捷联星光/惯性制导是一种在捷联式惯性制导基础上辅以星光修正的复合制导方法，它利用恒星矢量提供的空间方位基准，来校准数学平台坐标系(导航坐标系)与发射惯性坐标系之间的误差角，从而修正落点偏差^[1-3]。在捷联星光/惯性制导系统中，惯性组件和星敏感器均固联安装在运载体上，相比于平台式复合制导系统，其结构简单，对星敏感器的尺寸、质量限制不严格，成本相对较低；测星方式相对灵活，对被测星体方位和测星次数没有严格的限制，便于优化设计以提高星光制导系统的精度。

星敏感器作为高精度天文敏感器，测量精度可达角秒级^[4-5]。然而对捷联星光/惯性复合制导系统而言，星敏感器固联安装在弹体上，由于发射过程中的振动、冲击等因素，测星时其安装误差可能达到角分级，严重影响测量恒星方位时的准确性^[6]，因此需要对其安装误差进行标定与修正。当前地面标定星敏感器安装误差的方法主要有2种：一种是基于光学传递原理进行标定，过程复杂、使用设备较多、造价昂贵^[7-8]；另一种是根据惯导转位信息进行标定，标定精度依赖于惯导的转位精度^[9-13]，2种方法都很难在线实施。Pittelkau通过分解系统过程噪声的协方差矩阵，提出了一种对姿态敏感器安装误差进行标定的Kalman滤波算法^[14]。Yang等利用线性卡尔曼滤波器对失准角、星敏感器安装误差进行了标定，同时对观测矩阵的秩进行了分析，得出了观测的导航星数目以及调姿次数应均大于2的结论^[15]。Ning等提出了一种基于机动性和可观测性分析的星敏感器安装误差快速标定方法^[16]。王欣等利用惯导以及星敏感器的输出构造观测量，通过滤波实现对安装误差的标定^[17]。然而以上算法都是利用卡尔曼滤波估计安装误差，虽然估计精度较高，但需要长时间的测量，且在误差值较大时需要一定的收敛时间^[10]，不适用于导弹的星光/惯性制导方案。

针对上述问题，提出了一种在线辨识并修正星敏感器安装误差的方法。建立观测量与平台失准角、星敏感器安装误差的关系方程，在导弹到达关机点后进行3次转弹测星得到6个观测量，然后利用最小二乘法估计出失准角以及星敏感器安装误差，并在此基础上对最佳修正系数方法进行改进，通过数值仿真实验验证了方法的有效性。

1 捷联星光工具误差模型 1.1 坐标系定义

为了便于描述导弹的运动状态以及建立星敏感器观测量与平台失准角、星敏安装误差之间的关系，首先对坐标系进行了定义。

1) 发射惯性坐标系(O_IX_IY_IZ_I)：坐标系的原点位于理论发射点O_I，X_I轴在发射点水平面内指向瞄准方向，Y_I轴垂直于发射点水平面，沿当地理论铅垂线的反方向上方，Z_I轴与X_I、Y_I轴构成右手坐标系。该坐标系是制导计算的主要坐标系，所以也称为制导坐标系。

2) 数学平台坐标系(O_PX_PY_PZ_P)：坐标原点O_P为实际的发射点，数学平台是陀螺仪测量姿态角解算的虚拟平台。

3) 弹体坐标系(O_BX_BY_BZ_B)：原点O_B为导弹的质心，X_B轴沿导弹的纵轴指向弹体的头部方向，Y_B轴在弹体的纵平面内与X_B轴垂直且指向上方，Z_B轴与X_B、Y_B轴构成右手正交坐标系。

4) 理想星敏感器坐标系(O_S′X_S′Y_S′Z_S′)：该坐标系与星敏感器固联，原点O_S′为星敏感器设备像平面中心，X_S′轴与星敏感器主光轴一致，Y_S′轴与Z_S′轴相互垂直且平行于像平面，与弹体纵平面平行，如图 1所示。

