CJA ENGLISH

导航

联系我们
学术质量   |
广告服务   |
期刊征订   |
English Version CJA

航空学报 >

2026 , Vol. 47 >Issue 1: 332127 - 332127

DOI: https://doi.org/10.7527/S1000-6893.2025.32127

电子电气工程与控制

逆变器供电永磁电机电磁振噪计算方法综述

  • 刘童 1 ,
  • 赵文祥 , 1, 2 ,
  • 吉敬华 1
展开
  • 1. 江苏大学 电气信息工程学院，镇江 212013
  • 2. 南京工程学院 电力工程学院，南京 211167
．E-mail：

收稿日期: 2025-04-15

  修回日期: 2025-06-10

  录用日期: 2025-07-14

  网络出版日期: 2025-07-30

基金资助

国家自然科学基金(52025073)

国家自然科学基金(92466202)

收起

Review of computational methods for electromagnetic vibration and noise in inverter-fed permanent magnet synchronous machines

  • Tong LIU 1 ,
  • Wenxiang ZHAO , 1, 2 ,
  • Jinghua JI 1
Expand
  • 1. School of Electrical and Information Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China
  • 2. School of Electric Power Engineering，Nanjing Institute of Technology，Nanjing 211167，China
E-mail：

Received date: 2025-04-15

  Revised date: 2025-06-10

  Accepted date: 2025-07-14

  Online published: 2025-07-30

Supported by

National Natural Science Foundation of China(52025073)

Fold

摘要

逆变器供电下的永磁电机内存在丰富的电流谐波激励，这对永磁电机的电磁振动与噪声特性具有重要影响，其建模与计算方法已成为该领域的研究热点。传统有限元法尽管具有较高精度，但存在求解流程复杂、计算耗时长的问题，难以满足初期开发阶段中对求解高效性的需求。因此，亟需发展高效且高精度的建模计算方法，用于逆变器供电下永磁同步电机电磁振动噪声的快速求解。针对这一问题，对现有逆变器供电下永磁电机电磁振动与噪声的建模计算方法进行了系统梳理，涵盖多类别电流谐波、电磁力、结构模态、振动响应及辐射噪声等关键环节的多种建模计算方法，并分类总结了各类方法的基本原理、优缺点及研究现状。最后，通过总结并展望未来发展方向，为该领域的进一步探索与实际应用提供了参考。

关键词： 永磁同步电机; 逆变器供电; 电磁力; 电磁振动噪声; 建模计算

本文引用格式

刘童 , 赵文祥 , 吉敬华 . 逆变器供电永磁电机电磁振噪计算方法综述[J]. 航空学报, 2026 , 47(1) : 332127 -332127 . DOI: 10.7527/S1000-6893.2025.32127

Abstract

Inverter-fed Permanent Magnet Synchronous Machines （PMSMs） are subject to substantial current harmonic excitations， which critically affect their electromagnetic vibration and noise characteristics. The accurate modeling and efficient computation of these effects have emerged as key research focuses in recent years. While the conventional finite element method offers high precision， its complex implementation procedures and substantial computational costs limit its applicability， particularly during the early stages of motor development where rapid iteration is essential. Consequently， there is a pressing need for modeling and computational approaches that can achieve favorable balance between accuracy and efficiency in the analysis of electromagnetic vibration and noise in inverter-fed PMSMs. To address this issue， this paper presents a comprehensive review of the state-of-the-art modeling and computational techniques for electromagnetic vibration and noise analysis in inverter-fed PMSMs. The review systematically examines key factors such as current harmonic types， electromagnetic force generation， structural modal behavior， vibration responses， and radiated noise. For each aspect， the underlying principles， methodological strengths and weaknesses， and recent research advances are summarized. Finally， future research directions are discussed to highlight opportunities for further theoretical development and practical application in the field.

Key words： permanent magnet synchronous machine; inverter-fed; electromagnetic force; electromagnetic vibration and noise; modeling and computation

“新质生产力”正引领我国向高科技、高效能及高质量的全新发展层次迈进，对航空航天等高精尖领域提出了更高的技术要求。特别是对这些领域中的关键基础部件——永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Machine， PMSM）的性能和品质要求也在持续提升［1］。凭借高功率密度、高效率、良好的动态性能以及结构简单等优点，PMSM逐渐成为行业主流选择，被广泛应用于推进系统、作动器及辅助发电系统之中［2-4］。然而，在逆变器供电下，电机运行会产生复杂的强电磁振动与噪声，直接影响系统的稳定性、可靠性和隐身性能，尤其在高温、高速或高海拔等极端环境中，电磁振噪问题更难以忽略［5］。针对这一问题开展其建模计算方法研究，不仅有助于揭示逆变器供电对电机电磁振噪的耦合机理，还能为优化设计、降噪控制和系统集成提供理论依据和技术支持。进一步以满足未来高性能航空装备对低振动噪声、高可靠性的严苛要求。因此，深入探讨逆变器供电永磁电机电磁振噪计算方法的研究，对于推动航空电机技术进步和工程应用具有重要的理论价值和实际意义。
近年来，针对PMSM振动噪声的产生机理、分析方法、建模计算以及抑制策略的研究得到了国内外学者的广泛关注。现有的振动噪声抑制方法涵盖了PMSM的电磁拓扑优化、驱动控制策略改进以及机械结构设计等多个层面［6-8］。在设计初期阶段，为验证抑制策略的有效性，高效地评估PMSM中的电磁力谐波及电磁振动噪声至关重要。目前，多物理场有限元联合仿真被广泛应用于此类评估。然而，由于有限元法的复杂性及跨软件联合仿真的高计算成本，特别是在考虑多工况运行和丰富电流谐波的情况下，仿真复杂度与计算负荷进一步增加，严重影响评估效率。因此，开发高效、高精度且易用的PMSM振动噪声建模计算方法已成为该领域的重要研究热点［9-11］。
PMSM系统的振动噪声来源复杂多样，根据其产生机理主要分为以下4个方面：① 结构因素，如转子静/动偏心、轴承磨损、连接装置对中精度不足、转轴弯曲错位及装配误差等［12-14］；② 电磁因素，非正弦电流导致的转矩脉动、不平衡磁拉力、磁致伸缩以及线圈受力等；③ 硬件因素，功率开关器件的尖峰电压和电流、DC-DC转换器与电感元件的铁心与线圈振动、电路板在高速开关状态下的振动噪声等；④ 冷却因素，风扇质量不均或装配误差以及冷却介质流体摩擦引起的噪声。其中，电磁振动噪声在总振动噪声中占据重要地位，研究也集中于通过电磁拓扑优化和驱动控制策略改进来减少电磁力谐波，从而改善振动噪声性能。
文献［15-17］以PMSM电磁力谐波的产生机理为切入点，基于电磁力调制效应，系统分析了槽极配合、绕组形式、电磁拓扑及驱动控制策略对电磁力及电磁振动噪声的影响，并总结了相应的抑制策略。图1 ［16，18-22］概述了PMSM电磁振动噪声的仿真计算框架，涵盖了驱动控制、电磁场、结构力学及声学等多学科内容。对于驱动和电磁部分主要采用时域下的仿真，因其能准确捕捉非正弦激励特性、动态电磁力波动及PMSM非线性响应而具有不可替代的作用。然而，该方法在时间尺度跨度大、多物理耦合、边界处理等方面面临显著挑战。当前主流方法多采用有限元时步法、多尺度建模与控制系统联合建模相结合的方式，以兼顾建模精度与计算效率，逐步构建覆盖从逆变器控制到结构响应的完整链路仿真框架。实现这一计算框架需要在多个物理场中建立模型并进行数据传递，研究难度大且具有重要的研究价值。
图 1 PMSM电磁振动噪声仿真框架［16，18-22］

Fig.1 Simulation framework of electromagnetic vibration and noise for PMSM［16，18-22］

为了进一步推动该领域的研究，系统性回顾和总结逆变器供电PMSM电磁振动噪声建模计算的研究进展显得尤为重要。本研究首先梳理现有的PMSM多类别电流谐波及电磁力的建模计算方法，分析其优缺点；其次，综述PMSM结构部件材料属性等效方法、模态、电磁振动和噪声的建模计算方法；最后，展望未来发展趋势和研究方向，为学术研究与工程实践提供参考。

1 多类别电流谐波建模计算方法

逆变器供电下PMSM中的电流谐波可分类为以下4种：① 由于脉宽调制技术对逆变器进行驱动控制所产生的载波及其倍数次频率附近的边带电流谐波，其频率特征可表示为mfc ±nf 1，其中fc 为载波频率，f 1为基波频率，m和n为互不相等的正整数［23］；② 由于PMSM反电势谐波或逆变器非线性所产生的中低频电流谐波，其频率主要是基波电流的整数倍次，还包括如开绕组驱动形式下存在的零序电流谐波［24］；③ 由于不同载波形式或位置传感器误差导致的围绕在基波附近的边带电流谐波［25］。④ 由无位置控制或其他谐波注入控制策略中引入的电流谐波。
现今国内外对于逆变器供电下PMSM中电流谐波建模计算的研究主要集中于由开关器件所导致的高频边带电流谐波的解析计算及特征分析［15-19］。而对于中低频率的电流谐波而言，由于其受到PMSM和逆变器非线性因素影响较大，难以进行直接的建模计算，多通过联合有限元仿真方法进行评估。

