合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar, SAR)^[1-2]可以对区域进行全天时观测，且不受气候约束。在军事和民用领域得到了广泛应用。在某些特殊应用背景下，比如小型飞机^[3-4]、无人机^[5]和导弹^[6-7]，由于加速度的存在，使得SAR载体运动特性较为复杂，并呈现出曲线运动轨迹。此时，根据线性轨迹建立的传统处理方法失效。传统的双曲方程不能准确描述曲线运动轨迹SAR的斜距历程，必须建立新的斜距模型及成像方法。

在文献[8-11]中，用二阶或三阶Taylor级数来近似曲线SAR的斜距历程，但较大的近似误差影响了回波二维频谱的精确性。文献[12-13]分别提出了改进的斜距模型和改进的双曲斜距方程，这些斜距的数学表达式比较简单，但准确度不够。文献[14]提出改进的等效斜视距离模型，只考虑了两维加速度，不能用来表达具有三维加速度的曲线运动轨迹SAR的斜距历程。

文献[8-19]提出了各种相关的曲线运动轨迹SAR成像算法。后向投影算法^{[10, 15]}可以处理各种运动轨迹的SAR数据，但计算复杂度较高。文献[16]中的Keystone Transform(KT)算法移除了二维交叉耦合项并对地形误差进行补偿，但二维方位向频域KT算法仅适应于低轨道。文献[17]提出了曲线拟合的方法来构造CS相位函数，但是距离徙动曲线与斜距不是线性关系，拟合误差对成像影响较大。文献[18]中，利用Taylor幂级数分解原始斜距和二维频域解耦合，但是幂级数展开的精确度和展开点的位置密切相关，因此不同点目标的展开精度不同。文献[19]中的波数域算法在考虑了SAR载体的二维速度和二维加速度的条件下成像质量良好，但不适用于具有三维速度和三维加速度的曲线运动轨迹SAR；而且改进的斜距方程缺少方位向时间的三次项，斜距表达式的精度不够。

在前述研究工作的基础上，提出了一种适用于曲线运动轨迹SAR的高效Chirp Scaling(CS)算法。在第1节中，讨论了具有三维速度和三维加速度的斜距方程，并进行Chebyshev近似，按方位时间的幂级数整理，得到斜距表达式，并推导其等效的双曲方程。在第2节中，提出了一种改进的CS算法，此算法消除了距离徙动(Range Cell Migration, RCM)的空间变化性，并在距离多普勒域中通过乘以相位补偿函数实现了方位聚焦，从而得到聚焦图像。在第3节，对改进的CS算法分别与文献[18-19]的算法进行仿真对比，仿真结果证明了所提出的斜距模型与成像算法的有效性与优越性。最后，进行了总结。

1 曲线运动轨迹SAR理论 1.1 Chebyshev近似的曲线运动轨迹SAR的等效斜距模型

机载SAR平台由于加速度的存在而产生曲线运动，该模式下的系统几何模型如图 1所示，初始时刻位于点Q(0, 0, H_Q)处的SAR载体以初始速度(v_x, v_y, v_z)、加速度(a_x, a_y, a_z)沿y轴方向飞行，t_v时刻到达T(x_tv, y_tv, z_tv)点。假设观测场景内目标点P坐标为(X_P, Y_P, 0)。

由物理运动学方程得到：x_tv=v_xt_v+$\frac{1}{2}$a_xt_v²，y_tv=v_yt_v+$\frac{1}{2}$a_yt_v²，z_tv=v_zt_v+$\frac{1}{2}$a_zt_v²+H_Q，点P和点T之间的瞬时斜距表达式为

$ R({t_{\rm{v}}}) = \sqrt {{{\left( {{v_x}{t_{\rm{v}}} + \frac{1}{2}{a_x}t_{\rm{v}}^2 - {X_P}} \right)}^2} + {{\left( {{v_y}{t_{\rm{v}}} + \frac{1}{2}{a_y}t_{\rm{v}}^2 - {Y_P}} \right)}^2} + {{\left( {{v_z}{t_{\rm{v}}} + \frac{1}{2}{a_z}t_{\rm{v}}^2 + {H_Q}} \right)}^2}} $	（1）