5) 实际星敏感器坐标系(O_SX_SY_SZ_S)：星敏感器固联在弹体上，但由于存在星敏安装误差，使实际的星敏感器坐标系与理想星敏感器坐标系之间发生偏离。

1.2 工具误差模型

捷联星光/惯性复合制导基于估计的平台失准角对导弹主动段惯性制导误差进行综合补偿和修正。平台失准角表征的是惯性基准偏差，即数学平台系与理想发射惯性坐标系之间的误差角。它可由初始定向误差、初始对准误差、惯导工具误差等工具误差模型得到^[18]。

1) 初始对准(定向)误差模型

在不考虑其他误差影响情况下，理想的数学平台坐标系与发射惯性坐标系是平行的，因此初始对准(定向)误差模型可以表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\alpha _{{\rm{d}}x}}}\\ {{\alpha _{{\rm{d}}y}}}\\ {{\alpha _{{\rm{d}}z}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\varepsilon _{0x}}}\\ {{\varepsilon _{0y}}}\\ {{\varepsilon _{0z}}} \end{array}} \right] $	（1）

式中：α_dx、α_dy、α_dz为由初始对准(定向)误差引起的误差角；ε_0x、ε_0y、ε_0z为初始对准(定向)误差，ε_0y包括定向、瞄准两部分。记ε₀=[ε_0xε_0yε_0z]^T，α_d=[α_dxα_dyα_dz]^T，N_d=E，则式(1)可以表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{d}}} = {\mathit{\boldsymbol{N}}_{\rm{d}}}{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_0} $	（2）

2) 陀螺误差模型

在陀螺的误差模型中，耦合项相较零次项和一次项影响较小，因此陀螺的误差模型可以表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta \omega _x^{\rm{b}}}\\ {\delta \omega _y^{\rm{b}}}\\ {\delta \omega _z^{\rm{b}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{{\rm{g}}0x}} + {K_{{\rm{g}}1xx}}{\omega _x}}\\ {{K_{{\rm{g}}0y}} + {K_{{\rm{g}}1yy}}{\omega _y}}\\ {{K_{{\rm{g}}0z}} + {K_{{\rm{g}}1zz}}{\omega _z}} \end{array}} \right] $	（3）

式中：δω_x^b、δω_y^b、δω_z^b为弹体坐标系下陀螺3个方向的漂移误差；K_g0x、K_g0y、K_g0z为陀螺的零次项系数；K_g1xx、K_g1yy、K_g1zz为陀螺的一次项系数；ω_x、ω_y、ω_z为弹体坐标系中弹体绕各轴的角速度。

将式(3)作积分并进行坐标转换，可得到由陀螺漂移引起的误差角^[18]

$ {\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{g}}} = {\mathit{\boldsymbol{N}}_{\rm{g}}}{\mathit{\boldsymbol{D}}_{\rm{g}}} $	（4）

式中：N_g为陀螺的误差系数矩阵；D_g为陀螺的零次项、一次项系数。

3) 加速度计误差模型

加速度计是测量导弹飞行视加速度的仪表，弹体坐标系中加速度计的测量误差表示为$\delta {\mathit{\boldsymbol{\dot W}}_{\rm{B}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {{\dot W}_{{\rm{B}}x}}}&{\delta {{\dot W}_{{\rm{B}}y}}}&{\delta {{\dot W}_{{\rm{B}}z}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $，由于耦合项影响较小，在仅考虑零次项和一次项的情况下，其误差模型为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\delta {{\dot W}_{{\rm{B}}x}}}\\ {\delta {{\dot W}_{{\rm{B}}y}}}\\ {\delta {{\dot W}_{{\rm{B}}z}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{{\rm{a}}0x}} + {K_{{\rm{a}}1xx}}{{\dot W}_{{\rm{B}}x}}}\\ {{K_{{\rm{a}}0y}} + {K_{{\rm{a}}1yy}}{{\dot W}_{{\rm{B}}y}}}\\ {{K_{{\rm{a}}0z}} + {K_{{\rm{a}}1zz}}{{\dot W}_{{\rm{B}}z}}} \end{array}} \right] $	（5）