1.1 中低频电流谐波

PMSM反电势谐波含量受到多个因素的综合影响，包括磁极形状、绕组设计、齿槽效应、磁饱和效应、永磁体质量、齿槽效应、端部效应、机械误差和运行工况等［26-28］。PMSM反电势中的谐波会导致绕组中电流谐波的产生，特别是在转速动态变化工况下会出现的短暂畸变，以及在高负载工况下由于铁心饱和导致的磁通非线性变化会进一步导致电流谐波的增加。由于其非线性特征，难以对由反电势谐波引起的电流谐波进行直接解析计算。现有方法常采用电磁有限元模型与驱动控制模型联合仿真的方式来实时获取电流谐波。此外，文献［29］提出了基于差分进化算法的计算模型来预测电流谐波。该方法的核心是基于磁场解析模型来建立PMSM相电流谐波与逆变器输出端电压谐波间的关系，以PMSM端电压与逆变器输出电压之间的拟合度为优化目标，通过差分进化算法对各电流谐波进行全局优化以获取各阶次谐波的幅值与相位，进而修正模型中参数。
在PMSM驱动控制中死区所导致的指令电压与实际电压之间的误差以及寄生电容放电时间误差所引起的电流波形畸变，均会在逆变器输出侧引入谐波分量。文献［30-31］通过双重傅里叶分解算法解析了考虑死区效应的电压源逆变器输出谐波特征。此外，功率器件（如IGBT、MOSFET或二极管）在导通状态时存在的导通压降会影响逆变器的输出电流波形，导致电流偏离理想的正弦波形。同时，由于导通压降的非线性特点，会导致电流在不同的负载条件下产生失真，进一步增加谐波含量。文献［32］中对三相四开关逆变器供电PMSM采用等效电路法解析了导通压降对输出电压谐波的影响。在逆变器供电PMSM系统中还存在由于整流器的非连续输出特性和母线电容滤波能力不足等因素所导致的电压纹波［33］。文献［34］中研究了母线电流纹波的建模方法，通过在时域生成逆变器开关函数、结合频域卷积分析谐波分布，并引入母线等效传递函数来模拟纹波在高压直流母线中的传递与衰减特性。该方法兼顾了不同调制策略、电机控制状态和母线结构变化下的准确性与计算效率。
中低频率电流谐波因其受PMSM系统内非线性因素的影响较大，难以直接进行解析计算，常采用仿真-解析相结合的方法进行计算，或结合优化算法调整解析模型中的参数来提升计算精度。

1.2 高频边带电流谐波

PWM会使得在PMSM绕组中产生围绕在开关频率及其整数次频率范围的边带电流谐波。文献［35］以对称规则采样的空间矢量脉宽调制技术产生机理出发，采用双重傅里叶分解法对三相PMSM的高频边带电流谐波进行解析计算。图2 ［35］所示为高频边带电流谐波的解析结果与实测电流的对比，可以看出该方法所推导的解析模型对于计算高频边带电流谐波而言具有较高准确性，其中ωs 和ω 1分别为载波和基波角频率。
图 2 不同转速下高频边带电流谐波幅值对比［35］

Fig.2 Comparison of high-frequency sideband current harmonic amplitudes at different rotational speeds［35］

上述方法适用于理想工况运行下的三相表贴式PMSM，然而实际中高频边带电流谐波的受影响因素较多。例如，PMSM中饱和非线性磁场的影响、磁滞及涡流反作用、采样延迟、转子位置检测误差等等因素。对于在重载运行工况下的表贴式或内嵌式PMSM而言，由于磁场饱和及交叉耦合效应的影响，在计算高频边带电流谐波时也应考虑交叉耦合电感的影响，此时解析得出的dq空间内高频边带电流谐波为［36］
i d _ ω k = L q u d _ ω k - σ M L d L q u q _ ω k j ω k L d L q 1 - σ M 2 i q _ ω k = L d u q _ ω k - σ M L d L q u d _ ω k j ω k L d L q 1 - σ M 2
式中：Ld 和Lq 分别为d轴和q轴电感，σM 为交叉耦合系数，ωk 为第k阶高频边带电流谐波的角频率，ud_ωk 和uq_ωk 分别为d轴和q轴下第k阶高频边带电压谐波分量。此外，该文献也对比了id =0和最大转矩电流比控制对高频边带电流谐波幅值的影响，对比结果也指出不同的控制策略所导致的调制波函数差异会影响高频边带电流谐波的幅值及相位。
对于低载波比运行的PMSM中存在的采样延迟效应，文献［37］对于对称和非对称规则提出了一种使用拉格朗日展开和复坐标变换的修正解析模型解析采样延迟效应影响下高频边带电流谐波特征，同样采用双重傅里叶分解方法进行计算。由于铁心材料磁滞效应及永磁体的涡流反作用能够影响PMSM内磁场特性，文献［38］提出了基于小信号时间谐波有限元分析方法，考虑了磁滞和涡流反应效应以提升对高频边带电流谐波的计算模型精度。对于旋转变压器产生的转子位置误差信号所引起的电流谐波，文献［39］推导了考虑转子位置误差信号影响的相电流表达式，计算结果表明转子位置误差信号会导致在原有的fc ±nf 1边带谐波中额外产生fc ±nf 1±Prf 1和fc ±nf 1±2Prf 1的电流谐波，其中Pr 为旋转变压器极对数和PMSM转子极对数的比值。
对于高频边带电流谐波建模计算而言，双重傅里叶分解是计算该类别谐波的有效方法。且近期所提出的解析计算方法从基于理想假设条件拓展到考虑多种外部因素影响下的精细化建模计算。

2 非正弦激励电磁力建模计算方法

PMSM电磁振动噪声计算的核心是对电磁力的建模计算。特别考虑高频边带谐波电流激励时，在1个电周期内需要大量的计算步数才能满足高频电磁力谐波的计算需求。1个电周期内所需的计算步数N cyc可由下式进行计算
N c y c = S c y c f m a x f 1
式中：S cyc为采样倍数，通常大于等于2，f max为要关注的谐波最高频率。为确保对PMSM电磁力中高频谐波分量的精确建模，必须在1个电周期内进行足够密集的时间采样。虽然理论上采样倍数满足奈奎斯特条件即可避免频率混叠，但在实际仿真中，考虑到谐波能量泄露和傅里叶重构误差对高频激励的敏感性，通常需要更高的采样倍数，若希望误差控制在±10%以内，建议采样倍数取值为3~5之间。

2.1 电磁力计算原理及分析

导致PMSM发生电磁振动噪声的是作用在定子铁心边界上的不平衡电磁力，其基本计算方法可分为麦克斯韦应力张量法和虚位移法2种。采用麦克斯韦应力张量法时需要通过径向及切向的气隙磁密来计算电磁力密度。径向磁通PMSM中的径向力密度P rad和切向力密度P tan可表示为［18］
P r a d θ , t = 1 2 μ 0 b r a d 2 θ , t - b t a n 2 θ , t
P t a n θ , t = b r a d θ , t b t a n θ , t μ 0
式中：b rad和b tan分别表示气隙圆周上的径向和切向磁密（通常取气隙中线处），μ 0为真空磁导率，θ为空间位置角，t为时间。
类似地，对于轴向磁通PMSM的轴向力密度P axi可表示为［19］
P a x i θ , t ≈ b a x i 2 θ , t 2 μ 0
式中：b axi表示轴向气隙磁密分量。
采用虚位移法计算的电磁力可表示为［40］
F s = ∂ ∂ s ∫ Ω ∫ 0 H B ⋅ d H d Ω
式中：H是磁场强度，B是磁通密度，Ω为积分域。对于铁心边界处网格单元区域内，其网格单元局部的节点电磁力可表示为
F s i = ∑ ∀ e ∈ e ∫ e - B T ⋅ J - 1 ⋅ ∂ J ∂ s ⋅ H +
         μ 2 H 2 J - 1 ∂   J ∂ s d V
式中：J为网格单元Jacobian矩阵，μ为磁导率。
相较于虚位移法，麦克斯韦应力张量法仅需获取气隙圆周上的磁密分量便可完成计算，具有计算简单快速的优点。采用该方式可以清晰地分离出各阶次电磁力谐波的磁密谐波来源，用以指导不同电磁拓扑PMSM的电磁力抑制方法，因此被广泛采用于各类研究中。无论采用何种方法，都依赖于对PMSM内电磁场的求解计算。
文献［23］采用麦克斯韦应力张量法分别对内/外转子PMSM中由高频边带电流谐波导致的电磁力时空特征进行了总结分析。以内转子PMSM为例，由频率为fc ±2f 1和fc ±4f 1的高频边带电流谐波产生的电磁力空间阶次及频率特征汇总如表1中所示，其中Nt 为槽数和极对数的最大公约数，z 0和p 0分别表示单元电机的槽数和极对数。此外文献［41-42］分别对整数槽和分数槽集中绕组PMSM的高频边带电磁力的幅值、频率及相位特征进行半解析分析。
表1 分数槽集中绕组PMSM高频边带电磁力时空特征