整理得

$ R({t_{\rm{v}}}) = \sqrt {R_P^2 + {A_1}{t_{\rm{v}}} + {A_2}t_{\rm{v}}^2 + {A_3}t_{\rm{v}}^3 + {A_4}t_{\rm{v}}^4} $	（2）

式中:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{R_P} = \sqrt {X_P^2 + Y_P^2 + H_Q^2} }\\ {{A_1} = 2({v_z}{H_Q} - {v_x}{X_P} - {v_y}{Y_P})}\\ {{A_2} = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 + {a_z}{H_Q} - {a_x}{X_P} - {a_y}{Y_P}}\\ {{A_3} = {v_x}{a_x} + {v_y}{a_y} + {v_z}{a_z}}\\ {{A_4} = \frac{1}{4}(a_x^2 + a_y^2 + a_z^2)} \end{array}} \right. $

为了方便后续信号处理，需要把式(2)展开成t_v的幂级数形式。由于切比雪夫多项式能提供连续函数的最佳一致逼近，因此为了提高斜距精度，不同于传统的采用泰勒分解的方法，将式(2)进行切比雪夫正交分解，得到

$ R({t_{\rm{v}}}) = \frac{{{c_0}}}{2} + \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}} {T_i}({t_{\rm{v}}}) $	（3）

式中：n为展开的阶数，本文取4；T_i(t_v)为切比雪夫多项式，且有T_i(t_v)=2t_vT_i-1(t_v)-T_i-2(t_v)，(T₀(t_v)=1，T₁(t_v)=t_v)；c_i为切比雪夫系数，且有c_i=$\frac{2}{n+1} \sum\limits_{k=0}^{n}$R(t_k)T_i(t_k)，t_k为离散方位时间且有t_k=$\frac{T_{\mathrm{syn}}}{2} \cos \frac{(2 k+1) \pi}{2(n+1)}$，k=0, 1, …, n; T_syn为合成孔径时间; R(t_k)=$\sqrt{R_{P}^{2}+A_{1} t_{k}+A_{2}\left(t_{k}\right)^{2}+A_{3}\left(t_{k}\right)^{3}+A_{4}\left(t_{k}\right)^{4}}$为离散化的斜距历程。

将式(3)按照t_v的幂级数排序得到

$ R({t_{\rm{v}}}) = {B_0} + {B_1}{t_{\rm{v}}} + {B_2}t_{\rm{v}}^2 + {B_3}t_{\rm{v}}^3 + {B_4}t_{\rm{v}}^4 $	（4）

式中:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{B_0} = \frac{{{c_0}}}{2} - {c_2} + {c_4}}\\ {{B_1} = ({c_1} - 3{c_3})\frac{2}{{{T_{{\rm{syn}}}}}}}\\ {{B_2} = (2{c_2} - 8{c_4}){{\left( {\frac{2}{{{T_{{\rm{syn}}}}}}} \right)}^2}}\\ {{B_3} = 4{c_3}{{\left( {\frac{2}{{{T_{{\rm{syn}}}}}}} \right)}^3}}\\ {{B_4} = 8{c_4}{{\left( {\frac{2}{{{T_{{\rm{syn}}}}}}} \right)}^4}} \end{array}} \right. $

1.2 误差分析

下面对斜距误差进行分析，分别把式(3)的2阶、3阶和4阶展开式与式(2)的误差进行仿真，仿真参数如表 1所示。

如图 2(a)所示，在0 s时刻处，各阶斜距的误差均接近为0 m。但是，当方位向时间远离0 s时刻时，2阶和3阶斜距的误差急剧增大，而4阶斜距的误差几乎保持不变，接近于0 m。图 2(b)是本文采用的基于Chebyshev正交分解的4阶斜距和传统的基于Taylor展开的4阶斜距的误差对比。由图可知，基于Chebyshev正交分解的4阶斜距误差更小，基本趋于0 m，而基于Taylor展开的斜距误差在合成孔径边缘急剧增大。