式中：K_a0x、K_a0y、K_a0z为加速度计的零次项系数；K_a1xx、K_a1yy、K_a1zz为加速度计的一次项系数；$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot W}_{{\rm{B}}x}}}、{{{\dot W}_{{\rm{B}}y}}}、{{{\dot W}_{{\rm{B}}z}}} \end{array} $为弹体系中各轴向的视加速度。

由于加速度计不参与数学平台的构建，因此由捷联星光工具误差引起的误差角可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\alpha }} = {\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{d}}} + {\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{g}}} = {\mathit{\boldsymbol{N}}_{\rm{ \mathsf{ α} }}}\mathit{\boldsymbol{K}} $	（6）

式中：K=[ε₀^T  D_g^T]^T分别对应初始对准(定向)误差、陀螺漂移误差；N_α=[N_d N_g]为与K对应的系数矩阵。

2 星光观测方程

如图 2所示，星光方向单位矢量S_I在发射惯性系中可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{I}}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {e_{\rm{s}}}{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\sigma _{\rm{s}}}}&{{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {e_{\rm{s}}}}&{{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {e_{\rm{s}}}{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\sigma _{\rm{s}}}} \end{array}\:]^{\rm{T}}} $

（7）

式中：e_s、σ_s分别为星体的高低角和方位角，可以根据恒星星表中所选恒星的赤经、赤纬以及发射坐标系的信息求得。

星敏感器的光轴X_S与星光矢量的夹角很小，其方向余弦近似为1；Y_S、Z_S轴为输出轴。若星敏感器的输出为ξ、η，则星光矢量在星敏感器坐标系中可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{S}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{ - \xi }&{ - \eta } \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $	（8）

假设星敏感器在弹体坐标系的安装角为[φ₀ ψ₀]^T，弹体坐标系分别绕Y_B、Z_B旋转－ψ₀、φ₀后与理想星敏感器坐标系重合如图 3所示，则弹体坐标系到理想星敏感器体坐标系的转换矩阵可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{B}}^{{{\rm{S}}^\prime }} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_3}[{\varphi _0}]{\mathit{\boldsymbol{M}}_2}[ - {\psi _0}] $	（9）

式中：M₃[φ₀]、M₂[－ψ₀]为绕Z_B、Y_B轴的旋转矩阵，表达式分别为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{M}}_3}[{\varphi _0}] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}}&{{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}}&0\\ { - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}}&{{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]}\\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}_2}[ - {\psi _0}] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}}&0&{{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}}\\ 0&1&0\\ { - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}}&0&{{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}} \end{array}} \right]} \end{array}} \right. $

根据坐标系间的转换关系有

$ {\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{S}}} = \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{B}}^{{{\rm{S}}^\prime }}\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_{\rm{P}}^{\rm{B}}\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{I}}^{\rm{P}}{\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{I}}} $	（10）

式中:C_I^P为发射惯性坐标系到数学平台坐标系的转换矩阵；$\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_{\rm{P}}^{\rm{B}} $为转弹测星时数学平台系到弹体系的转换矩阵^[18]。

理想情况下星敏感器的输出为S_S′=[1 0 0]^T，根据坐标系之间的转换关系有

$ {\mathit{\boldsymbol{S}}_{{{\rm{S}}^\prime }}} = \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{B}}^{{{\rm{S}}^\prime }}\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_{\rm{P}}^{\rm{B}}{\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{I}}} $	（11）

综合式(10)和式(11)可得

$ {\mathit{\boldsymbol{S}}_{{{\rm{S}}^\prime }}} - {\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{S}}} = \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{B}}^{{{\rm{S}}^\prime }}\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_{\rm{P}}^{\rm{B}}(\mathit{\boldsymbol{E}} - \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{I}}^{\rm{P}}){\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{I}}} $	（12）

式中:E为单位阵。将各矩阵的表达式代入式(12)中，可以得到星光观测方程为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \xi \\ \eta \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_{x1}}}&{{h_{y1}}}&{{h_{z1}}}\\ {{h_{x2}}}&{{h_{y2}}}&{{h_{z2}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\alpha _x}}\\ {{\alpha _y}}\\ {{\alpha _z}} \end{array}} \right] $	（13）