Table 1 Spatiotemporal characteristics of high-frequency sideband electromagnetic force in fractional-slot concentrated winding PMSM

电流频率 电磁力阶次 电磁力频率
z 0=2p 0±1 z 0=2p 0±2
fc +2f 1 0 0 fc +3f 1
Nt fc +f 1
2Nt 2Nt fc +f 1
fc -2f 1 0 0 fc -3f 1
Nt fc -f 1
2Nt 2Nt fc -f 1
fc +4f 1 0 0 fc +3f 1
Nt fc +5f 1
2Nt 2Nt fc +5f 1
fc -4f 1 0 0 fc -3f 1
Nt fc -5f 1
2Nt 2Nt fc -5f 1

2.2 非正弦激励电磁场建模计算方法

PMSM内电磁场建模计算的研究工作包含了对PMSM内气隙磁场、槽内漏磁场及铁心区域磁场的求解。国内外学者多年来提出了多种PMSM内电磁场建模计算，例如解析法、数值法、等效法及半解析法等。文献［10］已经对这些方法进行了系统总结对比。本节主要针对近年来国内外的新颖电磁场建模计算方法进行阐述。

2.2.1 无网格法

近年来，有学者将无网格法应用于PMSM内的电磁场计算中，无网格法因其不需要网格剖分的特点，常用于解决流体力学和结构的大位移/形变等问题。文献［43］采用基于有限差分原理的无网格法，通过对转子进行规则布点进而计算气隙磁场以及转子铁心应力分布，进而能够实现磁场及应力场的双向耦合计算，如图3中所示。基于电磁场方程和结构应力方程实现电机内磁场及应力场的双向耦合计算，验证了无网格方法在电机多物理场耦合计算的适用性。与有限元方法相比，该方法在预测稳态和瞬态时的电磁性能和应力场方面提供更高的精度和效率。文献［44］将一种无网格广义有限差分法应用于PMSM内瞬态磁场的求解中。其主要思想是将控制方程中未知变量的各阶偏导数表示为相邻节点函数值的线性组合。图4所示为文献［44］中无网格法建模示意图。图4（a）所示为一块用节点离散后的求解域，选择一个中心节点，并搜索支持域内的节点，以形成求解支持区域。完成对PMSM各区域的节点排布后（图4（b）所示），通过遍历各节点的支持域来对气隙磁密等磁场特征进行求解。
图 3 无网格有限差分法示意图［43］

Fig.3 Diagram of meshless finite difference method［43］

图 4 无网格广义有限差分法示意图［44］

Fig.4 Diagram of meshless generalized finite difference method［44］

无网格法与传统有限元法在计算瞬态磁场时类似，需要在气隙的运动交界区域布置大量的节点才能满足PMSM极小运动步长的计算需求，进而才得以完成考虑非正弦激励时气隙磁密的求解。假设高频边带谐波电流分量不影响磁场饱和情况时，可以采用小信号激励法等措施来单独计算高频电流谐波所产生的磁场分量，以提升计算效率。

2.2.2 子域模型法

子域模型法被广泛应用于各类PMSM磁场的求解之中。该方法的基本思想是根据场源特征将PMSM的电磁拓扑划分为多个子域，将复杂的磁场微分方程问题转化为求解多组通解待定系数的线性方程问题，从而简化计算。传统子域模型中是假设PMSM工作在线性区域之中，难以考虑磁场饱和的影响。为了解决这一缺点，文献［45］提出了一种将子域模型与等效磁路法相结合的混合模型来考虑铁心区域饱和对气隙磁场的影响。该方法使用等效电流片的电流密度作为定子槽区域的边界条件，通过对铁心区域磁导的磁导率迭代来考虑非线性效应。在完成对铁心区域磁导的迭代计算后，获取定子槽内边界处更新后的电流密度。该方法对定子侧的等效处理如图5所示，图中SD代表子域（Sub-domain），PM代表永磁体（Permanent magnet）。
图 5 混合子域模型的等效过程［45］

Fig.5 Equivalent process of hybrid subdomain model［45］

文献［46-47］将该混和子域法拓展应用在内嵌式及游标电机之中，在计算气隙磁密取得良好的计算精度，进一步验证该方法的有效性。文献［48-49］提出了考虑平行磁化和磁桥饱和效应的子域方法对内嵌式U型磁极PMSM进行建模计算，能够适用于任意形状磁极及不规则铁心区域，如图6所示。文献［50］将子域模型法与磁动势-磁导法进行结合对表贴式PMSM的气隙磁场完成了解析计算，能够计及充分铁心饱和及高频边带电流谐波对磁场特征的影响。
图 6 U型磁极转子子域划分示意图［48-49］

Fig.6 Diagram of subdomain division for U-shaped magnetic pole rotor［48-49］

通过上述中各学者对混合子域模型法的拓展研究可以看出，结合等效磁路法的子域模型能够考虑饱和效应以提升对气隙磁场等参数的计算精度，结合离散化的子域划分思路可以将该方法应用于结构较为复杂的PMSM中，并能够取得较好的计算精度。应用混合子域模型法求解气隙磁密的优势在其能够直接给出气隙磁密径向和切向分量的物理解析表达式，能够快速进行求解且能够清晰反映出PMSM内各参数变化对气隙磁密及电磁力的影响。此外，混合子域模型法不需要网格的剖分，在求解考虑高频边带电流谐波输入时无需增加子域数量，仍能够快速地完成求解。但是，该方法的主要难点在于对多子域的划分时，其整体的物理方程数量较多，推导过程较为复杂，在PMSM设计初期用于电磁性能和电磁力的计算时具有较高的难度，难以推广应用。

2.2.3 等效磁网络法

近些年来，基于磁导单元剖分思想的等效磁网络受到了广泛的研究。其基本思路是采用各类型小磁导单元对PMSM复杂几何区域或者磁力线复杂区域进行剖分建模再组成一个完成的模型并进行求解［51］。剖分式等效磁网络模型由于对电磁区域细致的剖分处理，可计算得到较为准确的磁密。文献［52-53］分别对Spoke型及V型内嵌式PMSM建立等效磁网络模型，提出了菱形及五边形等磁导单元，并采用共形映射法处理转子表面修型区域以提升模型的计算精度。图7 ［52］为Spoke型内嵌式PMSM的定转子及气隙区域的等效磁网络模型，由图7（b）中磁导单元可以直接求解出气隙的径向及切向磁密，进而可采用式（3）和式（4）直接计算径向和切向电磁力密度。
图 7 Spoke型内嵌式PMSM等效磁网络模型［52］

Fig.7 Equivalent magnetic network model of spoke-type interior PMSM［52］

然而，剖分式等效磁网络模型在求解时处理旋转运动的方式是通过改变磁导网格间的连接关系来实现。这也意味着，在考虑高频边带电流谐波时就需要在交界区域划分大量的磁导单元才能满足极小步长的求解需求。如图8中所示，现有的剖分式等效磁网络模型处理PMSM运动过程是通过改变交界面处磁导的连接关系来实现的［51］，这也意味着当考虑高频边带电流谐波时需要再交界面区域划分大量的磁导单元才得以满足小步长的求解需求，这无疑会大大增加计算量。文献［20］提出了一种适用于表贴式PMSM的离散化等效磁网络模型，在求解瞬态场时通过改变转子区域中各单元内磁势和磁导的数值来体现PMSM的旋转运动，避免大量的磁导单元划分，进而可考虑高频边带电流谐波对磁场的影响。
图 8 等效磁网络模型运动处理方法示意图［51］

Fig.8 Diagram of motion processing method for equivalent magnetic network model［51］

剖分式等效磁网络目前可以适用于多种电磁拓扑的PMSM中。结合运动边界处理等方法可以完成对考虑多类别电流谐波时PMSM内气隙及铁心区域磁场的快速计算。且该方法能够直接根据气隙区域磁导单元内的磁密来求解电磁力。

