近年来，航天器在通信、对地观测、深空探测及军事等领域发挥着越来越重要的作用^[1-3]。由于航天器在轨资源严重受限(包括计算资源、硬件资源以及能量资源)的特点^[4]，仅依靠地面测控的导航与控制方法，难以满足在轨航天器对高精度导航与控制的需求。为了保证飞行任务成功实施，航天器自主运行受到了人们广泛的关注，成为新一代航天器的发展趋势。要想实现航天器的自主运行，亟需开展航天器控制系统自主故障与处理的研究。而自主故障处理的前提是系统自身必须具有可重构性。可重构性的定义为：在资源配置和运行条件一定的情况下，保证安全时间内，系统通过自主改变空间构型或控制算法等方式，克服故障，恢复全部或部分既定功能的能力^[5]。由此可见，进行系统可重构性评价与自主重构的研究是提高航天器安全可靠、自主运行能力的根本所在。

在可重构性评价方法方面，已有研究基于互质分解的技术手段，定量地描述了系统的可重构性^[6-7]。在线性系统中，左、右互质分解互为对偶，这个特性为Youla参数化的构造方法提供了理论基础^[8-9]，并基于此给出面向系统稳定性的可重构性指标。然而，基于互质分解理论的可重构性评价与自主重构设计对系统的线性性质有一定要求。在实际工程应用中，不可避免系统存在非线性项。因此，文献[10-12]针对非线性系统给出了稳定核表示(SKR)和稳定像表示(SIR)这2个基于算子理论的概念，并将此作为线性系统左、右互质分解在非线性系统中的推广。值得注意的是，在非线性系统中，稳定核表示与稳定像表示不再具有对偶的关系^[13]，这为非线性系统Youla参数化的构造加大了难度，因此文献[14]所提方法将不再适用。本文通过引入稳定核表示与稳定像表示算子的概念，突破以上局限，为非线性系统可重构性评价方法提供了理论基础。

在自主重构方面，文献[15]提出了扩展的内部模型控制结构，利用稳定像表示的技术手段，定量地评价系统的诊断能力，并实现了基于观测器的诊断数据驱动^[16-17]；还有研究提出了自适应未知输入故障诊断观测器，同时重构非线性动态系统的执行器故障和传感器故障^[18-19]。然而，现有研究鲜有针对系统可重构性指标，充分挖掘系统重构潜力，从设计角度提高系统可重构性，从而实现自主重构目标的研究。

鉴于此，本文通过稳定核表示和稳定像表示的算子方法，定量地描述了系统的重构能力，突破了互质分解方法对系统线性性质的局限；当系统具备重构能力时，通过在设计阶段考虑系统可重构性，挖掘系统重构潜力，旨在从根本上提高系统重构能力。同时，通过可重构性评价指标为自主重构提供理论依据，指导系统进行自主重构，从而确保航天器控制系统在轨的安全可靠与自主运行。

1 问题描述

本文将考虑利用如下算子形式描述系统：

$ {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}^{{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}}}:U \to Y:\mathit{\boldsymbol{y}}(t) = {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}^{{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}}}(\mathit{\boldsymbol{u}}(t)) $	（1）

式中：u(t)为控制输入向量；y(t)为测量输出向量；U为具有从时域到欧几里德矢量空间函数的控制输入信号空间；Y为具有从时域到欧几里德矢量空间函数的控制输出信号空间；x₀为初始状态。

本文将针对式(1)所描述的系统进行可重构性评价与自主重构。

2 基于算子理论的可重构性评价方法

定义1    针对式(1)所描述的非线性系统，当算子R_Σ^x₀:U×Y→Z满足式(2)时，则称为系统Σ^x₀:U→Y的稳定核表示：

$ {R_\varSigma }\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right]} \right) = 0 $	（2）

式中：Z为具有从时域到欧几里德矢量的函数空间。

定义2    针对式(1)所描述的非线性系统，若算子I_Σ:V→U×Y对任意输入信号u∈U和输出信号y∈Y满足：存在v∈V满足式(3)时，则称为Σ^x₀:U→Y的稳定像表示：