式中:α_x、α_y、α_z为3个方向失准角，

$ \left\{ \begin{array}{l} {h_{x1}} = {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _b}) - {\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _b})) + {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}}){\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _b}){\rm{s}}({\varphi _b}) \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\varphi _b}){\rm{s}}({\psi _b}) - {\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\varphi _b})\\ {h_{y1}} = - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{s}}({\varphi _b}){\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\psi _b}) - {\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _b})) - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}}){\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\varphi _b}){\rm{c}}({\psi _b}) \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _b}){\rm{s}}({\psi _b}) + {\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\varphi _b})\\ {h_{z1}} = - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}}){\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _b}){\rm{s}}({\varphi _b}) - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _b}){\rm{s}}({\varphi _b}) - {\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\varphi _b})) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\varphi _b}) + {\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\varphi _b}){\rm{c}}({\psi _b})) + {\rm{s}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _b}){\rm{s}}({\psi _b})\\ {h_{x2}} = {\rm{s}}({e_s})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _b}) + {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\psi _b})) - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _b}){\rm{s}}({\psi _b}) - {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _b}){\rm{s}}({\varphi _b}))\\ {h_{y2}} = - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _b}) + {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\psi _b})) + {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _b}){\rm{s}}({\psi _b}) - {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _b}){\rm{c}}({\psi _b}))\\ {h_{z2}} = {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _b}){\rm{s}}({\psi _b}) - {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _b}){\rm{s}}({\varphi _b})) - {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _b}){\rm{s}}({\psi _b}) - {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _b}){\rm{c}}({\psi _b})) \end{array} \right. $

其中：c(·)为cos(·)的简写，s(·)为sin(·)的简写；φ_b、ψ_b为测星时的姿态角。

记Z=[ξ η]^T，h₁=[h_x1 h_y1 h_z1]，h₂=[h_x2 h_y2 h_z2]，α=[α_x α_y α_z]^T, 则式(13)可以写为

$ \mathit{\boldsymbol{Z}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{h}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{h}}_2}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\alpha }} = {\mathit{\boldsymbol{H}}^\prime }\mathit{\boldsymbol{\alpha }} $	（14）

3 平台失准角与星敏安装误差的在线辨识

记星敏感器的安装误差为[Δφ₀ Δψ₀]，则弹体坐标系到实际星敏感器体坐标系的转换矩阵可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{B}}^{\rm{S}} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_3}[{\varphi _0} + \Delta {\varphi _0}]{\mathit{\boldsymbol{M}}_2}[ - {\psi _0} + \Delta {\psi _0}] $	（15）

此时星敏感器体系中测量的星光矢量为

$ {\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{S}}} = \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{B}}^{\rm{S}}\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_{\rm{P}}^{\rm{B}}\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{I}}^{\rm{P}}{\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{I}}} $	（16）

将式(16)与式(11)相减，可得到含有星敏感器安装误差的星光观测方程

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0\\ \xi \\ \eta \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{B}}^{{{\rm{S}}^\prime }}\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_{\rm{P}}^{\rm{B}}(\mathit{\boldsymbol{E}} - \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{I}}^{\rm{P}}){\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{I}}} - {\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{S}}}\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_{\rm{P}}^{\rm{B}}\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{I}}^{\rm{P}}{\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{I}}} $

（17）

C_S为由星敏安装误差引起的误差矩阵：

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{S}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{s_{11}}}&{{s_{12}}}&{{s_{13}}}\\ {{s_{21}}}&{{s_{22}}}&{{s_{23}}}\\ {{s_{31}}}&{{s_{32}}}&{{s_{33}}} \end{array}} \right] $