2.2.4 磁动势磁导法

文献［54］采用了一种混合方法来计算包含高频边带谐波的电流激励下电机中的气隙磁密及电磁力计算方法。基本原理是通过解析-数值混合的方法来获取时间-空间上的气隙磁导函数及磁动势来快速计算PMSM气隙中的径向磁密b rad和切向磁密b tan，可分别表示为
b r a d = B r a d _ m a g + B r a d _ a r m =          f r a d _ m a g + f a r m λ r a d + f r a d _ m a g λ t a n b t a n = B t a n _ m a g + B t a n _ a r m =          f t a n _ m a g λ r a d - f r a d _ m a g + f a r m λ t a n
式中：f rad_mag和f tan_mag分别为由永磁体产生的径向和切向磁动势，f arm为电枢磁动势，λ rad和λ tan分别为气隙的径向和切向磁导，由定子和转子侧磁导合成。该方法可在时域内采用瞬时电流激励来快速计算气隙中的磁密分量。此外，文献［55］提出了复数气隙磁导模型，采用有限元法分别获取转子和定子磁场作用下的气隙磁密来计算气隙磁导波形，并且在计算时考虑了高频边带电流谐波的影响。这类方法的核心是通过数值方法求得励磁源到气隙磁密的调制函数，以便于对内气隙磁密进行快速计算。
总结上述各方法的优缺点如表2中所示。值得注意的是，上述中的PMSM内磁场建模计算方法常用于求解单个工况下的磁场，然而实际中PMSM的电磁振动评估是在多工况下进行的，如启动升速过程、动态工况变化及减速过程等。若采用上述各方法对每个工况进行计算则效率低下，还需与降阶模型算法进行结合以提升效率。此外，PMSM中还存在三维漏磁的情况（如端部漏磁和分段斜极转子的极间漏磁），这类漏磁的存在同样会影响漏磁区域的电磁力幅值大小，需要建立三维的计算模型来考虑该因素的影响，如考虑轴向磁通的三维等效磁导单元和基于三维空间坐标描述的数值求解法等。
表2 逆变器供电PMSM电磁力建模计算方法对比

Table 2 Comparison of electromagnetic force modeling and calculation methods for inverter-fed PMSM

方法 优点 缺点
无网格法

几何适应性强，适合复杂结构建模

无需预定义网格，减少前处理时间

计算精度较高，适合局部细节分析

计算复杂度高

计算资源要求高

对复杂边界条件处理仍需优化

子域模型法

以解析法为基础，计算效率高

适合规则几何结构的PMSM

能快速预测电磁力分布

适用于简单几何结构，复杂结构精度下降

忽略高阶谐波，精度有限

边界条件假设可能导致误差

等效磁网络法

计算速度快，适合快速设计优化

适合初步分析和参数化研究

模型简化可能导致误差

建模过程较为复杂

磁动势磁导法

物理意义明确，易于理解和实现

计算效率高，适合设计初期快速分析

忽略复杂磁场分布时精度低

需要数值法考虑饱和效应

3 结构模态建模计算方法

对PMSM进行模态分析目的是研究其固有模态频率和模态振型，避免在PMSM的主要运行工况下发生严重的共振。PMSM模态的对象包括转子侧部件和定子侧部件这2部分。转子侧部件的动力学模态分析主要是评估转子的固有频率、临界转速、转子不平衡响应等动力学特性，特别是对高速PMSM及采用轴向混合转子结构的PMSM而言十分重要。定子侧部件的模态分析是为了评估其各阶模态频率以避免PMSM在主要工况下发生共振。对于无阻尼自由约束下的径向磁通PMSM定子侧部件，其径向模态振型主要如图9所示［16］。对PMSM模态的建模计算通常需要对其各部件进行合理简化，且需要对各部件材料属性及各部件间接触关系进行合理等效。
图 9 定子径向模态振型［16］

Fig.9 Stator radial modal shapes［16］

3.1 材料属性计算方法

通常而言，PMSM结构部件可分为：① 定子侧部件，包括了定子铁心、电枢绕组及机壳；② 转子侧部件，转子铁心、转轴、永磁体、护套、轴承等；③ 前后端盖及编码器等，如图10所示［21］。模态计算时主要对定子侧部件材料属性进行处理。
图 10 PMSM主要结构部件［21］

Fig.10 Main structural components of PMSM［21］

PMSM中的铁心部件是由软磁薄片沿特定方向叠压而成，电枢绕组采用多匝漆包线或扁线沿着轴向绕制堆叠而成，因此在对定子侧部件进行整体等效时需要将其视为具有正交各项异性属性的结构。描述材料的属性参数包括密度、杨氏模量、剪切模量和泊松比等参数。对于定子铁心的等效，可将其看作是叠片与空气在轴向叠压成的整体，文献［56］基于Voigt和Reuss规则，计算x、y和z方向上的杨氏模量为
E x , y , z = ϕ a i r E x , y , z a i r q + E x , y , z s t e e l + ϕ s t e e l E x , y , z s t e e l q + E x , y , z a i r ϕ a i r q + E x , y , z s t e e l + ϕ s t e e l q + E x , y , z a i r
q = ϕ a i r E x , y , z a i r 2 1 + v a i r + ϕ s t e e l E x , y , z s t e e l 2 1 + v s t e e l
式中：Ex，y，z 表示在x、y和z方向上的杨氏模量，ϕ air和ϕ steel分别表示空气和铁心在整体结构中的体积占比，可以由叠压系数来确定，v air和v steel分别表示2种材料的泊松系数。类似地，PMSM定子部件的剪切模量也可由该合成规则来进行计算。需要强调的是，由于PMSM结构的对称特性，定子和绕组的材料属性满足Ex =Ey 和Gxz =Gyz，其中Gxz 和Gyz 分别为xz和yz平面上的剪切模量。然而，PMSM中铁心的焊接与铆接、绕组浸漆、模块化定子结构外部固定、壳体与定子过盈装配等对材料属性均具有一定程度的影响，解析方法主要适用于初期评估计算。
此外，在实际应用中常采用模态测试和参数拟合法相结合的措施来修正PMSM定子侧部件材料属性。其基本步骤是先进行模态实验获取频率响应函数曲线，其次对各部件进行模态仿真分析，并通过最小化模态频率平方误差来修正各部件的材料参数。该方法获取得到的材料属性数据可能脱离实际的物理意义，仅在数值上符合实验结果。

3.2 模态振型及模态频率

3.2.1 解析法

为了快速对PMSM定子模态频率进行求解，常将其等效为具有一定厚度的有限长圆柱壳体来进行解析计算。文献［57］基于该简化模型对PMSM的m阶模态频率进行解析计算，可表示为
f m = 1 π D c E c r c k i k m d                         m = 0 f 0 2 1 + k 2 k m r o t / k m d                 m = 1 f 0 k m m 2 - 1 m 2 + 1 k a F m               m ≥ 2
F m = 1 1 + κ 2 m 2 - 1 m 2 + 1 m 2 4 + k m r o t k m d + 3
式中：D c为定子铁心外径，E c和ρ c为定子的杨氏模量和密度，κ为由D c决定的无量纲系数，k mrot和k md分别为旋转和位移的质量附加系数，ka 是表示电机约束条件的系数。这种方法中各项系数的确定是较为困难的，仍需要实验测试进行修正。
此外，文献［58］提出了能够考虑定子侧各部件材料正交各项异性特征的模态计算方法，将定子铁心、绕组及机壳等部件等效为一圆柱壳体结构，可快速计算电机定子的模态频率及模态振型。文献［59］提出了不等长机壳等效模型的定子模态频率的解析方法，如图11所示。该方法基于壳体内部位移和应变的连续条件，能够精确考虑齿、绕组、接线盒等复杂结构。文献［60］提出了基于开圆柱壳理论的三维等效齿模型和相应的三维面耦合方法来计算定子侧部件的模态频率，相较于传统能量法具有更高的计算精度。文献［61］提出了改进的正向解析方法，采用实体单元模型取代中厚壳模型并考虑绕组附加质量/刚度及绕组浸漆工艺对模态频率的影响，该方法可考虑更多附加因素对于定子模态的影响，能够提供更为准确的计算参考。
图 11 定子复合材料壳体横截面示意图［59］

Fig.11 Schematic diagram of stator composite shell cross-section［59］

3.2.2 梁单元模型法

文献［62］采用了Euler–Bernoulli二维梁单元对定子齿和轭部进行建模，基于定子几何特征，将其等效为多个梁单元连接而成的模型，如图12所示。进一步，文献［63］采用了Timoshenko梁单元对定子轭部进行多层剖分以提升模态特征的计算精度，以考虑剪切模量对模态的影响。
图 12 定子梁单元模型

Fig.12 Beam element model of stator

基于梁单元模型的模态建模计算方法与传统有限元法类似，其求解原理是根据结构尺寸及材料属性参数来计算每一个梁单元的单元刚度矩阵和质量矩阵。通过空间坐标变化及各个梁单元之间的连接关系，确定整体结构梁模型的刚度矩阵K和质量矩阵M，并通过下式计算无阻尼条件下定子各阶模态振型所对应的模态频率ω 0
d e t - ω 0 2 M + K = 0
总结上述各方法的优缺点如表3所示。值得强调的是，PMSM结构模态的建模计算在实际应用中需要结合实验测试结果进一步修正模型中的材料系数以提高求解精度。
表3 逆变器供电PMSM结构模态特征计算方法对比

