多电机的协同控制广泛应用于军事、国防以及工业自动化生产系统中，尤其是在电机控制精度要求较高的无人机群、电力机车以及机器人控制系统等领域^[1-2]。多电机协同控制系统主要包括两大类:非耦合控制和耦合控制。非耦合控制主要包括2种协同控制方式:并行控制方式和主从控制方式。并行控制中当一台电机受到干扰时，其他电机不能进行调整致使抗干扰能力不强。在主从控制中，如果系统的主电机受到扰动，从电机能够及时进行调整，但当从电机受到干扰时，其扰动不能反馈到主电机，导致其他电机不能进行调整，协调性差。

在非耦合控制方式中，通常情况下各台电机由独立的控制器控制，当电机受到外界扰动时，由于电机群之间缺乏相关性，电机不能及时做出调整，协调性差，不能满足精度要求较高的场合。20世纪80年代以Koren为代表的学者提出了解决双轴同步问题的交叉耦合控制策略，推广了交叉耦合控制在多电机控制系统中的应用^[3]。Zhang等设计了一种基于相邻耦合误差和滑模理论的新型多电机同步器，通过Lyapunoy理论和LaSalle不变性原理很好地证明了跟踪误差和同步误差的收敛性，表明该同步控制器可以以快速的收敛速度和良好的鲁棒性有效地实现同步^[4]。为解决多轴控制系统中各运动轴的同步性问题，南京航空航天大学季明逸和游有鹏研究了偏差耦合同步方案的原理，采用模糊PID作为速度补偿器的偏差耦合方案可获得更好的同步控制性能^[5]。

随着人工智能的兴起，北京航空航天大学刘敬猛等应用神经网络逼近电机控制，结果表明这种控制方法与传统方法相比可以有效提高球电机的抗干扰能力，在误差比较大的情况下仍可以保证电机的运动精度，其结果为进一步的球电机精密运动控制理论研究和实验方案设计提供借鉴和参考^[6]。

相较于模糊控制，神经网络不依赖被控对象精确数学模型，具有强大的自适应和自学习能力，以及无限逼近任意非线性函数的特点^[7]。针对电机运动所需的动态特性和稳态性能这一问题，本文在传统多电机固定增益偏差耦合控制结构的基础上融入基于单神经元PID变增益偏差耦合控制，在一定程度上改善了多电机运动的同步性能。

1 永磁同步电机矢量控制

永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)具有功率密度高、调速范围广、电磁转矩大等优点使得永磁同步电机在众多领域扮演着不可或缺的角色^[8]。

PMSM是一个多变量、强耦合的非线性时变系统^[9]，为简化对PMSM分析，建立高效可行的数学模型，先做如下假设:

1) 定子三相绕组以及永磁体产生的磁场为空间正弦分布，稳定运行时相绕组中的感应电动势波形为正弦波。

2) 忽略定子齿槽对气隙磁阻及磁场分布的影响。

3) 定子及转子的铁芯磁导率为无穷大，电机的绕组电感不随工况变化^[10]。

基于以上假设得到电机的电压方程为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_d} = {R_{\rm{s}}}{i_d} + {L_d}\frac{{{\rm{d}}{i_d}}}{{{\rm{d}}t}} - {\omega _{\rm{r}}}{L_q}{i_d}}\\ {{u_q} = {R_{\rm{s}}}{i_q} + {L_q}\frac{{{\rm{d}}{i_q}}}{{{\rm{d}}t}} + {\omega _{\rm{r}}}({L_d}{i_d} + {\varPsi _{\rm{f}}})} \end{array}} \right. $	（1）

电机转矩模型为

$ {T_{\rm{e}}} = \frac{3}{2}p[{\varPsi _{\rm{f}}}{i_q} + ({L_d} - {L_q}){i_q}{i_d}] $	（2）

式中:u_d、u_q分别为对应的d、q轴电压；i_d、i_q分别为等效的d、q轴电流；ω_r为电机电角速度；Ψ_f为永磁体等效磁链；R_s为定子等效电阻；L_d、L_q分别为d、q轴等效电感；p为电机极对数。