$ \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right]} \right) = {I_\varSigma }(\mathit{\boldsymbol{v}})\;\:\forall {\mathit{\boldsymbol{p}}_0} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_0} $	（3）

如果对于所有输入信号u∈U和初始条件x₀，其输出信号为y∈Y，则认为算子Σ:U→Y是稳定的。

将故障算子记作

$ {\varDelta _{\rm{f}}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{\alpha }}(\mathit{\boldsymbol{x,u,y}})}\\ {\mathit{\boldsymbol{\omega }} = \mathit{\boldsymbol{\beta }}(\mathit{\boldsymbol{x,u,y}})} \end{array}} \right. $	（4）

则故障系统Σ_f的稳定核表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{z}}_{{\varSigma _{\rm{f}}}}} = {R_\varSigma }\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right]} \right) + {\varDelta _{\rm{f}}}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right]} \right) $	（5）

不难看出，非线性系统的稳定核表示和稳定像表示是线性系统的左互质分解(LCF)和右互质分解(RCF)的推广。以左互质分解为例，给出理论推导。

假设线性系统传递函数互质分解形式为

$ G = {\tilde M^{ - 1}}\tilde N = N{M^{ - 1}} $	（6）

式中：G为系统传递函数；$\left\{ {\tilde N, \tilde M} \right\}$、{M, N}为左右互质分解因子。

故障后系统传递函数的左互质分解形式为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{G_{\rm{f}}} = {{(\tilde M + {{\tilde M}_{\rm{f}}})}^{ - 1}}(\tilde N + {{\tilde N}_{\rm{f}}}) = }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (N + {N_{\rm{f}}}){{(M + {M_{\rm{f}}})}^{ - 1}}} \end{array} $

（7）

式中：$\left\{ {{{\tilde N}_{\rm f}}, {{\tilde M}_{\rm f}}} \right\}$、{M_f, N_f}为故障产生的互质因子。

从而有

$ \begin{array}{l} 0 = [ - \tilde N - {{\tilde N}_{\rm{f}}}\;\:\tilde M + {{\tilde M}_{\rm{f}}}]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right] = \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \tilde N}&{\tilde M} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right]}_{{R_\varSigma }(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right])} + \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {{\tilde N}_{\rm{f}}}}&{{{\tilde M}_{\rm{f}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right]}_{{\Delta _{\rm{f}}}(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right])} \end{array} $

（8）

对照式(5)，结论得证。

因此，虽然本文围绕式(1)所描述的非线性系统进行讨论，但同样适用于线性系统。

设算子Q:G→K_Q为该系统的稳定重构算子：

$ Q:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_q} = \varphi ({\mathit{\boldsymbol{x}}_q},{\mathit{\boldsymbol{z}}_l})}\\ {{\mathit{\boldsymbol{r}}_k} = \phi ({\mathit{\boldsymbol{x}}_q},{\mathit{\boldsymbol{z}}_l})} \end{array}} \right. $	（9）

控制器K_Q为具有以下定义的稳定核表示和稳定像表示形式：

$ {{R_{{K_Q}}} = {R_Q} \circ {R_{\{ \varSigma ,K\} }}} $	（10）

$ {{I_{{K_Q}}} = R_\varSigma ^ - + {I_\varSigma } \circ Q} $	（11）

式中：R_Σ^-为算子R_Σ的逆；“$ \circ $”为算子间的复合运算符。

定理1    考虑故障系统Σ_f，其稳定核表示如式(5)所示，重构控制器的稳定像表示如式(11)所示，则当故障满足式(12)时，非线性系统{Σ_f, K_Q}具有可重构性：

$ \lambda ( - {\varDelta _{\rm{f}}} \circ {I_{{K_Q}}}) \cdot \lambda ({({R_\varSigma } \circ {I_{{K_Q}}})^{ - 1}}) < 1 $	（12）

式中：λ(·)为算子的L₂增益。

证明    由定义1、定义2可知，有

$ {\mathit{\boldsymbol{z}}_{{\varSigma _{\rm{f}}}}} = ({R_\varSigma } + {\varDelta _{\rm{f}}})(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{u}}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right]) = ({R_\varSigma } + {\Delta _{\rm{f}}}) \circ {I_{{K_Q}}}({\mathit{\boldsymbol{z}}_\varSigma }) = 0 $	（13）