Table 3 Comparison of structure modal modeling and calculation methods for inverter-fed PMSM

方法 优点 缺点
简化模型解析法

计算方法简单，便于设计初期快速评估PMSM

模态特征

 各项系数难以直接求解忽略材料各项异性，计算精度低不适用于复杂结构模型
考虑材料各项异性解析法

考虑堆叠铁心和绕组对PMSM整体模态的影响

对不规则几何结构的PMSM可进行等效处理

考虑加工工艺对结构模态的影响

 解析形式较为复杂，求解过程较为复杂等效过程难以直接确定，需结合实验进一步修正模型
单层梁单元等效法

建模及求解简单

能够给出PMSM结构模态的振形

Euler–Bernoulli梁单元难以考虑剪切模量

二维梁单元难以考虑材料正交各向异性

多层梁单元等效法 采用Timoshenko梁时可考虑剪切模量，求解精度高 二维梁单元难以考虑材料正交各向异性

4 电磁振动建模计算方法

PMSM中的电磁振动可通过时域上多自由系统的状态方程来描述，如下所示［64］
M u ¨ + K u ˙ + C u = F t
式中： C 为系统的阻尼矩阵，受PMSM的结构尺寸、材料属性及约束条件等因素的影响，｛u｝为位移矢量，F为激励力矩阵。
将时域上的式（14）变换到频域后求解可得到系统振动位移为
u j ω = ∑ v = 1 N ϕ v T ϕ v F j ω ω v 2 + 2 j ω η v ω v - ω 2
式中：ωv 、 ϕ v 和ηv 分别为第v阶模态的频率、归一化模态向量和阻尼，也是在有限元软件中采用的模态叠加法的基本公式。其计算原理是通过单独计算每一阶模态在同阶次电磁力作用下的振动位移，然后进行线性叠加得出最终的振动响应。值得强调的是，式（15）其中的阻尼参数直接影响PMSM振动幅值大小。目前较为广泛采用的阻尼计算方法为经验公式拟合，如下所示［64］
η v = 1 2 2.76 × 10 5 f v + 0.062
式中：fv 为第v阶模态的频率。为了提高阻尼参数计算精度，文献［65］提出了基于有限元法的结构阶跃响应模型来计算阻尼，通过将阶跃力施加到定子系统（包含定子、绕组、外壳、前后端盖）上，并在外壳上测量振动响应来获取频率响应函数，进一步求取各阶模态的阻尼参数。文献［66］提出一种半功率法来计算各阶次模态的阻尼参数，可表示为
η v = f c 2 - f c 1 2 f p e a k
式中：f peak为第v阶模态振型发生峰值加速度响应R max时的频率，f c1和f c2分别为峰值加速度为0.707R max时的两侧频率，如图13 ［66］所示。
图 13 不同阻尼比的振动水平［66］

Fig.13 Vibration levels at different damping ratios［66］

基于上述内容，本节将PMSM电磁振动的模计算方法分为基于简化模型的直接解析法和基于模态叠加的传递函数法2种进行阐述。

4.1 基于简化模型的解析法

为了快速对PMSM定子模态频率进行求解以获取其频率响应函数，常将其等效为具有一定厚度的有限长圆柱壳体来进行直接解析计算。文献［64］采用有限长的圆筒模型来对PMSM定子侧结构进行等效，解析得出时域下PMSM表面径向振动的运动方程为
∂   6 u ∂ θ 2 + 2 ∂   4 u ∂ θ 4 + ∂   2 u ∂ θ 2 - R 4 E J ∂ p r a d ∂ θ - p t a n + ρ A R 4 E J ⋅ ∂   2 ∂ t 2 ∂   2 u ∂ θ 2 - u = 0
式中：R、J和A分别为结构尺寸参数。
文献［67］提出了一种考虑定子开槽的振动简化计算模型，如图14中所示。该方法将电磁力和磁致伸缩力与定子的径向振动进行耦合，其时域下的运动方程可表示为
ρ R 0 2 - R s 2 2 ⋅ ∂ u r , ϑ , t ∂ t = σ t R 0 - R s - σ r R s + f r R o
式中：R s和R 0别为电机定子的内半径和外半径，σr 和fr 分别为磁致伸缩力和麦克斯韦力。
图 14 考虑定子开槽的振动计算模型［67］

Fig.14 Vibration calculation model considering stator slotting［67］

基于简化模型解析法来计算PMSM的电磁振动难以应用于具有复杂齿槽结构、机壳结构或外部多种约束条件的PMSM振动求解之中，仅适用于PMSM设计初期的评估。且该方法也难以考虑PMSM中各部件的材料正交各向异性以及复杂装配和约束条件对振动的影响。

4.2 基于模态叠加的传递函数法

近些年来，基于模态叠加原理的传递函数法受到了国内外学者较多的关注用以计算电磁振动响应。这种方法的优势在于仅需进行一次求解来获取PMSM中磁拉力到振动响应之间的传递函数，再计算特定工况下的电磁力即可快速计算PMSM的振动响应。文献［68］提出了考虑电磁力调制效应及切向电磁力影响的振动传递函数构造方法。其基本流程是首先采用有限元法或者解析方法来获取各阶次单位幅值径向和切向集中力作用下机壳表面圆周的静态形变函数，如图15所示。其次，基于模态频率及阻尼系数得到频率响应函数后完成对振动传递函数的构造，进而振动位移Y可表示为
Y = ∑ α 1,2 , 3 ∑ i = 0 i m a x ∑ v = 0 , ± 1 v m a x y α , i , v = ∑ α 1,2 , 3 ∑ i = 0 i m a x ∑ v = 0 , ± 1 v m a x F α , i , v · H α , v ω · ϕ α , v e j v ' θ + i ω b + φ α , i , v - ψ α , v - ψ α , v , i
式中：F为集中电磁力，α在取1、2和3时分别表示径向，切向及扭矩，i和v分别表示时间和空间阶次，ω b表示电磁力基波频率，φ为电磁力谐波的相位，ϕ表示静态位移的幅值，ψ表示静态位移与集中电磁力之间的相位差。
图 15 二阶单位幅值集中力产生的形变［68］

Fig.15 Deformation of housing generated by second-order unit concentrated force［68］

此外，文献［69-73］进一步拓展研究了多种振动传递函数法的计算方法，例如考虑齿槽结构的解析法、考虑轴向约束影响、基于有限元的传递函数改进构造方法等。这些文献的研究结果表明，基于频域模态叠加原理的振动传递函数法在计算PMSM电磁振动响应时能够获得较为准确的结果且计算效率高。基于模态叠加的传递函数法通过构造电磁力到振动间的映射关系来避免多种工况下电磁振动的重复计算，具有较高的计算效率及准确度。该方法的主要缺点是当PMSM的外部约束条件发生变化时需要重新构造振动传递函数。其局限性在于难以直接求解得到PMSM整个外表面的振动分布情况，不能直接作为后续对PMSM电磁噪声计算的数据基础。总结上述各方法的优缺点如表4所示。
表4 逆变器供电PMSM电磁振动建模计算方法对比

Table 4 Comparison of electromagnetic vibration modeling and calculation methods for inverter-fed PMSM

方法 优点 缺点
简化模型解析法 计算方法简单，主要便于分析PMSM的电磁振形特征

计算精度低

难以考虑齿槽效应的影响

难以考虑复杂结构影响

难以考虑外部约束条件

传递函数法

在获得传递函数后可用于电磁振动的重复计算且求解效率高

能够考虑齿槽、复杂几何结构、约束及材料各项异性属性的影响

传递函数构造方法较为复杂

难以直接求解PMSM整个外表面的振动分布特征

5 电磁噪声建模计算方法

PMSM的电磁噪声是由其机壳及端盖振动向外部声场辐射的声波所造成的。因此，对PMSM电磁噪声进行计算即是在给定声场范围内基于电机外表面结构振动来求解声场的声功率级或声压级。声压级反映了外部声场中特定位置上声波对介质产生的局部压力变化，声功率级反映了声源发出的总声能量，表示声源的噪声输出能力，声压级LP 和声功率级LW 可分别由下式计算μ
L P = 20 l g P s P s r e f L W = 10 l g W s W s r e f
式中：P s为测量位置的有效声压，P sref为2×10-6 Pa，W s为声功率，W sref为10-12 W。

5.1 解析方法

文献［74］提出了一种基于简化电机模型的噪声解析方法，该方法将电机定子侧结构分别等效为无限长和有限长2种圆柱壳体，如图16所示。
图 16 等效圆柱壳体模型［74］