由仿真可知，式(3)进行4阶Chebyshev近似，误差在10^-6量级。而进行4阶Taylor近似，斜距误差在10^-5量级。

1.3 曲线运动轨迹SAR的双曲等效斜距模型及回波

为了用CS算法处理曲线SAR数据，需要将上述所获得的斜距模型用双曲方程等效，即将式(4)改写为

$ R({t_{\rm{v}}}) = \sqrt {R_{{\rm{eq}}}^2 + \nu _{{\rm{eq}}}^2t_{\rm{v}}^2} + D{t_{\rm{v}}} + Et_{\rm{v}}^3 + Ft_{\rm{v}}^4 $	（5）

联立式(4)和式(5)，得到R_eq=B₀, D=B₁，ν_eq=$\sqrt{2 B_{0} B_{2}}$, E=B₃, F=B₄+$\frac{B_{2}^{2}}{2 B_{0}}$。式(5)的各系数与目标位置有关。

依据斜距模型式(5)，则雷达回波信号表达式为

$ \begin{array}{l} s({t_{\rm{r}}},{t_{\rm{v}}}) = {u_{\rm{r}}}\left( {{t_{\rm{r}}} - \frac{{2R({t_{\rm{v}}})}}{c}} \right){u_{\rm{v}}}({t_{\rm{v}}}) \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{exp}}\left( { - {\rm{j}}\frac{{4\pi R({t_{\rm{v}}})}}{\lambda }} \right){\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}\pi {K_{\rm{r}}}{{\left( {{t_{\rm{r}}} - \frac{{2R({t_{\rm{v}}})}}{c}} \right)}^2}} \right) \end{array} $

（6）

式中：t_r、t_v分别为距离向快时间和方位向慢时间; K_r为发射信号的调频斜率；λ为发射信号的波长；c为光速；u_r(·)和u_v(·)分别为距离向和方位向的时域包络。

2 改进的Chirp Scaling成像算法

曲线运动轨迹SAR的合成孔径是曲线状，求解CS因子必须考虑RCM的空间变化性。为了方便计算相位，忽略包络变化形式。

根据驻留相位原理^{[13, 20-21]}，将式(6)进行距离向傅里叶变换(Fourier Transform, FT)，得到距离频域的信号表达式为

$ \begin{array}{l} S({f_{\rm{r}}},{t_{\rm{v}}}) = {U_{\rm{r}}}({f_{\rm{r}}}){u_{\rm{v}}}({t_{\rm{v}}}){\rm{exp}}\left( { - {\rm{j}}\pi \frac{{f_{\rm{r}}^2}}{{{K_{\rm{r}}}}}} \right) \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{exp}}\left( { - {\rm{j}}4\pi \frac{{{f_{\rm{r}}} + {f_{\rm{c}}}}}{c}R({t_{\rm{v}}})} \right) \end{array} $

（7）

式中：f_r为距离向频率；U_r(·)为距离向频谱包络；f_c为载波频率。

由式(5)知，斜距表达式存在一次项，即式(7)存在线性距离走动(Linear Range Walk, LRW)^[22]。由于距离走动在时间域与目标位置有关，因此距离走动的校正应该相对于场景中心进行，于是构建线性距离走动校正(Linear Range Walk Correction, LRWC)函数为

$ {H_{{\rm{1rwc}}}}({f_{\rm{r}}},{t_{\rm{v}}}) = {\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}4\pi \frac{{{f_{\rm{r}}} + {f_{\rm{c}}}}}{c}{D_{\rm{o}}}{t_{\rm{v}}}} \right) $	（8）