矢量控制根据坐标变换前后2个系统的电流所产生的磁场等效与坐标变换前后2个系统的电机功率不变，将静止的ABC三相坐标系与同步旋转d-q轴系的相电压和电机磁链的变换实现i_d、i_q的解耦。

永磁同步电机矢量控制模型中，主要有2种控制方式，一种是力矩跟随控制，另一种是转速跟随控制。仿真中选用基于转速跟随模型的i_d=0 A控制策略，该策略下三相电流合成矢量I_s与q轴重合，三相电流合成矢量I_s全部用于提供输出转矩，进而保证输出转矩为最大值^[11]。

搭建的矢量控制模型如图 1所示。

2 多台永磁同步电机偏差耦合算法

偏差耦合控制利用多台电机间的速度偏差，在各个电机之间动态分配速度补偿信号，从而实现速度的同步^[12-14]。图 2为带速度补偿的多电机协同控制框图。

在图 2中，PMSM_1、PMSM_2、PMSM_3电机分别代表 3台永磁同步电机，采用矢量控制(Field-Oriented Control, FOC)单独控制，T₁、T₂、T₃分别用来表示3个不同的负载干扰，ω₁、ω₂、ω₃分别为3台电机的输出实时转速。将速度之间做差比较后作为速度补偿信号反馈至信号补偿点。

传统偏差耦合结构根据每台电机的运行状态动态地分配速度补偿信号，即选用由各电机的转速差和转动惯量之比决定动态补偿器。该方法通过转速补偿来减小电机间的同步误差，提高系统的同步性能，但其采用的固定增益的同步补偿器，负载变化较大时会影响系统的稳定性。当电机在自身扰动或外加负载变化时同步补偿器的相对速度将减小为零^[15]。

为此，采用改进型多电机比例速度控制，定义跟随误差为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { {\rm{err}}{ _{12}}(t) = {K_1}{\omega _1} - {K_2}{\omega _2}}\\ { {\rm{err}}{ _{23}}(t) = {K_2}{\omega _2} - {K_3}{\omega _3}} \end{array}} \right. $	（3）

式中:err₁₂(t)为电机1和电机2之间的比例误差；err₂₃(t)为电机2和电机3之间的比例误差；K₁、K₂、K₃分别为比例因子。

要使各电机之间保持同步运行，则需要使中间电机PMSM_2与PMSM_1、PMSM_3之间的跟随误差稳定收敛，即

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { {\rm{err}}{ _{12}}(t) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } ({K_1}{\omega _1} - {K_2}{\omega _2}) = 0}\\ { {\rm{err}}{ _{23}}(t) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } ({K_2}{\omega _2} - {K_3}{\omega _3}) = 0} \end{array}} \right. $	（4）

误差补偿Δω为

$ \Delta \omega = {K_{12}}({K_1}{\omega _1} - {K_2}{\omega _2}) + {K_{23}}({K_2}{\omega _2} - {K_3}{\omega _3}) $	（5）

式中:K₁₂为PMSM_1和PMSM_2之间的变增益调节因子；K₂₃为PMSM_2和PMSM_3之间的变增益调节因子。

图 3中采用改进变增益补偿Δω代替了传统固定增益控制器，从而增强控制器对转速误差的跟踪控制能力；此外变增益调节在应对特殊工况中发挥着举足轻重的作用，当电机出现打滑等现象, 通过传感器判断打滑电机，接着根据变增益调节使得正常电机转速为零，当打滑电机恢复正常再次通过变增益调节使得偏差耦合及时控制进而提升电机间的同步转速性能。

3 单神经元PID速度补偿器

速度动态补偿器作为多电机偏差耦合同步系统中最重要的环节，其采用的补偿算法对促进电机同步有着显著的效果^[16-17]。传统PID算法对于大多数响应过程都具有较好的控制效果，故而可将该算法应用到速度补偿器中^[18]。但传统的PID控制只采用了单一的参数，系统在受到各种扰动时不能保持良好的同步性能。而神经网络具有逼近任意函数的自学习特性，能够实现大多数的常规非线性与不确定系统的控制，并在一定程度上实现PID参数在线整定。为提高响应的同步性能，本文使用单神经元PID控制器，通过单神经元PID控制对参数进行实时在线整定，从而获得更好的同步控制性能^[19]。

