6.98 × 1010, 6.99 × 1010]$	$2.7$

$E 2$	单层MCS	$2.11 × 1011$	$2.09 × 1010$	$5.6$
	双层MCS	$[2.11 × 1011, 2.12 × 1011]$	$[2.09 × 1010, 2.10 × 1010]$	$4.4$
	单层Kriging	$2.14 × 1011$	$2.05 × 1010$	$2.1$
	双层Kriging	$[2.05 × 1011, 2.16 × 1011]$	$[2.04 × 1010, 2.10 × 1010]$	$2.4$

$θ 1$	单层MCS	$2.98 × 10 - 3$	$2.99 × 10 - 4$	$5.3$
	双层MCS	$[2.96 × 10 - 3, 3.01 × 10 - 3]$	$[2.95 × 10 - 4, 2.99 × 10 - 4]$	$3.4$
	单层Kriging	$2.99 × 10 - 3$	$2.98 × 10 - 4$	$2.1$
	双层Kriging	$[2.91 × 10 - 3, 2.99 × 10 - 3]$	$[2.92 × 10 - 4, 2.99 × 10 - 4]$	$7.4$

$θ 2$	单层MCS	$1.99 × 10 - 2$	$1.99 × 10 - 3$	$7.1$
	双层MCS	$[1.94 × 10 - 2, 2.02 × 10 - 2]$	$[1.90 × 10 - 3, 1.99 × 10 - 3]$	$4.3$
	单层Kriging	$1.99 × 10 - 2$	$1.98 × 10 - 3$	$4.1$
	双层Kriging	$[1.95 × 10 - 2, 1.99 × 10 - 2]$	$[1.91 × 10 - 3, 1.99 × 10 - 3]$	$5.2$

$P$	单层MCS	$2.01 × 103$	$1.99 × 102$	$4.4$
	双层MCS	$[1.93 × 103, 2.02 × 103]$	$[1.93 × 102, 1.99 × 102]$	$5.1$
	单层Kriging	$2.01 × 103$	$1.97 × 102$	$3.7$
	双层Kriging	$[1.94 × 103, 2.05 × 103]$	$[1.93 × 102, 1.98 × 102]$	$4.2$

$L$	单层MCS	$3.00$	$0.29$	$5.4$
	双层MCS	$[2.99,3.02]$	$[0.27,0.29]$	$5.2$
	单层Kriging	$3.00$	$0.29$	$1.2$
	双层Kriging	$[2.96,3.01]$	$[0.26,0.29]$	$6.3$

表5

图7

参考文献 22

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E-mail：hkxb@buaa.edu.cn

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主管单位：中国科学技术协会主办单位：中国航空学会北京航空航天大学

参数类型	输入变量	分布类型	参数1	参数2
假定的输入变量准确后验分布参数	X/N	均匀分布	450	500
	Y/N	均匀分布	950	1 000
	w/m	正态分布	2.488 4	0.124 4
	t/m	正态分布	3.888 4	0.194 4

输入变量先验分布参数	X/N	均匀分布	450	500
	Y/N	均匀分布	950	1 000
	w/m	正态分布	0.2	0.06
	t/m	正态分布	3.5	0.5

[1]	李宝玉, 张磊刚, 裘群海, 余雄庆. 基于Kriging模型梯度解析解的改进一次二阶矩方法[J]. 航空学报, 2019, 40(5): 222629-222629.
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