双功能梯度碳纳米管增强复合材料旋转圆柱壳的振动分析

doi:10.7527/S1000-6893.2022.27827

固体力学与飞行器总体设计

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双功能梯度碳纳米管增强复合材料旋转圆柱壳的振动分析

王宇(), 徐宏达, 李昊, 李昌

辽宁科技大学机械工程与自动化学院，鞍山 114051

收稿日期:2022-07-18 修回日期:2022-10-20 接受日期:2022-11-09 出版日期:2022-11-21 发布日期:2022-11-17
通讯作者: 王宇 E-mail:wangyu435@126.com
基金资助:
国家自然科学基金(51775257);辽宁省教育厅科学基金(2019LNJC01)

Vibration analysis of rotating dual⁃functional gradient composite cylindrical shell reinforced with carbon nanotubes

Yu WANG(), Hongda XU, Hao LI, Chang LI

School of Mechanical Engineering and Automation，University of Science and Technology Liaoning，Anshan 114051，China

Received:2022-07-18 Revised:2022-10-20 Accepted:2022-11-09 Online:2022-11-21 Published:2022-11-17
Contact: Yu WANG E-mail:wangyu435@126.com
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(51775257);Science Foundation of Education Department of Liaoning(2019LNJC01)

摘要/Abstract

摘要：

对3种边界条件下旋转态双功能梯度碳纳米管增强复合材料（DFG-CNTRC）圆柱壳的行波振动特性开展了研究。首先，根据建立的DFG-CNTRC圆柱壳模型，分析了以金属-陶瓷功能梯度材料为基体的5种类型碳纳米管增强材料的性能参数。其次，基于Sanders壳体理论和传递矩阵方法，考虑转速影响，推导了任一截面状态向量的常微分方程组和整体传递矩阵关系。最后，对简支-简支（S-S）、固支-固支（C-C）和固支-自由（C-F）3种典型边界条件下的动力学微分方程进行求解计算，验证了理论分析的正确性。研究表明，科氏力和离心力效应引起行波频率出现了分离现象和增大趋势，边界条件和碳纳米管体积分数对行波振动特性的影响显著，而基体材料体积分数指数对振动特性的影响较小，长度和厚度对结构振动特性影响均不同。

关键词: 功能梯度材料基体, 碳纳米管增强材料, 旋转圆柱壳, 传递矩阵方法, 行波振动

Abstract:

The traveling wave vibration characteristics of a rotating Dual-Functionally Graded Carbon Nanotube Reinforced Composite （DFG-CNTRC） cylindrical shell are investigated under three boundary conditions. Firstly， according to the established shell model， the performance parameters of five types of carbon nanotube reinforced materials based on the metal-ceramic functionally graded matrix are analyzed. Secondly， based on the Sanders shell theory and transfer matrix method， the ordinary differential equations and the global transfer matrix relation for any cross section state vector are derived considering the influence of rotational speed. Finally， the dynamic differential equations are solved for three typical boundary conditions， namely， Simply supported-Simply supported （S-S）， Clamped-Simply supported （C-S） and Clamped-Free （C-F）， and the correctness of the theoretical analysis is verified. The research shows that the effect of Coriolis force and centrifugal force causes the separation phenomenon and increasing trend of the traveling wave frequency， and the boundary conditions and the volume fraction of carbon nanotubes have a significant influence on travelling wave vibration characteristics， while the volume fraction index of the matrix material has little influence， and the length and thickness have different effects on the vibration characteristics of the shell.

Key words: functionally graded material matrix, carbon nanotube reinforced material, rotating cylindrical shell, transfer matrix method, travelling wave vibration

中图分类号:

V257

王宇, 徐宏达, 李昊, 李昌. 双功能梯度碳纳米管增强复合材料旋转圆柱壳的振动分析[J]. 航空学报, 2023, 44(13): 227827-227827.

Yu WANG, Hongda XU, Hao LI, Chang LI. Vibration analysis of rotating dual⁃functional gradient composite cylindrical shell reinforced with carbon nanotubes[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2023, 44(13): 227827-227827.