从而有

$ {R_\varSigma } \circ {I_{{K_Q}}}({\mathit{\boldsymbol{z}}_\varSigma }) = - {\varDelta _{\rm{f}}} \circ {I_{{K_Q}}}({\mathit{\boldsymbol{z}}_\varSigma }) $	（14）

因为K_Q是系统的稳定控制器，所以(R_Σ$ \circ $I_KQ)^-1也是稳定的。由式(14)、式(15)和小增益定理可知，若式(12)成立，则非线性系统系统{Σ_f, K_Q}是稳定的。

证毕。

推论1    考虑故障系统Σ_f，其稳定核表示如式(5)所示，为了保持系统原有性能，所允许的最大故障边界为

$ \underbrace {\lambda ( - {\varDelta _{\rm{f}}} \circ {I_{{K_O}}})}_{{\rm{故障值}}} < \underbrace {\frac{1}{{\lambda ({{({R_\varSigma } \circ {I_{{K_Q}}})}^{ - 1}})}}}_{{\rm{可重构性评价指标}}} $	（15）

式(15)中，令$\;\delta = \frac{1}{{\lambda \left( {{{\left( {{R_\mathit{\Sigma }} \ \circ \ {I_{{K_Q}}}} \right)}^{ - 1}}} \right)}}$即为系统可重构性指标，该指标定量地描述了系统可重构性的大小，表征了系统的重构能力。

本节基于稳定核表示与稳定像表示这种算子概念，通过推论1给出了已知重构控制器情况下，系统的可重构性评价方法。该方法避免了传统通过互质分解方法求系统可重构性指标对系统线性性质的局限性；同时证明了稳定核表示与稳定像表示的技术手段是互质分解在非线性系统中的延伸与推广，使得基于算子理论的可重构性评价方法更加完备化。此外，所得可重构性指标定量地描述了系统重构能力的大小，为进一步的自主重构设计提供了理论指导。

3 基于算子理论的自主重构

第2节内容针对非线性系统无法进行左、右互质分解的困难，通过稳定核表示和稳定像表示的技术手段给出了已知重构控制器情况下航天器姿态控制系统可重构性评价指标。本节将针对未知重构控制器情况下(在设计之初)，通过上述可重构性指标，使得系统最大化的发挥其重构能力，并指导航天器姿态控制系统进行自主重构。

针对非线性系统，由式(16)和式(11)可知，可通过、且仅通过调整稳定的重构算子Q来保证闭环系统{Σ_f, K_Q}恢复原有性能。为了能够充分发挥系统的重构潜力，则需要通过调整重构算子Q使可重构性指标尽可能地大。因此，需要找出可重构性指标的一个最大边界。具体形式如定理2所述。

定理2    考虑故障系统Σ_f，其稳定核表示如式(5)所示，可将式(16)作为系统可重构性最大边界指标。其表达式为

$ {\delta _{{\rm{max}}}} = \sqrt {1 - \left\| {{R_\varSigma }} \right\|_{\rm{H}}^2} $	（16）

式中：${\left\| \cdot \right\|_{\rm{H}}}$为Hankel范数。

证明    由文献[19]可知，针对左互质分解形式为$G = {{\tilde M}^{ - 1}}\tilde N$的线性系统，其最大重构边界为

$ {\delta _{{\rm{max}}}} = \sqrt {1 - \left\| {[\tilde N,\tilde M]} \right\|_{\rm{H}}^2} $	（17）

由于非线性系统的稳定核表示是线性系统中左互质分解的推广，从而定理2得证。

由式(17)可知，可重构性最大边界指标计算公式中不包含自主重构算子Q的信息，即δ_max描述了未知控制器K_Q情况下，系统本身重构能力的大小。同时，给出了能使故障系统具备恢复到原有性能的目标下，自主重构算子的范围。这个范围的确定使求自主重构算子有了一个明确的指标。