式中:D_o为相对场景中心位置(X_o, Y_o, 0)的参数。

补偿后的信号为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {S({f_{\rm{r}}},{t_{\rm{v}}}) = {U_{\rm{r}}}({f_{\rm{r}}}){u_{\rm{v}}}({t_{\rm{v}}}){\rm{exp}}\left( { - {\rm{j}}\pi \frac{{f_{\rm{r}}^2}}{{{K_{\rm{r}}}}}} \right) \cdot }\\ {{\rm{exp}}\left( { - {\rm{j}}4\pi \frac{{{f_{\rm{r}}} + {f_{\rm{c}}}}}{c}(R({t_{\rm{v}}}) - {D_{\rm{o}}}{t_{\rm{v}}})} \right)} \end{array} $	（9）

距离走动校正近似解决了曲线SAR回波信号的距离向频率f_r与方位向时间t_v的线性耦合问题，简化了后面的处理过程。

由于CS算法是在距离-多普勒域进行，但直接对式(6)进行方位向傅里叶变换比较困难。因此先利用驻留相位原理^{[13, 20-21]}对式(9)进行方位向傅里叶变换，将信号转换到二维频域，再进行距离向逆傅里叶变换(Inverse Fourier Transform, IFT)，转换到距离-多普勒域。

因为高次相位是缓慢变化的，对驻相点不敏感，所以高次相位并不参与驻相点的计算，只需将驻相点求出直接代入高次项即可^[1]。最后得到回波信号的二维频谱表达式为

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {S({f_{\rm{r}}},{f_{\rm{v}}}) = {U_{\rm{r}}}({f_{\rm{r}}}){U_{\rm{v}}}({f_{\rm{v}}}){\rm{exp}}\left( { - {\rm{j}}\pi \frac{{f_{\rm{r}}^2}}{{{K_{\rm{r}}}}}} \right) \cdot }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{exp}}\left( { - {\rm{j}}\frac{{4\pi {R_{{\rm{eq}}}}}}{\lambda }\sqrt {{{\left( {1 + \frac{{{f_{\rm{r}}}}}{{{f_{\rm{c}}}}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\lambda {f_{\rm{v}}}}}{{2{\nu _{{\rm{eq}}}}}}} \right)}^2}} - } \right.} \end{array}\\ \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{j}}4\pi \frac{{{f_{\rm{r}}} + {f_{\rm{c}}}}}{c}(Et_{\rm{v}}^{*3} + Ft_{\rm{v}}^{*4})} \right) \end{array} $

（10）

式中：t_v^*=$-\frac{R_{\mathrm{eq}} c f_{\mathrm{v}}}{\nu_{\mathrm{eq}} \sqrt{4 \nu_{\mathrm{eq}}^{2}}\left(f_{\mathrm{r}}+f_{\mathrm{c}}\right)^{2}-c^{2} f_{\mathrm{v}}^{2}}$为驻留相位点。

再次利用驻留相位原理^{[13, 20-21]}将式(10)进行距离向逆傅里叶变换，得到信号在距离-多普勒域的表达式为

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {s({t_{\rm{r}}},{f_v}) = {u_{\rm{r}}}({t_{\rm{r}}}){U_{\rm{v}}}({f_{\rm{v}}}) \cdot }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{exp}}\left\{ {{\rm{j}}\pi {K_{{\rm{eq}}}}{{[{t_{\rm{r}}} - 2{R_{{\rm{eq}}}}/(c\sqrt {1 - \frac{{\lambda f_{\rm{v}}^2}}{{2{\nu _{{\rm{eq}}}}}}} )]}^2} - } \right.} \end{array}\\ \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{j}}\pi \frac{{4{R_{{\rm{eq}}}}}}{\lambda }\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\lambda {f_{\rm{v}}}}}{{2{\nu _{{\rm{eq}}}}}}} \right)}^2}} - {\rm{j}}\pi \frac{4}{\lambda }(Et_{\rm{v}}^{\# 3} + Ft_{\rm{v}}^{\# 4})} \right\} \end{array} $