图/表 19

图1

图2

表1

不同边界条件对应的状态向量关系

边界条件	$x = 0$	$x = L$
简支-简支	$V (0) = W (0) = M ¯ (0) = N ¯ (0) = 0$	$V (L) = W (L) = M ¯ (L) = N ¯ (L) = 0$

固支-固支	$U (0) = V (0) = W (0) = φ ¯ (0) = 0$	$U (L) = V (L) = W (L) = φ ¯ (L) = 0$

固支-自由	$U (0) = V (0) = W (0) = φ ¯ (0) = 0$	$M ¯ (L) = V ¯ (L) = S ¯ (L) = N ¯ (L) = 0$

表1

表2

圆柱壳的几何参数

参数	中面半径 $R$ /m	长度 $L$ /m	壁厚 $H$ /m
文献［6］	0.16	0.256	0.002 5
文献［17］	1	2	0.1
文献［22］	R₀	20R₀	0.002R₀
文献［33］	R₀	2R₀	0.01R₀

表2

表3

圆柱壳的材料属性

参数	成分	弹性模量 $E$ /GPa	泊松比 $μ$	密度 $ρ$ /（kg·m^-3）
文献［6］	Ti5Al2.5Sn	110	0.31	4 480
文献［17］	Zirconia	168	0.3	5 700
文献［17］	Aluminum	70	0.3	2 707
文献［22］	Nickel	205.098	0.31	8 900
文献［22］	stainless steel	207.788	0.317 756	8 166

表3

表4

碳纳米管的有效材料参数

类型	$V c n t *$	$η 1$	$η 2$	$η 3$
1	0.12	0.137	1.022	0.715
2	0.17	0.142	1.626	1.138
3	0.28	0.141	1.585	1.109