本节内容通过稳定核表示与像表示的方法，将线性系统中互质分解的方法拓展到非线性系统，重构策略的设计只和重构算子Q相关，即只需要通过构造重构算子Q使如式(16)所示的可重构性指标达到所需要求，充分挖掘并利用系统可重构能力，从而提高系统故障自主处理的能力，实现航天器安全可靠与自主运行。具体步骤如下所示：

步骤1    计算非线性系统最大可重构性指标边界δ_max。

步骤2    设计重构控制器。

步骤3    由式(15)计算针对该控制器的可重构性指标$\;\delta = \frac{1}{{\lambda \left( {{{\left( {{R_\mathit{\Sigma }} \ \circ \ {I_{{K_Q}}}} \right)}^{ - 1}}} \right)}}$，并判断：

① 若δ < δ_max，则该控制器可以达到重构目的，进行步骤3；

② 若δ≥δ_max，则该控制器不可以达到重构目的，需重新设计控制器。

步骤4    计算故障值λ(-Δ_f$ \circ $I_KQ)。

步骤5    发生故障后，判断：

① 若故障值λ(-Δ_f$ \circ $I_KQ)≤δ，重构控制器仍能使故障系统恢复原有性能；

② 若故障值λ(-Δ_f$ \circ $I_KQ)>δ，则该系统无法通过自主重构恢复原有性能。

值得注意的是：当故障值>可重构性指标时，也有可能存在故障值>最大重构边界的情况，而最大重构边界是在控制器未知情况下，反应系统本身重构能力的指标，此时，即便重新设计重构控制器，也无法通过自主重构达到恢复系统原有性能的目标。

步骤2和步骤3中可以看出，可以根据任务需要以及资源受限情况，调整自主重构算子，使重构边界指标尽可能大，即充分发掘系统的重构潜力。为设计人员提供了一个定量的设计指标，指导自主重构的设计。步骤3和步骤4判断了在固定自主重构控制器的情况下，故障系统是否能够通过所设计的自主重构控制系统恢复原有性能。这个过程，充分体现了系统可重构性指标对自主重构设计的指导意义。

本节基于第2节对系统进行自主重构，从根本上提高了系统的重构潜力，从而实现了航天器自主运行的目标。

4 仿真验证

本节将针对如下仿射非线性系统进行数值验证。设被控对象数学模型为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_1} = - x_1^2 + {x_3}}\\ {{{\dot x}_2} = - {x_1} + x_3^2 + {u_1}}\\ {{{\dot x}_3} = - {x_2} + {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3}}\\ {{{\dot x}_4} = - {x_1} - x_4^2 + {u_2}} \end{array}} \right. $	（18）

取$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{y_1} = {x_1}}\\ {{y_2} = {x_4}} \end{array}} \right.$, $\mathit{\boldsymbol{x}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$, $\mathit{\boldsymbol{y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right]$, 则式(19)可记为

$ \Sigma :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + \mathit{\boldsymbol{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}})\mathit{\boldsymbol{u}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{hx}}} \end{array}} \right. $	（19）

式中：

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x_1^2 + {x_3}}\\ { - {x_1} + x_3^2}\\ { - {x_2} + {\rm{sin}}{x_3}}\\ { - {x_1} - x_4^2} \end{array}} \right],\;\:\mathit{\boldsymbol{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0\\ 0&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\\ \mathit{\boldsymbol{h}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0&0&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] \end{array} $

（20）

针对上述方程描述的控制系统，按照定义1，其稳定核表示可写为^[20]

$ {\mathit{\boldsymbol{z}}_1} = {R_\varSigma }({[{\mathit{\boldsymbol{u}}^{\rm{T}}},{\mathit{\boldsymbol{y}}^{\rm{T}}}]^{\rm{T}}}) $	（21）

展开形式为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + \mathit{\boldsymbol{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}})\mathit{\boldsymbol{u}} + \mathit{\boldsymbol{l}}(\mathit{\boldsymbol{x}})(\mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{h}}(\mathit{\boldsymbol{x}}))}\\ {{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} = \mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{hx}}} \end{array}} \right. $