（11）

式中:t_v^#=$-\frac{\lambda R_{\mathrm{eq}} f_{\mathrm{v}}}{\nu_{\mathrm{eq}} \sqrt{4 \nu_{\mathrm{eq}}^{2}}-\lambda^{2} f_{\mathrm{v}}^{2}}$为驻留相位点; K_eq为新的调频斜率，且有K_eq=K_r$\sqrt{4 \nu_{\mathrm{eq}}^{2}-\lambda^{2} f_{\mathrm{v}}^{2}}$/$\left(\sqrt{4 \nu_{\mathrm{eq}}^{2}-\lambda^{2} f_{\mathrm{v}}^{2}}-4 \nu_{\mathrm{eq}} R_{\mathrm{eq}} \lambda^{3} f_{\mathrm{v}}^{2}\right)$。调频斜率K_eq与R_eq相关，即具有空变性。

由式(11)可知，瞬时斜距表达式为r(t_r, f_v; R_eq)=R(t_v^#)-D_ot_v^#=R_eq/$\sqrt{1-\left[\lambda f_{\mathrm{v}} /\left(2 \nu_{\mathrm{eq}}\right)\right]^{2}}$，传统CS算法中距离徙动Δr(t_r, f_v)与斜距R_eq的关系为Δr(t_r, f_v; R_eq)=r(t, f_rv; R_eq)-R_eq=R_eqC_s，两者类比，得到C_s=1/$\sqrt{1-\left[\lambda f_{\mathrm{v}} /\left(2 \nu_{\mathrm{eq}}\right)\right]^{2}}$-1。于是，参考点处的CS函数为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{H_{{\rm{cs}}}}({t_{\rm{r}}},{f_{\rm{v}}}) = }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}\pi {K_{{\rm{eq}}}}{C_{\rm{s}}}{{\left( {{t_{\rm{r}}} - 2\frac{{r({t_{\rm{r}}},{f_{\rm{v}}};{R_{{\rm{ref}}}})}}{c}} \right)}^2}} \right)} \end{array} $

（12）

式中:R_ref为参考点处的斜距，一般选择场景中心作为参考点。

将式(11)与式(12)相乘进行CS操作，再进行距离向傅里叶变换，得到回波信号的二维频谱函数

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {S({f_{\rm{r}}},{f_{\rm{v}}}) = {U_{\rm{r}}}({f_{\rm{r}}}){U_{\rm{v}}}({f_{\rm{v}}}) \cdot }\\ {\quad {\rm{exp}}\left( { - {\rm{j}}\frac{{4\pi }}{{{c^2}}}{K_{{\rm{eq}}}}{C_{\rm{s}}}(1 + {C_{\rm{s}}}){{({R_{{\rm{eq}}}} - {R_{\rm{ret}}})}^2} - } \right.} \end{array}\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{j}}\pi \frac{{4{R_{{\rm{eq}}}}}}{\lambda }\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\lambda {f_{\rm{v}}}}}{{2{\nu _{{\rm{eq}}}}}}} \right)}^2}} - {\rm{j}}\pi \frac{4}{\lambda }(Et_{\rm{v}}^{\# 3} + Ft_{\rm{v}}^{\# 4}) - \\ \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{j}}\pi \frac{{f_{\rm{r}}^2}}{{{K_{{\rm{eq}}}}(1 + {C_{\rm{s}}})}} - {\rm{j}}\frac{{4\pi }}{c}({R_{{\rm{eq}}}} + {R_{{\rm{ref}}}}{C_{\rm{s}}}){f_{\rm{r}}}} \right) \end{array} $

（13）

分析式(13)的相位结构可知，第1项是CS操作产生的残余相位；第2项是方位调制项用于方位压缩；第3项是方位调制的高阶项；第4项是距离调制项，对应距离压缩和二次距离压缩；第5项是距离徙动项，经过CS操作后，距离徙动为R_refC_s，即不同距离处的距离徙动都校正为参考距离处的距离徙动。