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{s_{11}} = {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}{\kern 1pt} {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\psi _0} - \sin {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}{\kern 1pt} {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\varphi _0}}\\ {{s_{12}} = {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}\Delta {\varphi _0}}\\ {{s_{13}} = - {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}{\kern 1pt} {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\psi _0} - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}{\kern 1pt} {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\varphi _0}}\\ {{s_{21}} = - {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}{\kern 1pt} {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\varphi _0} - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}{\kern 1pt} {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\psi _0}}\\ {{s_{22}} = - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}\Delta {\varphi _0}}\\ {{s_{23}} = - {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}{\kern 1pt} {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\varphi _0} + {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi _0}{\kern 1pt} {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\psi _0}}\\ {{s_{31}} = {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\psi _0}}\\ {{s_{32}} = 0}\\ {{s_{33}} = {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\psi _0}\Delta {\psi _0}} \end{array}} \right. $

将式(17)展开，并忽略二阶以上小量，经整理可得星光观测量与失准角以及星敏感器安装误差之间的关系为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \xi \\ \eta \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_{11}}}&{{h_{12}}}&{{h_{13}}}&{{h_{14}}}&{{h_{15}}}\\ {{h_{21}}}&{{h_{22}}}&{{h_{23}}}&{{h_{24}}}&{{h_{25}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _x}}\\ {{\alpha _y}}\\ {{\alpha _z}}\\ {\Delta {\varphi _0}}\\ {\Delta {\psi _0}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{HX}} $

（18）

其中：

$ \left\{ \begin{array}{l} {h_{21}} = {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}) + {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}})) - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}) - {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}))\\ {h_{22}} = - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}) + {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}})) + {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}) - {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _b}))\\ {h_{23}} = {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}) - {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}})) - {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}) - {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}})\\ {h_{24}} = 0\\ {h_{25}} = {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}) + {\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}})) + {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{s}}({\varphi _b}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}})) - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}) - {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}})) \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} {h_{11}} = {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _b}) - {\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}})) + {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}})[{\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0})({\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}})) - {\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}})]\\ {h_{12}} = - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}) - {\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}})) - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _b}) + {\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}))\\ {h_{13}} = - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}) + {\rm{s}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}) - {\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}})) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}) + {\rm{c}}({\psi _0}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}) + {\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}))\\ {h_{14}} = - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _0}) + {\rm{c}}({\varphi _b}){\rm{s}}({\psi _b}){\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}) - {\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}})) - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _0}) + {\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}) + {\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}})) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}})( - {\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}) + {\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _0}))\\ {h_{15}} = - {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{c}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0}) - {\rm{c}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _0})) - {\rm{s}}({e_{\rm{s}}})({\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _0}) - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{s}}({\varphi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0})) + {\rm{c}}({e_{\rm{s}}}){\rm{s}}({\sigma _{\rm{s}}})({\rm{c}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{c}}({\psi _0}) + {\rm{s}}({\psi _{\rm{b}}}){\rm{s}}({\varphi _0}){\rm{s}}({\psi _0})) \end{array} \right. $

式(18)中有5个未知量，因此必须获得6个独立的观测量才能求解。考虑到导弹测星时间较短，观测不同导航星时需要机动调姿，因此选择3颗垂直的导航星进行测量，每颗导航星测10次，然后对10次测量结果取平均值。测量3颗导航星时的观测方程为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\xi _1}}\\ {{\eta _1}}\\ {{\xi _2}}\\ {{\eta _2}}\\ {{\xi _3}}\\ {{\eta _3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_{11}}}&{{h_{12}}}&{{h_{13}}}&{{h_{14}}}&{{h_{15}}}\\ {{h_{21}}}&{{h_{22}}}&{{h_{23}}}&{{h_{24}}}&{{h_{25}}}\\ {{h_{31}}}&{{h_{32}}}&{{h_{33}}}&{{h_{34}}}&{{h_{35}}}\\ {{h_{41}}}&{{h_{42}}}&{{h_{43}}}&{{h_{44}}}&{{h_{45}}}\\ {{h_{51}}}&{{h_{52}}}&{{h_{53}}}&{{h_{54}}}&{{h_{55}}}\\ {{h_{61}}}&{{h_{62}}}&{{h_{63}}}&{{h_{64}}}&{{h_{65}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _x}}\\ {{\alpha _y}}\\ {{\alpha _z}}\\ {\Delta {\varphi _0}}\\ {\Delta {\psi _0}} \end{array}} \right] $