（22）

h=l^T(x)W_x^T，W_x> 0是Hamilton Jacobi等式(式(23))的解。

$ {\mathit{\boldsymbol{W}}_x}\mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{W}}_x}\mathit{\boldsymbol{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\mathit{\boldsymbol{g}}^{\rm{T}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\mathit{\boldsymbol{W}}_x} - \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{h}}^{\rm{T}}}(\mathit{\boldsymbol{x}})\mathit{\boldsymbol{h}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = {\bf{0}} $	（23）

按照定义2，其稳定像表示可写为^[20]

$ \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{y}}\\ \mathit{\boldsymbol{u}} \end{array}} \right]} \right) = {I_\Sigma }{\mathit{\boldsymbol{z}}_{\rm{r}}} $	（24）

展开形式为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + \mathit{\boldsymbol{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}})\mathit{\boldsymbol{k}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + \mathit{\boldsymbol{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\mathit{\boldsymbol{z}}_{\rm{r}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{hx}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{z}}_{\rm{r}}} = \mathit{\boldsymbol{u}} - \mathit{\boldsymbol{k}}(\mathit{\boldsymbol{x}})} \end{array}} \right. $

（25）

k(x)=-g^T(x)V_x^T，V_x> 0是Hamilton Jacobi等式(式(26))的解。

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}_x}\mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) - \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{V}}_x}\mathit{\boldsymbol{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\mathit{\boldsymbol{g}}^{\rm{T}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\mathit{\boldsymbol{V}}_x} + \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{h}}^{\rm{T}}}(\mathit{\boldsymbol{x}})\mathit{\boldsymbol{h}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = {\bf{0}} $	（26）

当系统发生故障后，故障系统可描述为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + \mathit{\boldsymbol{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}})\mathit{\boldsymbol{u}} + \mathit{\boldsymbol{l}}(\mathit{\boldsymbol{x}})(\mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{h}}(\mathit{\boldsymbol{x}}))}\\ {\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{hx}} - \mathit{\boldsymbol{\beta }}} \end{array}} \right. $

（27）

式中：β= [2sinx₁  0]^T。设重构算子Q可表示为如式(9)所示，其稳定核表示与稳定像表示如式(10)和式(11)所示。

通过定理2，可得可重构性最大边界指标为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\delta _{{\rm{max}}}} = \sqrt {1 - \left\| {{R_\Sigma }} \right\|_{\rm{H}}^2} = \sqrt {1 - \left\| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_1}} \right\|_{\rm{H}}^2} = }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sqrt {1 - \left\| {\mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{h}}(\mathit{\boldsymbol{x}})} \right\|_{\rm{H}}^2} } \end{array} $

（28）

此时，重构控制器算子K_Q为

$ {K_Q}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{h}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + \mathit{\boldsymbol{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}})\mathit{\boldsymbol{u}} + \mathit{\boldsymbol{l}}(\mathit{\boldsymbol{x}})(\mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{h}})}\\ {\mathit{\boldsymbol{u}} = - {\mathit{\boldsymbol{g}}^{\rm{T}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + \mathit{\boldsymbol{f}}} \end{array}} \right. $

（29）

设计自主重构算子Q中的参数为

$ {\mathit{\boldsymbol{\phi}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6x_1^4 + 6x_1^3 - 3x_1^2 + 4{x_1}}\\ { - 3{x_4} + x_4^2} \end{array}} \right] $	（30）

则控制律具体形式为u=[u₁   u₂]^T, 其中

$ {\kern 1pt} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = - 6x_1^4 + 8x_1^2{x_3} + 4{x_1} - 3x_3^2 + 2{x_1}{x_2} - }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{x_1}{\kern 1pt} {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3} - {x_2}{\kern 1pt} {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3} + {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3}{\kern 1pt} {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3} + }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3( - x_1^2 + {x_3}) + 3(2x_1^3 - 2{x_1}{x_3} - }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_2} + {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3})}\\ {{u_2} = {x_1} - 3{x_4} + x_4^2} \end{array}} \right. $