由此构造距离压缩和二次距离压缩函数为

$ {H_{{\rm{rc + src}}}}({f_{\rm{r}}},{f_{\rm{v}}}) = {\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}\pi \frac{{f_{\rm{r}}^2}}{{{K_{{\rm{ref}}}}(1 + {C_{\rm{s}}})}}} \right) $	（14）

式中：K_ref为参考点处的调频斜率。

CS处理解除了距离徙动曲线的空变性。因此，不同距离的距离徙动校正函数都为

$ {H_{{\rm{rcmc}}}}({f_{\rm{r}}},{f_{\rm{v}}}) = {\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}\frac{{4\pi }}{c}{R_{{\rm{ref}}}}{C_{\rm{s}}}{f_{\rm{r}}}} \right) $	（15）

完成距离压缩、二次距离压缩和距离徙动校正的信号为

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {S({f_{\rm{r}}},{f_{\rm{v}}}) = {U_{\rm{r}}}({f_{\rm{r}}}){U_{\rm{v}}}({f_{\rm{v}}}) \cdot }\\ {\quad {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{exp}}\left\{ { - {\rm{j}}\frac{{4\pi }}{{{c^2}}}{K_{{\rm{eq}}}}{C_{\rm{s}}}(1 + {C_{\rm{s}}}){{({R_{{\rm{eq}}}} - {R_{{\rm{ret}}}})}^2} - } \right.} \end{array}\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{j}}\pi \frac{{4{R_{{\rm{eq}}}}}}{\lambda }\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\lambda {f_{\rm{v}}}}}{{2{\nu _{{\rm{eq}}}}}}} \right)}^2}} - \\ \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{j}}\pi \frac{4}{\lambda }(Et_{\rm{v}}^{\# 3} + Ft_{\rm{v}}^{\# 4}) - {\rm{j}}\frac{{4\pi }}{c}{R_{{\rm{eq}}}}{f_{\rm{r}}}} \right\} \end{array} $

（16）

将式(16)进行距离向逆傅里叶变换，得到信号在距离-多普勒域的表达式为

$ \begin{array}{l} s({t_{\rm{r}}},{f_{\rm{v}}}) = {\rm{sinc}} \left( {{t_{\rm{r}}} - \frac{{2{R_{{\rm{eq}}}}}}{c}} \right){U_{\rm{v}}}({f_{\rm{v}}}) \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{exp}}\left( { - {\rm{j}}\frac{{4\pi }}{{{c^2}}}{K_{{\rm{eq}}}}{C_{\rm{s}}}(1 + {C_{\rm{s}}}){{({R_{{\rm{eq}}}} - {R_{{\rm{ref}}}})}^2} - } \right.\\ \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{j}}\pi \frac{{4{R_{{\rm{eq}}}}}}{\lambda }\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\lambda {f_{\rm{v}}}}}{{2{\nu _{{\rm{eq}}}}}}} \right)}^2}} - {\rm{j}}\pi \frac{4}{\lambda }(Et_{\rm{v}}^{\# 3} + Ft_{\rm{v}}^{\# 4})} \right) \end{array} $

（17）

在距离-多普勒域，进行相位补偿和方位压缩，相应的处理函数为

$ \begin{array}{l} {H_{\rm{a}}}({t_{\rm{r}}},{f_{\rm{v}}}) = {\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}2\pi \left[ {\frac{2}{{{c^2}}}{K_{{\rm{eq}}}}{C_{\rm{s}}}(1 + {C_{\rm{s}}}) \cdot } \right.} \right.\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {({R_{{\rm{eq}}}} - {R_{{\rm{ref}}}})^2} + \frac{{2{R_{{\rm{eq}}}}}}{\lambda }\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\rm{v}}}{{2{\nu _{{\rm{eq}}}}}}} \right)}^2}} + \\ \left. {\left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{2}{\lambda }(Et_{\rm{v}}^{\# 3} + Ft_{\rm{v}}^{\# 4})} \right]} \right) \end{array} $