表4

表5

表6

表7

表8

表9

表10

表11

表12

图3

图4

图5

图6

图7

参考文献 33

1	GUO X， ZENG J， MA H， et al. A dynamic model for simulating rubbing between blade and flexible casing［J］. Journal of Sound and Vibration， 2020， 466： 115036.
2	李晖，吕海宇，邹泽煜，等. 热环境下纤维增强复合材料圆柱壳非线性振动分析与验证［J］. 航空学报， 2022， 43（9）： 425642.
	LI H， LYU H Y， ZOU Z Y， et al. Analysis and verification of nonlinear vibrations of fiber-reinforced composite cylindrical shells in thermal environment［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2022， 43（9）： 425642 （in Chinese）.
3	LI H， PANG F， GONG Q， et al. Free vibration analysis of axisymmetric functionally graded doubly-curved shells with un-uniform thickness distribution based on Ritz method［J］. Composite Structures， 2019， 225： 111145.
4	WANG G J， CAI Y P， MA Y J， et al. Ultrastrong and stiff carbon nanotube/aluminum-copper nanocomposite via enhancing friction between carbon nanotubes［J］. Nano Letters， 2019， 19（9）： 6255-6262.
5	SUN S， CAO D Q， HAN Q K. Vibration studies of rotating cylindrical shells with arbitrary edges using characteristic orthogonal polynomials in the Rayleigh-Ritz method［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2013， 68： 180-189.
6	韩清凯，王宇，李学军. 旋转薄壁圆柱壳的高节径振动特性以及篦齿结构的影响［J］. 中国科学：物理学力学天文学， 2013， 43（4）： 436-458.
	HAN Q K， WANG Y， LI X J. High nodal diameter vibration characteristics of rotating shell and the effects of its sealing teeth［J］. Scientia Sinica （Physica， Mechanica & Astronomica）， 2013， 43（4）： 436-458 （in Chinese）.
7	王宇，谷月，李晖，等. 高速旋转薄壁圆柱壳的行波共振特性研究［J］. 振动与冲击， 2016， 35（5）： 222-227.
	WANG Y， GU Y， LI H， et al. Travelling wave resonance characteristics of a high-speed rotating thin cylindrical shell［J］. Journal of Vibration and Shock， 2016， 35（5）： 222-227 （in Chinese）.
8	QUOC T H， HUAN D T， PHUONG H T. Vibration characteristics of rotating functionally graded circular cylindrical shell with variable thickness under thermal environment［J］. International Journal of Pressure Vessels and Piping， 2021， 193： 104452.
9	DONG Y H， LI Y H， CHEN D， et al. Vibration characteristics of functionally graded graphene reinforced porous nanocomposite cylindrical shells with spinning motion［J］. Composites Part B： Engineering， 2018， 145： 1-13.
10	DONG Y H， HE L W， WANG L， et al. Buckling of spinning functionally graded graphene reinforced porous nanocomposite cylindrical shells： an analytical study［J］. Aerospace Science and Technology， 2018， 82-83： 466-478.
11	DONG Y H， ZHU B， WANG Y， et al. Nonlinear free vibration of graded graphene reinforced cylindrical shells： Effects of spinning motion and axial load［J］. Journal of Sound and Vibration， 2018， 437： 79-96.
12	DONG Y H， LI X Y， GAO K， et al. Harmonic resonances of graphene-reinforced nonlinear cylindrical shells： Effects of spinning motion and thermal environment［J］. Nonlinear Dynamics， 2020， 99（2）： 981-1000.
13	SHENG G G， WANG X. The non-linear vibrations of rotating functionally graded cylindrical shells［J］. Nonlinear Dynamics， 2017， 87（2）： 1095-1109.
14	SHEN H S， XIANG Y. Nonlinear vibration of nanotube-reinforced composite cylindrical shells in thermal environments［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2012， 213-216： 196-205.
15	沈惠申. 功能梯度碳纳米管增强复合材料结构建模与分析研究进展［J］. 力学进展， 2016， 46（1）： 478-505.
	SHEN H S. Modeling and analysis of functionally graded carbon nanotube reinforced composite structures： A review［J］. Advances in Mechanics， 2016， 46（1）： 478-505 （in Chinese）.
16	SONG Z G， ZHANG L W， LIEW K M. Vibration analysis of CNT-reinforced functionally graded composite cylindrical shells in thermal environments［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2016， 115-116： 339-347.
17	QIN B， ZHONG R， WANG T， et al. A unified Fourier series solution for vibration analysis of FG-CNTRC cylindrical， conical shells and annular plates with arbitrary boundary conditions［J］. Composite Structures， 2020， 232： 111549.
18	THOMAS B， ROY T. Vibration and damping analysis of functionally graded carbon nanotubes reinforced hybrid composite shell structures［J］. Journal of Vibration and Control， 2017， 23（11）： 1711-1738.
19	CIVALEK Ö. Free vibration of carbon nanotubes reinforced （CNTR） and functionally graded shells and plates based on FSDT via discrete singular convolution method［J］. Composites Part B： Engineering， 2017， 111： 45-59.
20	KIANI Y， DIMITRI R， TORNABENE F. Free vibration of FG-CNT reinforced composite skew cylindrical shells using the Chebyshev-Ritz formulation［J］. Composites Part B： Engineering， 2018， 147： 169-177.
21	LEI Z X， ZHANG L W， LIEW K M. Vibration analysis of CNT-reinforced functionally graded rotating cylindrical panels using the element-free kp-Ritz method［J］. Composites Part B： Engineering， 2015， 77： 291-303.
22	QIN Z， PANG X， SAFAEI B， et al. Free vibration analysis of rotating functionally graded CNT reinforced composite cylindrical shells with arbitrary boundary conditions［J］. Composite Structures， 2019， 220： 847-860.
23	HEYDARPOUR Y， MALEKZADEH P. Dynamic stability of rotating FG-CNTRC cylindrical shells under combined static and periodic axial loads［J］. International Journal of Structural Stability and Dynamics， 2018， 18（12）： 1850151.
24	ROUT M， KARMAKAR A. Free vibration of rotating pretwisted CNTs-reinforced shallow shells in thermal environment［J］. Mechanics of Advanced Materials and Structures， 2019， 26（21）： 1808-1820.
25	SOBHANIARAGH B， BATRA R C， MANSUR W J， et al. Thermal response of ceramic matrix nanocomposite cylindrical shells using Eshelby-Mori-Tanaka homogenization scheme［J］. Composites Part B： Engineering， 2017， 118： 41-53.
26	CHENG H， LI C F， JIANG Y L. Free vibration analysis of rotating pre-twisted ceramic matrix carbon nanotubes reinforced blades［J］. Mechanics of Advanced Materials and Structures， 2022， 29（14）： 2040-2052.
27	MIAO X Y， LI C F， JIANG Y L. Free vibration analysis of metal-ceramic matrix composite laminated cylindrical shell reinforced by CNTs［J］. Composite Structures， 2021， 260： 113262.
28	XIANG Y， YUAN L， HUANG Y， et al. A novel matrix method for coupled vibration and damping effect analyses of liquid-filled circular cylindrical shells with partially constrained layer damping under harmonic excitation［J］. Applied Mathematical Modelling， 2011， 35（5）： 2209-2220.
29	李恩奇，李道奎，唐国金，等. 基于传递函数方法的局部覆盖环状CLD圆柱壳动力学分析［J］. 航空学报， 2007， 28（6）： 1487-1493.
	LI E Q， LI D K， TANG G J， et al. Dynamic analysis of cylindrical shell with partially covered ring-shape constrained layer damping by the transfer function method［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2007， 28（6）： 1487-1493 （in Chinese）.
30	PRADHAN S C， LOY C T， LAM K Y， et al. Vibration characteristics of functionally graded cylindrical shells under various boundary conditions［J］. Applied Acoustics， 2000， 61（1）： 111-129.
31	LI H， LAM K Y， NG T Y. Rotating shell dynamics［M］. Amsterdam： Elsevier， 2005.
32	钟万勰. 结构动力方程的精细时程积分法［J］. 大连理工大学学报， 1994， 34（2）： 131-136.
	ZHONG W X. On precise time-integration method for structural dynamics［J］. Journal of Dalian University of Technology， 1994， 34（2）： 131-136 （in Chinese）.
33	LI X， CHEN Y. Transient dynamic response analysis of orthotropic circular cylindrical shell under external hydrostatic pressure［J］. Journal of Sound and Vibration， 2002， 257（5）： 967-976.