（31）

针对K_Q，系统的可重构性指标由推论1得

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\delta = \frac{1}{{\lambda ({{({R_\Sigma } \circ (R_\Sigma ^ - + {I_\Sigma } \circ Q))}^{ - 1}})}} = }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{1}{{\lambda ({{({\mathit{\boldsymbol{z}}_l}(\mathit{\boldsymbol{z}}_l^{ - 1} + {\mathit{\boldsymbol{z}}_r}\phi ))}^{ - 1}})}} = }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{1}{{\lambda ({{((\mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{h}})({{(\mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{h}})}^{ - 1}} + (\mathit{\boldsymbol{u}} - \mathit{\boldsymbol{k}}(\mathit{\boldsymbol{x}})){\mathit{\boldsymbol{\phi}}} ))}^{ - 1}})}}} \end{array} $

（32）

则有

$ \delta = 0.540{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 9 < {\delta _{{\rm{max}}}} = 0.763{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 1 $	（33）

由定理2和推论1可知，所设计重构控制律在可重构性边界范围内，即该自主重构方法可以在资源受限情况下使系统发挥一定重构潜力。系统单位阶跃响应如图 1所示，证明了该结论的正确性。

当系统发生故障后，针对系统Σ_f计算故障值：λ(-Δ_f$ \circ $I_KQ)=λ(-β(z_l^-1+z_rϕ))。则有

$ \lambda ( - {\varDelta _{\rm{f}}} \circ {I_{{K_Q}}}) = 0.558{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3 > \delta = 0.540{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 9 $	（34）

由于故障值大于系统可重构性指标，超出了在该重构控制律下系统重构能力，无法恢复系统原有性能。故障系统单位阶跃响应如图 2所示，证明了上述结论的正确性。

此时，为了达到重构目标，需要在可重构性最大边界指标范围内设计尽可能发挥系统重构潜力的自主重构控制器。重新设计自主重构算子中的参数为

$ {{\mathit{\boldsymbol{\phi}}} ^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6x_1^4 + 10x_1^3 - 5x_1^2 + 6{x_1}}\\ { - 5{x_4} + x_4^2} \end{array}} \right] $	（35）

此时，控制律具体形式为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u_1^\prime = - 6x_1^4 + 8x_1^2{x_3} + 6{x_1} - 3x_3^2 + 2{x_1}{x_2} - }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{x_1}{\kern 1pt} {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3} - {x_2}{\kern 1pt} {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3} + {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3}{\kern 1pt} {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3} + }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 5( - x_1^2 + {x_3}) + 5(2x_1^3 - 2{x_1}{x_3} - {x_2} + {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3})}\\ {u_2^\prime = {x_1} - 5{x_4} + x_4^2} \end{array}} \right. $

（36）

针对K′ _Q，系统可重构性指标为δ′=0.664 6，注意到不同重构控制律下系统可重构性指标与最大重构边界之间具有以下不等关系：

$ \delta < \lambda ( - {\varDelta _{\rm{f}}} \circ {I_{{K_Q}}}) < {\delta ^\prime } < {\delta _{{\rm{max}}}} $	（37）

由定理2和推论1可知，δ′ < δ_max保证了系统在最大重构边界范围之内；λ(-Δ_f$ \circ $I_KQ) < δ′说明该故障系统可通过自主重构恢复原有稳定性；δ < δ′说明K′ _Q比K_Q更能够充分挖掘系统的重构潜力，从而能够使系统充分利用重构潜力达到重构目标，图 3亦证明了该方法的正确性和有效性。

值得注意的是，本文所提自主重构对具体重构控制方法并无限制，PID控制、自适应控制或滑模控制均可，该理论旨在强调可重构性评价方法与自主重构的内在联系：可重构性指标对自主重构的指导作用以及自主重构对系统可重构性指标的依赖性。

5 结论

1) 基于系统核表示与像表示的技术手段针对非线性系统定量地给出了可重构性评价指标，使基于算子理论的可重构性评价方法更加完备化。

2) 通过求取可重构性最大边界挖掘系统重构潜力，从根本上提高了航天器姿态控制系统的重构能力。

3) 通过本文所提可重构性评价方法为自主重构提供必要的理论依据，在该理论指导下对系统进行自主重构，并通过仿真验证了该方法的正确性和有效性。