（19）

式中：ξ₁、η₁、ξ₂、η₂、ξ₃、η₃分别为3次测星过程中星敏感器的平均观测量。记Z₁=[ξ₁ η₁]^T、Z₂=[ξ₂ η₂]^T、Z₃=[ξ₃ η₃]^T，H₁、H₂、H₃分别为3次测星的观测矩阵，则式(19)可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\tilde Z}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{Z}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Z}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Z}}_1}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{H}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{H}}_2}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{H}}_3}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{X}} = \mathit{\boldsymbol{\tilde HX}} $	（20）

基于最小二乘原理，可得失准角和星敏感器安装误差的最佳估计值为

$ \mathit{\boldsymbol{\hat X}} = {({\mathit{\boldsymbol{\tilde H}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde H}})^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{\tilde H}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde Z}} $	（21）

利用估计出的星敏感器安装误差角即可对星敏感器观测量进行修正。

4 捷联星光/惯性复合制导修正方法

3次独立地测星，能够获得6个测量数据，参考平台星光-惯性复合制导原理^[19]，可以采用最佳修正系数法估计导弹的落点偏差，并在末修段加以修正。但对捷联复合制导方案而言，测量数据中含有较大的星敏感器安装误差，需要消除其影响，为此提出一种改进的最佳修正系数法。方法的主要思想是对失准角矩阵和误差系数作扩维处理，在不降低制导精度的前提下，避免了估计出星敏安装误差角后校正观测量的在线计算量。

基于星光测量信息的落点偏差估计方程可以表示为^[18]

$ \begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {L_{\rm{s}}}}\\ {\Delta {H_{\rm{s}}}} \end{array}} \right] = \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{{\rm{L}}\xi 1}}}&{{u_{{\rm{L}}\eta 1}}}&{{u_{{\rm{L}}\xi 2}}}&{{u_{{\rm{L}}\eta 2}}}&{{u_{{\rm{L}}\xi 3}}}&{{u_{{\rm{L}}\eta 3}}}\\ {{u_{{\rm{H}}\xi 1}}}&{{u_{{\rm{H}}\eta 1}}}&{{u_{{\rm{H}}\xi 2}}}&{{u_{{\rm{H}}\eta 2}}}&{{u_{{\rm{H}}\xi 3}}}&{{u_{{\rm{H}}\eta 3}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\xi _1}}\\ {{\eta _1}}\\ {{\xi _2}}\\ {{\eta _2}}\\ {{\xi _3}}\\ {{\eta _3}} \end{array}} \right] \end{array} $

（22）

式中:ΔL_s为纵向落点偏差；ΔH_s为横向落点偏差。记u_L、u_H是与纵程、横程对应的修正系数，则式(22)可表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {L_{\rm{s}}}}\\ {\Delta {H_{\rm{s}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}^{\rm{T}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{H}}^{\rm{T}}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\tilde Z}} $	（23）

将式(6)代入到式(18)中，则星敏感器的观测量可以表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \xi \\ \eta \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{H}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{N}}_\alpha }}&{{{\bf{0}}_{3 \times 1}}}&{{{\bf{0}}_{3 \times 1}}}\\ {{{\bf{0}}_{1 \times 9}}}&1&0\\ {{{\bf{0}}_{1 \times 9}}}&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{K}}\\ {\Delta {\varphi _0}}\\ {\Delta {\psi _0}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{H}}{\mathit{\boldsymbol{N}}_\beta }\mathit{\boldsymbol{\tilde K}} $

（24）

式中: ${\mathit{\boldsymbol{\tilde K}}} $表示扩维后的误差向量；N_β为误差向量对应的矩阵。将式(20)、式(24)代入到式(23)中，可得

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {L_{\rm{s}}}}\\ {\Delta {H_{\rm{s}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}^{\rm{T}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{H}}^{\rm{T}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{H}}_1}}&{\bf{0}}&{\bf{0}}\\ {\bf{0}}&{{\mathit{\boldsymbol{H}}_2}}&{\bf{0}}\\ {\bf{0}}&{\bf{0}}&{{\mathit{\boldsymbol{H}}_3}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{\beta 1}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{\beta 2}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{\beta 3}}} \end{array}} \right] \cdot \mathit{\boldsymbol{\tilde K}} $