（18）

式(17)乘以式(18)，完成方位压缩后，将信号进行方位向逆傅里叶变换，得到聚焦图像。改进的CS算法流程见图 3。

3 实验仿真分析

为了证明改进的CS算法对具有三维速度和加速度的机载曲线运动轨迹SAR数据处理的有效性，采用表 1所示参数对多点目标进行仿真。图 4表示场景区域下5×5点阵中等间距100 m的目标位置。

图 5显示了等间距为100 m的5×5点阵在改进CS算法下的聚焦效果，由仿真图可知，此算法能对多点目标进行有效成像，并且中心点和边缘点的成像效果几乎一致。

为了更仔细地观察成像细节，把中心点P₀和边缘点P₂的成像结果进行放大，并分别和文献[18-19]的曲线SAR成像算法进行比较(为便于和文献[19]比较，令v_y=0 m/s，a_y=0 m/s²，即实验处于二维运动变量状态，其他参数如表 1所示)。

图 6是采用所提出的基于Chebyshev正交分解的CS算法、文献[18-19]所提算法分别对点P₀成像得到的高线图。图 6(a)的聚焦效果图中，距离向和方位向的主旁瓣清晰，对称性很好，与理想点目标一致。图 6(b)的方位向出现模糊。图 6(c)出现微小的不对称。

图 7是3种算法对P₀点成像得到的方位冲激响应和距离向冲激响应的比较图。由图 7(a)可知，文献[18]的方位向脉冲冲激响应的旁瓣升高，聚焦性能下降，出现方位向的模糊。而改进的CS算法和文献[19]在方位向的聚焦性能是基本一样的。由图 7(b)可知，3种算法的距离向冲激响应略有差别，文献[18-19]的主瓣均稍有偏移，旁瓣均略有升高并出现不对称现象，而改进的CS算法的聚焦性能稍好。

在只考虑两维速度和加速度的条件下，改进的CS算法和文献[19]的算法效果大体上近似，皆好于文献[18]所提出的算法。但是文献[19]的算法不能处理具有三维速度和三维加速度的曲线SAR数据。改进的CS算法和文献[18]所提出的算法都能处理具有三维速度和加速度的曲线SAR数据，但斜距采用Chebyshev多项式近似比文献[18]采用的Taylor级数逼近的精度高，因此成像效果显著。

图 8和图 9分别显示了场景边缘点P₂在3种算法下的轮廓图以及方位冲激响应和距离向冲激响应的比较。由图可知，3种算法对边缘点P₂的成像效果与中心点P₀比较只有微小的差别。在只考虑两维速度和加速度的情况下，改进的CS算法和文献[19]的聚焦性能大体上一致，而文献[18-19]的算法在距离向旁瓣约有升高，且在方位向的聚焦性能下降。再次证明了基于Chebyshev正交分解的斜距模型及CS成像算法的有效性。

为了进一步比较3种算法的聚焦性能，表 2所示的距离向和方位向的积分旁瓣比(Integral Side Lobe Ratio, ISLR)、峰值旁瓣比(Peak Side Lobe Ratio, PSLR)和主瓣宽度(Impulse Response Width, IRW)也定量地证明了改进的CS算法的优越性。即无论是场景中心点P₀还是场景边缘点P₂，改进的CS算法在距离向和方位向的性能均优于文献[18-19]的算法(由于P₄和P₂位置对称，P₃和P₁位置对称，因此只给出P₀、P₁、P₂的聚焦性能参数)。

产生成像性能差异的一个原因是各算法的斜距模型不一样，从而产生不同的相位误差。在表 1所示参数下，对各算法的斜距误差进行仿真。改进的CS算法采用切比雪夫多项式来逼近斜距历程，文献[18]算法采用传统的泰勒级数来逼近斜距，文献[19]算法提出了考虑两维速度和加速度的斜视双曲斜距方程，3种斜距模型的误差比较如图 10(a)所示。文献[18-19]的斜距误差在合成孔径中心近似为0 m，但在合成孔径边缘，误差增大。而所提出的Chebyshev式斜距误差在整个孔径内都近似为0 m。图 10(b)是由斜距误差产生的多普勒相位误差，该误差也有相同的变化趋势。