Fig.16 Equivalent cylindrical shell model［74］

在无限长圆柱模型中，电机振动在外部声场中产生的辐射噪声声压在频域下可表示为
p r , θ , z = - j v 0 ρ 0 c 0 k 0 k r d H m 2 k r a d k r a c o s m θ H m 2 k r r e - j k z z
式中：p为声压函数，ρ 0为空气密度，c 0为声速，k 0为波束，即是噪声的角频率与空气中声速之间的比率，H m ( 2 )（·）表示第二类m阶的Hankel方程，kr 和kz 分别为波数k 0在径向和轴向的分量。
无限长圆柱模型由于忽略了端部效应对外部声场的影响会导致计算产生一定的误差。为了弥补这一点，可采用结合有限长度振动分布的无限长度圆柱壳模型来进行修正，由电机的第（m，n）阶振型的振动所产生的外部声压可表示为
p m n r = a = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ ω 2 ρ 0 u 0 k r ⋅ H m 2 k r a d H m 2 k r a d k r a ·          Γ n k z e - j k z z d k z c o s m θ Γ n k z = ∫ 0 1 γ n z e - j k z z d z
式中：γn （z）由轴向方向上的边界条件决定。
此外，文献［75］采用基于电机表面振动位移与噪声能量间的传递关系的方法来估算电机的声功率级，电机表面辐射的声功率级L w可表示为
L w = 4 σ r e l ρ 0 c 0 π 3 f e x c 2 x 2 R o u t L s t k σ r e l = k 2 1 + k 2 k = 2 π R o u t f e x c c 0
式中：σ rel为相对声强，f exc为激振力的频率，x为电机表面的径向振动位移，R out为定子轭部半径，L stk为轴向长度。
采用解析方法计算PMSM辐射噪声具有相当的局限性，例如难以处理较为复杂的外壳结构、难以考虑电机前后端面对噪声的影响、难以应用于具有复杂形状的外部声场且无法考虑地面对噪声反射等外部因素的影响。因此，解析方法主要用于PMSM初期设计时的电磁噪声初步评估。

5.2 数值方法

PMSM电磁噪声数值计算方法包含有限元法和边界元法，目前被广泛应用于商业仿真软件之中。有限元法首先需要将整个声场区域进行网格剖分，其次设置声学系统的边界条件，以模拟声波在物体表面的反射、吸收和散射等现象，最后对声学波动方程来进行离散来完成声压和声功率级的求解，这种方法需要对整个声场区域进行大量的网格剖分，计算效率低下。而边界元法通过将声学系统边界离散化，在边界处求解声学方程，获取外部声场声压分布。对于三维声场问题而言，边界元只需采用二维单元离散便可实现降维度求解。值得注意的是声学计算中的网格尺寸需要小于波长的1/6，特别是计算由高频边带电流谐波产生的噪声时需要进一步减小网格尺寸。这也意味着采用数值法计算非正弦激励下PMSM噪声时需要更多的网格数量才得以满足计算需求。
边界元法基本原理是通过格林第二积分公式，将亥姆霍兹方程的求解转化为边界上的积分形式，声压与声压梯度之间的关系可以表示为下式
c r 0 p r 0 = ∫ Γ p r ∂ G r , r 0 ∂ n - ∂ p r ∂ n G r , r 0 d Γ
G r , r 0 = e i k r - r 0 4 π r - r 0
式中： r 和 r 0分别为声场中任一点和原点位置，Γ为边界， ∂/ ∂ n为方向导数，c（r 0）为声源相关系数。
图17给出了通过边界元法计算得到的开关频率处0阶及12阶球域声压分布云图［21］，可直观看出外部声场边界处的声压空间分布，能够反映出特定频率下电磁噪声的空间阶次特征，以便于指导相应的电磁力谐波抑制策略。
图 17 不同空间阶次声压级分布云图［21］

Fig.17 Sound pressure level distribution contour map at different spatial orders［21］

边界元法尽管减少了声场离散单元的数量，但当边界较复杂或计算精度要求较高时，计算边界积分方程仍然可能消耗大量的计算资源。且边界元法在求解高频声学问题中，由于声波数较大，计算中容易出现数值不稳定现象，常需要引入特殊处理方法（如快速多极子方法或预处理技术）。
总结上述各方法的优缺点如表5所示。此外，对于边界元法计算噪声的研究还包括了等几何边界元、多极边界元和无网格边界元法等方法。目前针对于数值法求解辐射噪声的研究主要采用有限元软件所提供的声学边界元法，其他改进方法及数值-解析法在PMSM电磁噪声领域的应用还有待研究，特别是解决计算高频声学计算时存在的数值不稳定问题。
表5 逆变器供电PMSM电磁噪声建模计算方法对比

Table 5 Comparison of electromagnetic noise modeling and calculation methods for inverter-fed PMSM

方法 优点 缺点
解析法 计算方法简单，主要便于初期分析PMSM的电磁噪声分布特征

计算精度低

难以考虑复杂结构影响

难以考虑端部结构振动对噪声的影响

有限元法 可直接获取整个外部声场区域内的声压分布计算精度高 需要对整个声场剖分，计算效率低
边界元法

可直接得到声场边界面上的声压空间分布特征

仅需要对声场边界面进行降维剖分，计算效率高

l计算精度高

 高频声学计算时存在数值不稳定问题

6 结论与展望

本文系统梳理并总结了逆变器供电PMSM电磁振动噪声的建模与计算方法，涵盖了多类别电流谐波、电磁力、结构模态、振动响应以及声学辐射等关键环节。在多类别电流谐波的建模计算方面，现有研究正从基于理想假设的简化模型逐步发展为考虑多种外部因素影响的精细化建模，例如在模型中考虑直流母线纹波、位置信号误差及电感交叉耦合效应等因素的影响；在电磁力谐波建模方面，现有研究克服了传统单一方法的局限性，例如结合子域法与磁路法的混合求解模型可获得更精确的结果；在电磁振动建模中，复杂机械结构及材料属性的合理等效对计算精度具有决定性影响，振动传递函数法逐渐成为主流采用的电磁振动快速评估方法；在电磁噪声建模方面，解析方法虽适用于设计初期的快速评估，但在处理复杂声场结构时表现不足，需要结合边界元法及其扩展方法，以实现更高的准确性和适用性；这些研究进展为逆变器供电PMSM电磁振动噪声的建模计算提供了重要理论基础和技术支持。
国内外学者围绕非正弦激励下PMSM电磁振动噪声的建模计算方法开展了大量研究，提出了多种各具特色的方法，并取得了显著进展。展望未来，研究工作可从以下几方面进一步深入。
1） 多工况下电磁力的快速计算
现有方法主要针对单一工况下的电磁力计算，难以满足全工况及动态运行时对电磁振动噪声的计算需求。在保证计算精度的前提下，开发适用于多工况及高动态过程的电流谐波和电磁力快速计算方法，将成为未来研究的关键方向。
2） 多因素耦合的电磁力建模计算方法
现有电磁场建模计算方法多忽略多物理场耦合效应的影响。未来的研究应综合考虑涡流、温升、应力等因素对电流谐波和电磁力谐波的影响，以建立更加真实和全面的电磁力建模方法。
3） 复杂结构下的振动噪声建模计算方法
当前的振动噪声建模在复杂几何结构的PMSM中难以在精度与效率间找到平衡点。未来应探索能够在降低建模复杂性的同时兼顾计算精度和效率的建模方法，以应对复杂结构和约束对电磁振动噪声计算带来的挑战。
4） 外部因素影响下系统振噪建模计算方法
现有研究主要集中于PMSM本体的电磁振动噪声，尚未充分考虑外部噪声源、环境振动以及复杂负载扰动的影响。未来研究应发展能够综合考虑外部因素的系统级振动噪声建模方法，以更全面地评估PMSM在实际运行中的振噪性能。
5） 基于数字孪生技术的电磁振噪预测
数字孪生可实现PMSM电-磁-力-声多物理场的协同建模，将实际运行参数实时映射到仿真模型中，进而动态预测电磁力变化及其激发的振动响应。相比传统静态建模，数字孪生能显著提升建模的准确性和实用性。通过融合试验数据、传感器反馈与仿真结果，数字孪生可不断优化参数识别与模型修正，实现“虚实融合”的持续演进。

参考文献

原文顺序 | 文献年度倒序 | 文中引用次数倒序
[1]
吕定翀， 赵守军， 曾思， 等. 高性能伺服电机泵关键技术及挑战［J］. 航空学报， 2024， 45（15）： 630225.

LYU D C， ZHAO S J， ZENG S， et al. Key technologies and challenges of high-performance servo-motor-pumps［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2024， 45（15）： 630225 （in Chinese）.

[2]
邓景辉. 电动垂直起降飞行器的技术现状与发展［J］. 航空学报， 2024， 45（5）： 529937.