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类型	模态（m，n）	固有频率/Hz
类型	模态（m，n）	n₀=0	n₀=1	n₀=2	n₀=3	n₀=4
FG-UD	（1，5）	1 261	1 569	1 552	1 549	1 549
FG-UD	（2，5）	2 765	3 208	3 331	3 283	3 282
DFG-X	（1，5）	1 366	1 669	1 652	1 649	1 648
DFG-X	（2，5）	2 881	3 343	3 471	3 421	3 420
DFG-O	（1，5）	1 214	1 533	1 516	1 512	1 512
DFG-O	（2，5）	2 766	3 209	3 333	3 285	3 284
DFG-V	（1，5）	1 283	1 595	1 578	1 575	1 575
DFG-V	（2，5）	2 826	3 279	3 405	3 356	3 355
DFG-A	（1，5）	1 295	1 602	1 585	1 582	1 581
DFG-A	（2，5）	2 809	3 257	3 381	3 333	3 332

类型	模态（m，n）	固有频率/Hz
类型	模态（m，n）	n₀=0	n₀=1	n₀=2	n₀=3	n₀=4
FG-UD	（1，5）	1 579	1 965	1 944	1 940	1 940
FG-UD	（2，5）	2 988	3 466	3 579	3 548	3 547
DFG-X	（1，5）	1 700	2 077	2 057	2 053	2 052
DFG-X	（2，5）	3 058	3 639	3 758	3 724	3 723
DFG-O	（1，5）	1 537	1 940	1 919	1 914	1 913
DFG-O	（2，5）	3 013	3 442	3 554	3 523	3 522
DFG-V	（1，5）	1 615	2 008	1 986	1 983	1 982
DFG-V	（2，5）	3 026	4 017	3 648	3 616	3 612
DFG-A	（1，5）	1 614	1 996	1 975	1 972	1 970
DFG-A	（2，5）	3 027	3 510	3 623	3 592	3 592

类型	模态（m，n）	固有频率/Hz
类型	模态（m，n）	n₀=0	n₀=1	n₀=2	n₀=3	n₀=4
FG-UD	（1，5）	872	1 084	1 073	1 071	1 071
FG-UD	（2，5）	1 860	2 158	2 220	2 208	2 208
DFG-X	（1，5）	980	1 197	1 185	1 183	1 183
DFG-X	（2，5）	1 908	2 271	2 338	2 324	2 324
DFG-O	（1，5）	817	1 031	1 020	1 017	1 015
DFG-O	（2，5）	1 870	2 136	2 209	2 187	2 183
DFG-V	（1，5）	899	1 115	1 103	1 101	1 101
DFG-V	（2，5）	1 884	2 200	2 265	2 252	2 252
DFG-A	（1，5）	897	1 109	1 098	1 096	1 096
DFG-A	（2，5）	1 886	2 187	2 260	2 238	2 238