（25）

式中:N_β1、N_β2、N_β3分别为3个测星时刻扩维后的矩阵。此时，式(25)可以简写为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {L_{\rm{s}}}}\\ {\Delta {H_{\rm{s}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_{13}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde N}}}_\beta }}\\ {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{H}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_{13}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde N}}}_\beta }} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\tilde K}} $

（26）

纯惯性制导条件下的落点偏差可表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta L}\\ {\Delta H} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde C}}}_{{\rm{LK}}}}}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde C}}}_{{\rm{HK}}}}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\tilde K}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\tilde K}}}^{\rm{T}}}}}}\\ {\frac{{\partial H}}{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\tilde K}}}^{\rm{T}}}}}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\tilde K}} $

（27）

综合式(26)、式(27)可得星光修正后复合制导的落点偏差为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta L}\\ {\delta H} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta L - \Delta {L_{\rm{s}}}}\\ {\Delta H - \Delta {H_{\rm{s}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde C}}}_{{\rm{LK}}}} - \mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_{13}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde N}}}_\beta }}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde C}}}_{{\rm{HK}}}} - \mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{H}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_{13}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde N}}}_\beta }} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\tilde K}} $

（28）

复合制导落点偏差最小时对应的修正系数即为最佳修正系数。记$ {\mathit{\boldsymbol{c}}_{\rm{K}}} = {\mathit{\boldsymbol{H}}_{13}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde N}}}_\beta }, {\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{L}}} = {{\mathit{\boldsymbol{\tilde C}}}_{{\rm{LK}}}}, {\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{H}}} = {{\mathit{\boldsymbol{\tilde C}}}_{{\rm{HK}}}}, \mathit{\boldsymbol{\tilde R = E}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\tilde K}}}&{{{\mathit{\boldsymbol{\tilde K}}}^{\rm{T}}}} \end{array}} \right]$，可得最佳修正系数的表达式为^[19]

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}} = {{({\mathit{\boldsymbol{c}}_{\rm{K}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde Rc}}_{\rm{K}}^{\rm{T}})}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{c}}_{\rm{K}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde Rn}}_{\rm{L}}^{\rm{T}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{H}}} = {{({\mathit{\boldsymbol{c}}_{\rm{K}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde Rc}}_{\rm{K}}^{\rm{T}})}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{c}}_{\rm{K}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde Rn}}_{\rm{H}}^{\rm{T}}} \end{array}} \right. $

（29）

5 仿真分析

通过数值仿真验证上述模型与算法的正确性。仿真中，假定发射点的大地经度λ₀=30°、地理纬度B₀=0°、射向A₀=90°，发射点高程为0 m，标准弹道射程4 000 km，星敏感器的安装角为[φ₀, ψ₀]=[20°，20°]。考虑初始对准误差、陀螺漂移误差、加速度计误差、星敏感器安装与测量误差的影响。加速度计、星敏感器安装与测量误差的取值如表 1所示，对于捷联星光/惯性复合制导系统而言，星敏感器捷联安装在弹体上，由于发射过程中的振动、冲击等因素，测星时其安装误差可能达到角分级，因此本文星敏安装误差取为180″(3σ)；初始对准、陀螺漂移误差的取值如表 2所示，分别代表了初始对准精度、陀螺精度高-高、低-高、高-低、低-低4种状态。

5.1 在线辨识

在星敏感器实际测量中，由于光程差等因素的影响会引入视轴漂移误差、偏置误差、噪声等效角误差等随机因素^[20]。由于本文研究制导精度，因此在仿真分析中将上述误差因素综合为测量误差。首先针对仿真条件Ⅰ，分析测量误差对估计结果的影响，然后针对仿真条件Ⅰ~Ⅳ，分析不同误差系数对辨识结果的影响。在仿真中，采用蒙特卡洛模拟抽样方法，对表 1、表 2中误差项抽样2 000次，模拟产生3次测星的失准角和星敏感器测量量，并利用最小二乘方法估计平台失准角及星敏感器安装误差。得到的结果如图 4~图 9、表 3、表 4所示。图及表格中所示为失准角和安装误差的估计残差：对安装误差而言，是用估计值减去真值；对失准角而言，是用估计值减去3次测星时失准角真值的平均值。