下面探讨本算法的适用范围。由式(2)推导出4阶近似斜距的误差为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\Delta R \le }\\ {\quad \left( {\frac{{12{A_4}}}{{{R_p}}} - \frac{{3(A_2^2 + 2{A_1}{A_3})}}{{R_p^3}} + \frac{{9A_1^2{A_2}}}{{2R_p^5}} - \frac{{15A_1^4}}{{16R_p^7}}} \right)t_{\rm{v}}^4} \end{array} $	（19）

式中：$-\frac{T_{\mathrm{syn}}}{2} \leqslant t_{\mathrm{v}} \leqslant \frac{T_{\mathrm{syn}}}{2}$, R_p和A₁、A₂、A₃、A₄由目标位置、平台速度和加速度决定。

在合成孔径边缘，斜距误差产生的最大多普勒相位误差为

$ \begin{array}{l} \Delta {\varPhi _{\rm{m}}} = \frac{{4\pi }}{\lambda }\Delta {R_{\rm{m}}} = \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {\frac{{12{A_4}}}{{{R_p}}} - \frac{{3(A_2^2 + 2{A_1}{A_3})}}{{R_p^3}} + \frac{{9A_1^2{A_2}}}{{2R_p^5}} - \frac{{15A_1^4}}{{16R_p^7}}} \right) \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{\pi T_{{\rm{syn}}}^4}}{{4\lambda }} \end{array} $

（20）

SAR成像要求ΔΦ_m < $\frac{\pi}{4}$，由此可推导系统参数的相互制约条件。忽略R_p的高次项，可推算出本算法适用的三维加速度满足的方程为

$a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}<\frac{\lambda R_{P}}{3 T_{\mathrm{syn}}^{4}} $	（21）

为了验证上述结论，取表 1所示参数对场景中心点P₀在不同三维加速度下进行仿真，如图 11所示。合成孔径时间T_syn=2 s。

由图 11的仿真结果可知，在满足式(21)的约束条件下，本文算法都能有效成像。式(20)的多普勒相位误差存在相加相减项，因此加速度的方向对多普勒相位误差也有影响，导致加速度的边界很复杂。在保证曲线运动的条件下，对应于表 1的机载曲线SAR系统参数，在T_syn=2 s时，可得到本文算法适用的加速度的正向边界(10 m/s²，9 m/s²，8 m/s²)和负向边界(-10 m/s²，-9 m/s²，-8 m/s²)。

本算法的加速度适用范围与合成孔径时间相关。采用表 1所示参数，对不同合成孔径时间下的成像效果进行比较。

图 12显示不同合成孔径时间下的场景中心点P₀的成像等高线图。随着合成孔径时间增加，点目标的高线图开始失真，合成孔径时间超过35 s时，方位向散焦，算法失效。

4 结论

随着日益复杂的外界环境和多样化的应用需求，曲线运动轨迹SAR成像的研究具有特殊的应用价值。曲线运动轨迹SAR克服了机载直线SAR系统因成像特性的限制而存在的前视盲区，能灵活地选择成像区域。但复杂的距离历程给成像处理带来了困难，针对三维加速度的影响，提出了一种基于Chebyshev多项式的等效双曲斜距模型及该斜距模型对应的CS成像算法，并给出了三维加速度的边界值和最大合成孔径时间。通过运动方程得到SAR载体和目标之间的斜距表达式，并进行Chebyshev近似，推导了与传统SAR类似的等效斜距模型。然后，在考虑载体三维运动参数的基础上，引入CS成像算法消除距离徙动的空间变化性。仿真实验表明，该算法提高了大合成孔径时间下场景点目标的成像质量。