振型（m，n）	行波频率	频率/Hz		RD/%
振型（m，n）	行波频率	文献［6］	本文	RD/%
（1，20）	f_f	9 611	9 607	0.04
（1，20）	f_b	9 631	9 627	0.04
（1，21）	f_f	10 570	10 566	0.04
（1，21）	f_b	10 589	10 586	0.03
（1，22）	f_f	11 576	11 573	0.03
（1，22）	f_b	11 594	11 591	0.03
（1，23）	f_f	12 628	12 626	0.02
（1，23）	f_b	12 646	12 644	0.02
（1，24）	f_f	13 727	13 725	0.01
（1，24）	f_b	13 744	13 742	0.01
（1，25）	f_f	14 873	14 872	0.01
（1，25）	f_b	14 890	14 888	0.01

振型（m，n）	简支-简支			固支-自由
振型（m，n）	文献［22］固有频率/Hz	本文固有频率/Hz	RD/%	文献［17］固有频率/Hz	本文固有频率/Hz	RD/%
（1，1）	13.211	13.216	0.038	250.8	249.02	0.71
（1，2）	4.48	4.481	0.022	151.53	150.02	1.01
（1，3）	4.156 9	4.157	0.002	219.33	218.76	0.26
（1，4）	7.038 2	7.038	0.003	382.85	386.91	1.05
（1，5）	11.241	11.241	0
（1，6）	16.454	16.455	0.006
（1，7）	22.634	22.635	0.004
（1，8）	29.77	29.771	0.003
（1，9）	37.859	37.862	0.008
（1，10）	46.901	46.905	0.009

双功能梯度碳纳米管增强复合材料旋转圆柱壳的振动分析

Vibration analysis of rotating dual⁃functional gradient composite cylindrical shell reinforced with carbon nanotubes

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阶次	FG-UD		DFG-X		DFG-O		DFG-V		DFG-A
阶次	振型（m，n）	频率/Hz	振型（m，n）	频率/Hz	振型（m，n）	频率/Hz	振型（m，n）	频率/Hz	振型（m，n）	频率/Hz
1	（1，5）	1 549	（1，5）	1 649	（1，5）	1 512	（1，5）	1 575	（1，5）	1 582
2	（1，4）	1 713	（1，4）	1 769	（1，6）	1 651	（1，4）	1 741	（1，4）	1 738
3	（1，6）	1 728	（1，6）	1 893	（1，4）	1 713	（1，6）	1 763	（1，6）	1 778
4	（1，7）	2 136	（1，3）	2 356	（1，7）	2 019	（1，7）	2 187	（1，7）	2 205
5	（1，3）	2 306	（1，7）	2 374	（1，3）	2 340	（1，3）	2 351	（1，3）	2 343
6	（1，8）	2 691	（1，8）	3 007	（1，8）	2 534	（1，8）	2 760	（1，8）	2 780
7	（2，6）	3 048	（2，6）	3 230	（2，6）	2 996	（2，6）	3 114	（2，6）	3 094
8	（2，7）	3 112	（2，7）	3 363	（2，7）	3 004	（2，7）	3 180	（2，7）	3 169

结构模型	科氏力	类型	频率/Hz
结构模型	科氏力	类型	0 r/min	2×10³ r/min	4×10³ r/min	6×10³ r/min	8×10³ r/min	1×10⁴ r/min
FG-UD	无	动频	1 549	1 557	1 580	1 618	1 670	1 734
	有	前行波	1 549	1 544	1 554	1 580	1 619	1 671
	有	后行波	1 549	1 570	1 606	1 657	1 722	1 800
DFG-X	无	动频	1 649	1 656	1 678	1 714	1 763	1 824
	有	前行波	1 649	1 643	1 652	1 675	1 712	1 760
	有	后行波	1 649	1 669	1 704	1 753	1 815	1 889
DFG-O	无	动频	1 512	1 520	1 544	1 583	1 636	1 701
	有	前行波	1 512	1 507	1 518	1 545	1 585	1 638
	有	后行波	1 512	1 533	1 570	1 622	1 688	1 767
DFG-V	无	动频	1 575	1 583	1 605	1 643	1 694	1 757
	有	前行波	1 575	1 570	1 579	1 604	1 642	1 692
	有	后行波	1 575	1 596	1 632	1 683	1 747	1 824
DFG-A	无	动频	1 582	1 589	1 612	1 649	1 700	1 764
	有	前行波	1 582	1 577	1 587	1 612	1 650	1 701
	有	后行波	1 582	1 602	1 638	1 688	1 752	1 828