DENG J H. Technical status and development of electric vertical take-off and landing aircraft［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2024， 45（5）： 529937 （in Chinese）.

[3]
孙三亚， 邵壮， 周洲， 等. 面向eVTOL/eSTOL的分布式动力能源系统高精度建模与仿真研究［J］. 航空学报， 2025， 46（15）： 131513.

SUN S Y， SHAO Z， ZHOU Z， et al. High-precision modeling and simulation of distributed propulsion energy systems for eVTOL/eSTOL［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2025， 46（15）： 131513 （in Chinese）.

[4]
张卓然， 张健， 胡光源， 等. 多电飞机高功率密度高效电机系统热管理技术［J］. 航空学报， 2025， 46（6）： 531380.

ZHANG Z R， ZHANG J， HU G Y， et al. Thermal management technologies of high-power-density highefficiency electric machine systems for more electric aircraft［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2025， 46（6）： 531380 （in Chinese）.

[5]
毛彦欣， 赵文祥. 径向磁通永磁同步电机电磁振噪综述［J］. 中国电机工程学报， 2025， 45（9）： 3667-3685.

MAO Y X， ZHAO W X. Overview of electromagnetic vibration and noise in radial-flux permanent magnet synchronous machine［J］. Proceedings of the CSEE， 2025， 45（9）： 3667-3685 （in Chinese）.

[6]
YAN R X， WANG D H， WANG C Q， et al. Analytical approach and experimental validation of sideband electromagnetic vibration and noise in PMSM drive with voltage-source inverter by SVPWM technique［J］. IEEE Transactions on Magnetics， 2025， 61（1）： 8200206.

[7]
陈少先， 丁树业， 申淑锋， 等. 船舶用表贴式永磁同步电机的电磁振动分析与抑制［J］. 电工技术学报， 2023， 38（5）： 1275-1286， 1298.

CHEN S X， DING S Y， SHEN S F， et al. Analysis and suppression of electromagnetic vibration of surface mounted permanent magnet synchronous motor for ships［J］. Transactions of China Electrotechnical Society， 2023， 38（5）： 1275-1286， 1298 （in Chinese）.

[8]
JI J H， ZHOU Y H， TAO T， et al. Armature MMF reconfiguration method of six-phase integral-slot PMSMs for zero-order vibration reduction under open-circuit faults［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2024， 10（1）： 421-431.

[9]
ANDREOU P， HAJJAJ A Z， MOHAMMADPOUR M， et al. Analytical multiphysics methodology to predict vibroacoustics in PMSMs combining tangential electromagnetic excitation and tooth modulation effects［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2024， 10（3）： 5997-6009.

[10]
BILGIN B， LIANG J B， TERZIC M V， et al. Modeling and analysis of electric motors： State-of-the-art review［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2019， 5（3）： 602-617.

[11]
SORESINI F， BARRI D， BALLO F， et al. Noise and vibration modeling of permanent magnet synchronous motors： A review［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2024， 10（4）： 8728-8745.

[12]
DU J W， ZHONG R， WU Z Z， et al. Influence of manufacturing tolerance in ring magnet on cogging torque of surface permanent magnet synchronous machine［J］. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2024， 39（2）： 1301-1313.

[13]
YANG J T， DAI S R， WANG Z Y， et al. Influence of rotor eccentricity on electromagnetic performance of rotational symmetrical slotless PM brushless motor［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2024， 10（2）： 3888-3901.

[14]
ZHU Z Q， WU L J， MOHD JAMIL M L. Influence of pole and slot number combinations on cogging torque in permanent magnet machines with static and rotating eccentricities［C］∥2013 IEEE Energy Conversion Congress and Exposition. Piscataway： IEEE Press， 2013： 2834-2841.

[15]
DENG W Z， ZUO S G. Electromagnetic vibration and noise of the permanent-magnet synchronous motors for electric vehicles： an overview［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2019， 5（1）： 59-70.

[16]
ZHU S D， ZHAO W X， JI J H， et al. Generation mechanism and suppression measure of electromagnetic vibration in permanent magnet synchronous machine： a review［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2024， 10（4）： 9513-9528.

[17]
王道涵， 彭晨， 王秀和. 电动汽车高性能永磁电机转矩脉动与电磁振动抑制方法研究［J］. 电气工程学报， 2021， 16（4）： 42-50.

WANG D H， PENG C， WANG X H. Research on different design approaches to mitigate torque ripple and electromagnetic vibration for high-performance electric vehicle traction machine［J］. Journal of Electrical Engineering， 2021， 16（4）： 42-50 （in Chinese）.

[18]
ZUO S G， LIN F， WU X D. Noise analysis， calculation， and reduction of external rotor permanent-magnet synchronous motor［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2015， 62（10）： 6204-6212.

[19]
DENG W Z， ZUO S G. Axial force and vibroacoustic analysis of external-rotor axial-flux motors［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2018， 65（3）： 2018-2030.

[20]
ZHAO W X， LIU T， JI J H， et al. A novel discrete EMN for electromagnetic force and vibration computation of SPM machine considering carrier harmonics［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2024， 71（6）： 5630-5640.

[21]
LIU T， ZHAO W X， JI J H， et al. Effects of eccentric magnet on high-frequency vibroacoustic performance in integral-slot SPM machines［J］. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2021， 36（3）： 2393-2403.

[22]
ZHAO W X， ZHU S D， JI J H， et al. Analysis and reduction of electromagnetic vibration in fractional-slot concentrated-windings PM machines［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2022， 69（4）： 3357-3367.

[23]
DENG W Z， ZUO S G. Comparative study of sideband electromagnetic force in internal and external rotor PMSMs with SVPWM technique［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2019， 66（2）： 956-966.

[24]
王伟， 蒋奕昕， 王政， 等. 共直流母线开绕组电机系统零序电流抑制技术综述［J］. 中国电机工程学报， 2021， 41（5）： 1871-1885.

WANG W， JIANG Y X， WANG Z， et al. Overview of zero-sequence current suppression technology for open-end winding motor system with common DC-bus［J］. Proceedings of the CSEE， 2021， 41（5）： 1871-1885 （in Chinese）.

[25]
许家群， 赵嗣芳， 殷志鹏. 永磁同步电机锯齿载波减振控制［J］. 中国电机工程学报， 2019， 39（14）： 4281-4291， 4272.

XU J Q， ZHAO S F， YIN Z P. Permanent magnet synchronous motor control for vibration reduction based on sawtooth carrier［J］. Proceedings of the CSEE， 2019， 39（14）： 4281-4291， 4272 （in Chinese）.

[26]
GUO B C， HUANG Y K， PENG F， et al. Analytical modeling of manufacturing imperfections in double-rotor axial flux PM machines： Effects on back EMF［J］. IEEE Transactions on Magnetics， 2017， 53（6）： 7200605.

[27]
SHI Y J， JIAN L N， CHING T W. Quantitative identification of airgap flux density harmonics contributing to back EMF in dual-permanent-magnet-excited machine［J］. IEEE Transactions on Magnetics， 2022， 58（2）： 8100705.

[28]
JOKSIMOVIC M G， LEVI E， VUKOSAVIC S N. Near-complete suppression of harmonic currents in SPMSMs caused by back EMF and dead time［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2023， 70（5）： 4472-4484.

[29]
CHEN Z， HUANG X Y. A novel analytical model for current harmonics prediction of interior PM machines based on differential evolution algorithm［C］∥2020 International Conference on Electrical Machines （ICEM）. Piscataway： IEEE Press， 2020： 1046-1052.

[30]
YE J， HUANG S T， LIU L G， et al. Accurate harmonic calculation for digital SPWM of VSI with dead-time effect［J］. IEEE Transactions on Power Electronics， 2021， 36（7）： 7892-7902.

[31]
HUANG S T， XU J B， YE J， et al. Generalized accurate harmonic calculation method based on discretized double Fourier series to solve double-pulse phenomenon［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2023， 70（6）： 5651-5661.

[32]
HOANG K D， ZHU Z Q， FOSTER M P. Influence and compensation of inverter voltage drop in direct torque-controlled four-switch three-phase PM brushless AC drives［J］. IEEE Transactions on Power Electronics， 2011， 26（8）： 2343-2357.

[33]
WANG H， BLAABJERG F. Reliability of capacitors for DC-link applications in power electronic converters： An overview［J］. IEEE Transactions on Industry Applications， 2014， 50（5）： 3569-3578.

[34]
GENTEJOHANN M， SCHLÜTER M， DIECKERHOFF S. Modeling， measurement， and evaluation of the DC bus current ripple in electric vehicles［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2025， 11（3）： 7219-7231.

[35]
LIANG W Y， WANG J F， LUK P C， et al. Analytical modeling of current harmonic components in PMSM drive with voltage-source inverter by SVPWM technique［J］. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2014， 29（3）： 673-680.