从图 4~图 6中可以看出本文所提的方法可以有效地估计出平台失准角。从表中可以看出，当不考虑星敏感器测量误差时，3个方向平台失准角的估计残差均小于1″，当考虑测量误差时，估计残差均变大，y方向失准角的估计残差达到6.66″；同时可以看出y方向失准角的估计残差要比x、z方向大，当陀螺精度较高时，平台失准角的估计精度较高，当陀螺精度较差时，失准角α_y、α_z的估计精度明显下降。

由结果可以看出，利用本文所提方法可以有效地估计出星敏感器安装误差。星敏感器测量误差对估计结果影响较大，当不考虑测量误差时，Δφ₀、Δψ₀的估计残差较小；当考虑测量误差时，估计残差均变大，其中Δφ₀的估计残差达到4.69″，Δψ₀的估计残差达到6.43″。同时可以看出陀螺对估计结果的影响较大，当陀螺精度较高时，星敏安装误差的估计精度较高；当陀螺精度较差时，估计精度出现明显下降。结合平台失准角的估计结果，出现这种现象是由于调姿测星过程中激励了陀螺的漂移误差，造成失准角及星敏观测量变化较大引起的，这种情况下应该采取措施补偿，或同时在线估计陀螺误差系数。

5.2 捷联星光/惯性复合制导

采用文中所述的最佳修正系数法对惯性制导误差进行修正，首先以仿真条件Ⅰ为例，对考虑星敏安装误差和不考虑星敏安装误差的捷联星光/惯性复合制导进行仿真验证，得到的结果如图 10、图 11所示。

图 10、图 11分别反映了考虑星敏安装误差、不考虑星敏安装误差情况下的纯惯导与复合制导精度。从图中可以看出，在不考虑星敏安装误差的情况下，复合制导的精度比纯惯导的精度还要差，此时星光制导不能对纯惯导起到修正作用。但是当考虑星敏安装误差时，星光制导可以对纯惯导进行有效修正。通过计算可以得出，仿真条件Ⅰ中纯惯导的圆概率偏差(Circular Error Probable, CEP)为115.75 m，考虑、不考虑星敏安装误差时复合制导的CEP分别为74.30、267.48 m，从而说明了在星光/惯性复合制导中考虑星敏安装误差的必要性。

然后针对仿真条件Ⅱ~Ⅳ，进行捷联星光/惯性复合制导的仿真验证，得到的结果如图 12~图 14所示。在此基础上，结合仿真条件Ⅰ进一步对制导精度和CEP进行了统计分析，得到的结果如表 5、表 6所示。

从图 10~图 14中可以看出，仿真条件Ⅰ的纯惯导精度要高于其他3种仿真条件，同时也可以看出，在考虑星敏安装误差的情况下星光制导都会在纯惯导的基础上使得复合制导的落点精度有进一步地提高。

表 5、表 6分别反映了制导精度和CEP的特征统计量，从表中可以看出，当初始对准(定向)误差或陀螺漂移误差变大时，纯惯导和复合制导的精度都会变差；同时可以看出当陀螺精度相同时，复合制导精度相差不大，这说明在惯导精度相同的条件下，复合制导能够有效地修正初始定向(对准)误差的影响，这对导弹的陆基快速发射、水下发射具有非常大的意义。

6 结论

推导的模型能够在不进行滤波估计的条件下，根据星敏感器的观测量在线辨识出失准角以及星敏安装误差，并提出了改进的最佳修正系数法，有效地修正了主动段的惯性制导误差以及星敏安装误差的影响。进而为弹道导弹的陆基快速发射以及水下发射提供了技术支持，具有很强的工程应用价值。