[1]	叶永盛, 丁迪, 吴海华, 何恩义, 殷诗浩, 胡正浪, 杨超. 石墨烯增强Fe₃O₄/乙基纤维素复合微球吸波性能[J]. 航空学报, 2023, 44(11): 427549-427549.
[2]	杨钧超王雪明陈向明邹鹏王喆. 低速冲击损伤对复材加筋板压缩性能的影响[J]. 航空学报, 0, (): 0-0.
[3]	李晖, 吕海宇, 邹泽煜, 罗忠, 马辉, 韩清凯. 热环境下纤维增强复合材料圆柱壳非线性振动分析与验证[J]. 航空学报, 2022, 43(9): 425642-425642.
[4]	邹田春, 李龙辉, 刘志浩, 符记, 巨乐章. 搭接长度对CFRP-Al双搭接接头应变分布和失效模式的影响[J]. 航空学报, 2021, 42(6): 224921-224921.
[5]	佟安时, 谢里阳, 白恩军, 白鑫, 张诗健, 王博文. 纤维金属层板的静力学性能测试与预测模型[J]. 航空学报, 2017, 38(11): 221193-221193.
[6]	许琦, 吴振. 考虑横法向热应变的Reddy型功能梯度梁理论[J]. 航空学报, 2017, 38(8): 220918-220918.
[7]	王燕, 李书, 许秋怡, 马骏. 复合材料加筋板剪切后屈曲分析与优化设计[J]. 航空学报, 2016, 37(5): 1512-1525.
[8]	孟维迎, 谢里阳, 刘建中, 白鑫, 佟安时. 玻璃纤维增强铝锂合金层板单峰过载疲劳寿命性能对比研究[J]. 航空学报, 2016, 37(5): 1536-1543.
[9]	石友安, 贺立新, 邱波, 曾磊, 耿湘人, 魏东. 碳布叠层穿刺复合材料多尺度传热特性研究[J]. 航空学报, 2016, 37(4): 1207-1217.
[10]	代吉祥, 沙建军, 王首豪, 王永昌. 纤维表面状态对C/C-SiC复合材料微观组织和相成分的影响[J]. 航空学报, 2015, 36(5): 1704-1712.
[11]	姬尧尧, 王富生, 岳珠峰, 刘志强. 金属聚合物复合材料的电树枝生长模拟[J]. 航空学报, 2014, 35(11): 3182-3189.
[12]	李彪, 李亚智, 杨帆. 考虑复合材料层合板就地效应的强度理论[J]. 航空学报, 2014, 35(11): 3025-3036.
[13]	郑瑞晓, 张艺镡, 马朝利, 马凤梅, 肖文龙. 多重纳米结构轻质高强铝基复合材料的制备和组织性能[J]. 航空学报, 2014, 35(10): 2802-2812.
[14]	郭洪波, 宫声凯, 徐惠彬. 新型高温/超高温热障涂层及制备技术研究进展[J]. 航空学报, 2014, 35(10): 2722-2732.
[15]	路菲, 陈国定, 苏华, 王莉娜. 2.5D碳/碳复合材料指尖密封动态性能分析[J]. 航空学报, 2013, 34(11): 2616-2625.

振型（m，n）	无量纲频率		RD/%
振型（m，n）	文献［33］	本文	RD/%
（1，2）	0.207 822	0.207 860	0.02
（1，3）	0.139 494	0.139 529	0.03
（1，4）	0.100 772	0.100 806	0.03
（1，5）	0.081 952	0.081 984	0.04
（1，6）	0.079 335	0.079 362	0.03
（1，7）	0.089 433	0.089 454	0.02