单神经元自适应PID运用有监督Hebb学习规则的控制算法^[20]，即

$ \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {u(k) = u(k - 1) + K\sum\limits_{i = 1}^3 {\omega _i^\prime } {x_i}(k)}\\ {\omega _i^\prime (k) = {\omega _i}(k)/\sum\limits_{i = 1}^3 | {\omega _i}(k)|} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{\omega _1}(k) = {\omega _1}(k - 1) + {\eta _{\rm{P}}}z(k)u(k){x_1}(k)}\\ {{\omega _2}(k) = {\omega _2}(k - 1) + {\eta _{\rm{I}}}z(k)u(k){x_2}(k)}\\ {{\omega _3}(k) = {\omega _3}(k - 1) + {\eta _{\rm{D}}}z(k)u(k){x_3}(k)}\\ {{x_1}(k) = e(k)}\\ {{x_2}(k) = \Delta e(k) = e(k) - e(k - 1)}\\ {{x_3}(k) = {\Delta ^2}e(k) = e(k) - 2e(k - 1) + e(k - 2)} \end{array} \end{array} \right. $

（6）

式中:η_P为比例学习速率；η_I为积分学习速率；η_D为微分学习速率；K为神经元的比例系数；e(k)为误差；z(k)为递进信号；u(k)为神经元的输出。

由于PID参数自适应调整主要与e(k)、Δe(k)有关系，故而采用改进型有监督单神经元PID算法, 即

$ \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {u(k) = u(k - 1) + K\sum\limits_{i = 1}^3 {\omega _i^\prime } {x_i}(k)}\\ {\omega _i^\prime (k) = {\omega _i}(k)/\sum\limits_{i = 1}^3 | {\omega _i}(k)|} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{\omega _1}(k) = {\omega _1}(k - 1) + {\eta _{\rm{P}}}z(k)u(k)(e(k) + \Delta e(k))}\\ {{\omega _2}(k) = {\omega _2}(k - 1) + {\eta _{\rm{I}}}z(k)u(k)(e(k) + \Delta e(k))}\\ {{\omega _3}(k) = {\omega _3}(k - 1) + {\eta _{\rm{D}}}z(k)u(k)(e(k) + \Delta e(k))} \end{array} \end{array} \right. $

（7）

4 仿真模型及控制策略

为验证控制算法的收敛性与鲁棒性，在MATLAB/Simulink中建立永磁同步电机矢量控制模型。为简化仿真，忽略其他外界因素的干扰，选用具有代表意义的3台电机进行仿真时长为0.6 s的协调控制，并在0.3 s时向电机1、2、3分别施加时长为0.01 s、扰动为2、3、4 N·m的力矩，在0.4 s时将转速突然降至800 r/min。PMSM实验参数如表 1所示，其中P_n为额定功率；v_n为额定转速; J为转动惯量。

由图 4和图 5可知选用固定增益增量式PID速度调节，系统超调量为9.37%。当系统受到2、3、4 N·m干扰时，最低转速分别为1 597、1 595、1 593 r/min。在0.4 s时转速急降至800 r/min过程中抖动剧烈, 最低至427 r/min。

由图 5可知选用变增益单神经元PID速度调节，电机起动超调量为2.98%，在0.3 s时向电机1、2、3分别施加时长为0.01 s、扰动为2、3、4 N·m时，3条波形产生轻微的下降，但最低下降点的转速在1 595 r/min以上，表明系统具有较好的收敛性与自适应性；电机之间的同步误差仅为0.125%，最大误差不超过0.25%，表明系统没有累计误差且能迅速收敛达到稳定状态，电机急减速时抖动最低至517 r/min, 相对具有较好的稳定性。

5 结论

1) 通过变增益电机偏差耦合控制，使得系统能够很快地跟踪目标并降低速度误差，对于电动机车等速度精度要求较高的场合有一定的借鉴意义。

2) 本文在传统PID多电机耦合系统控制方案基础上采用单神经元结构，在不改变系统稳定性的情况下，进一步改善多电机系统在不同工况下的控制性能，表现出优异的鲁棒性。