[36]
LIANG W Y， FEI W Z， LUK P C. An improved sideband current harmonic model of interior PMSM drive by considering magnetic saturation and cross-coupling effects［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2016， 63（7）： 4097-4104.

[37]
CHEN T C， PEI Y L， CHAI F， et al. Sideband harmonic model considering sampling delay effect in the PMSM drives with regular sampled SVPWM technique under the low carrier frequency ratio［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2023， 70（10）： 9914-9924.

[38]
ZHU S， LU J B， LIANG X. Rapid and accurate calculation of PWM-induced harmonic currents in IPMSMs considering hysteresis and eddy current reaction effects［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2024， 71（10）： 12019-12029.

[39]
DENG W Z， ZUO S G. Analysis of the sideband electromagnetic noise in permanent magnet synchronous motors generated by rotor position error［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2022， 69（5）： 4460-4471.

[40]
PILE R， DEVILLERS E， LE BESNERAIS J. Comparison of main magnetic force computation methods for noise and vibration assessment in electrical machines［J］. IEEE Transactions on Magnetics， 2018， 54（7）： 8104013.

[41]
LIANG W Y， LUK P C， FEI W Z. Investigation of magnetic field interharmonics and sideband vibration in the FSCW IPMSM drive with the SPWM technique［J］. IEEE Transactions on Power Electronics， 2018， 33（4）： 3315-3324.

[42]
LIANG W Y， LUK P C， FEI W Z. Analytical investigation of sideband electromagnetic vibration in integral-slot PMSM drive with SVPWM technique［J］. IEEE Transactions on Power Electronics， 2017， 32（6）： 4785-4795.

[43]
LIU J P， WANG X H， LI X L， et al. Electromagnetic and stress performance analysis for synchronous reluctance motor using a new hybrid subdomain method［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2024， 71（8）： 8548-8559.

[44]
WANG Y， JI J H， ZHAO W X， et al. Meshless generalized finite difference method to analyze electromagnetic performance of SPM machines with eccentric rotor shape［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2022， 69（12）： 12055-12065.

[45]
WU L J， YIN H， WANG D， et al. On-load field prediction in SPM machines by a subdomain and magnetic circuit hybrid model［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2020， 67（9）： 7190-7201.

[46]
WU P F， SUN Y H. A hybrid model for calculating on-load performance of delta-type IPM machines accounting for rotor and stator saturation［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2024， 71（12）： 15349-15359.

[47]
ZHU Y， LIU G H， XU L， et al. A hybrid analytical model for permanent magnet vernier machines considering saturation effect［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2022， 69（2）： 1211-1223.

[48]
ZHOU H， WANG X H， ZHAO W L， et al. Magnetic field calculation of the U-shaped interior permanent-magnet synchronous machine considering the parallel magnetization and bridge saturation［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2024， 71（10）： 11817-11828.

[49]
XING Z Z， WANG X H， ZHAO W L， et al. Fast evaluation and suppression of electromagnetic vibrations in interior permanent magnet synchronous motors based on improved subdivision subdomain models［J］. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2025， 40（2）： 1600-1613.

[50]
XING Z Z， WANG X H， ZHAO W L. Fast calculation of electromagnetic vibration of surface-mounted PMSM considering teeth saturation and tangential electromagnetic force［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2024， 71（1）： 316-326.

[51]
LIU G H， JIANG S， ZHAO W X， et al. Modular reluctance network simulation of a linear permanent-magnet vernier machine using new mesh generation methods［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2017， 64（7）： 5323-5332.

[52]
GHODS M， FAIZ J， GORGINPOUR H， et al. Equivalent magnetic network modeling of variable-reluctance fractional-slot V-shaped vernier permanent magnet machine based on numerical conformal mapping［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2023， 9（3）： 3880-3893.

[53]
GHODS M， GORGINPOUR H， FAIZ J， et al. Design and enhanced equivalent magnetic network modeling of a fractional-slot spoke-array vernier PM machine with rotor flux barriers［J］. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2023， 38（2）： 1060-1072.

[54]
LU Y， LI J， YANG K. A hybrid calculation method of electromagnetic vibration for electrical machines considering high-frequency current harmonics［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2022， 69（10）： 10385-10395.

[55]
FAKAM M， HECQUET M， LANFRANCHI V， et al. Design and magnetic noise reduction of the surface permanent magnet synchronous machine using complex air-gap permeance［J］. IEEE Transactions on Magnetics， 2015， 51（4）： 8103809.

[56]
VAN DER GIET M， KASPER K， DE DONCKER R W， et al. Material parameters for the structural dynamic simulation of electrical machines［C］∥2012 International Conference on Electrical Machines. Piscataway： IEEE Press， 2012： 2994-3000.

[57]
YAO L， SHEN J X， WANG Y C， et al. Fast prediction and staged optimization of electromagnetic vibration in permanent magnet synchronous motor［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2024， 71（1）： 115-125.

[58]
HU S L， ZUO S G， WU H， et al. An analytical method for calculating the natural frequencies of a motor considering orthotropic material parameters［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2019， 66（10）： 7520-7528.

[59]
XING Z Z， WANG X H， ZHAO W L， et al. Calculation， analysis， and verification of natural frequencies of stators with unequal-length casings of rotating motors［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2025， 11（1）： 4540-4550.

[60]
LI Y X， WANG W， LU Q F， et al. Analytical kinetic model for accurate square-slot stator natural frequency prediction［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2025， 11（1）： 4645-4655.

[61]
SUN R J， MA C G， HOU Q R， et al. Accurate modal analysis method for automotive drive motors considering composite structures and impregnating windings in the design phase［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2024， 10（4）： 9931-9944.

[62]
DE BARROS A， GERLACH M E， HUANG X D， et al. Mechanical calculation of stator core vibration of rotating electric machines using an analytical beam element model［J］. IEEE Transactions on Industry Applications， 2024， 60（1）： 47-56.

[63]
GERLACH M E， DE BARROS A， HUANG X D， et al. The analytical beam element model： Novel approach for fast calculation of vibrations in electric machines［J］. e & i elektrotechnik und informationstechnik， 2023， 140（2）： 290-301.

[64]
RAO S S.Vibration of continuous systems［M］. New York： John Wiley & Sons， 2019： 33-54.

[65]
DAS S， CHOWDHURY A， SOZER Y， et al. Modeling of frequency-dependent damping for fast vibration prediction in permanent magnet synchronous machines［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2023， 9（1）： 561-574.

[66]
YANG H D， CHEN Y S. Influence of radial force harmonics with low mode number on electromagnetic vibration of PMSM［J］. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2014， 29（1）： 38-45.

[67]
XU X P， HAN Q K， QIN Z Y， et al. Analytical methods for the radial electromagnetic vibration of stator in permanent magnet motors with an amorphous alloy core［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2020， 145： 106909.

[68]
FANG H Y， LI D W， GUO J X， et al. Hybrid model for electromagnetic vibration synthesis of electrical machines considering tooth modulation and tangential effects［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2021， 68（8）： 7284-7293.

[69]
XING Z Z， WANG X H， ZHAO W L. Fast calculation of electromagnetic vibration of surface-mounted PMSM considering teeth saturation and tangential electromagnetic force［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2024， 71（1）： 316-326.

[70]
YIN H， HUA W， WU Z Z， et al. Fourier-based vibration model of electrical machines considering nonideal orthogonality between electromagnetic forces and structural modes［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2024， 71（5）： 4485-4494.

[71]
HONG J F， WANG S M， SUN Y G， et al. A high-precision analytical method for vibration calculation of slotted motor based on tooth modeling［J］. IEEE Transactions on Industry Applications， 2021， 57（4）： 3678-3686.

[72]
BALLO F， GOBBI M， MASTINU G， et al. Noise and vibration of permanent magnet synchronous electric motors： A simplified analytical model［J］. IEEE Transactions on Transportation Electrification， 2023， 9（2）： 2486-2496.

[73]
ISLAM M S， ISLAM R， SEBASTIAN T. Noise and vibration characteristics of permanent-magnet synchronous motors using electromagnetic and structural analyses［J］. IEEE Transactions on Industry Applications， 2014， 50（5）： 3214-3222.

[74]
GIERAS J F， WANG C， LAI J C. Noise of polyphase electric motors［M］. Boca Raton： CRC Press， 2006： 107-117.

[75]
ISLAM R， HUSAIN I. Analytical model for predicting noise and vibration in permanent-magnet synchronous motors［J］. IEEE Transactions on Industry Applications， 2010， 46（6）： 2346-2354.

Options
文章导航

/

〈 〉

地址：北京市海淀区北四环中路辅路238号柏彦大厦

邮政编码：100083

E-mail：hkxb@buaa.edu.cn

关于我们

期刊社服务

专业学科

封面文章

友情链接

版权所有 © 航空学报编辑部

版权所有 © 2011航空学报杂志社

主管单位：中国科学技术协会 主办单位：中国航空学会 北京航空航天大学