进入21世纪以来，基于高可信度计算流体力学(CFD，如Navier-Stokes方程数值模拟)的气动分析与优化设计方法，已广泛应用于现代飞行器设计，在提高飞行器的气动与综合性能、降低设计成本方面正发挥着越来越重要的作用^[1-6]。然而，未来飞行器设计将面临越来越多的设计约束和越来越严苛的设计要求，设计变量规模也在不断扩大，要想进一步应用更高可信度CFD，并在现有方案的基础上进一步提高设计质量，亟待发展更高效的全局气动优化设计方法^[6-7]。

目前常用的气动优化设计方法主要包括梯度优化方法和启发式优化方法两大类^[3]。梯度优化方法^{[5, 8-9]}从给定起始点出发，利用目标函数和约束函数关于设计变量的梯度信息来构造有利的搜索方向，并寻找最优的下降步长，不断迭代直到收敛至离起始点最近的局部最优点。常用的梯度优化方法包括BFGS拟牛顿算法^[10]、共轭梯度法^[11]、序列二次规划算法(Sequential Quadratic Programming, SQP)^[12]等。在气动优化设计领域，当采用Jameson教授发展的Adjoint(伴随)方法^[13-14]来计算梯度时，其计算量与设计变量数基本无关，可以有效处理高维非线性约束优化问题^[15-18]。虽然基于伴随方法的梯度优化方法在复杂外形气动优化设计方面取得了极大成功，但对于多极值问题，该方法容易陷入局部最优^[6]。研究表明，即使采用多起点的梯度优化策略，其优化效果也可能难以与全局优化算法相媲美^[19]。启发式优化方法^[20-21]一般通过模拟自然界中的生物进化或生物群体行为等现象，设定某种标准来获得全局最优解。常用的启发式优化方法包括遗传算法(Genetic Algorithm, GA)^[22-24]、粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)^[25]等。这类算法虽然具有非常良好的全局搜索能力，但由于在优化过程中需要成千上万次(甚至更多)地调用计算代价昂贵的高可信度CFD分析，使得整个优化过程的计算成本巨大。更严重的是，随着设计变量数和约束个数的增多，计算量剧增，出现了所谓的维数灾难(Curse of Dimensionality)现象^[26-27]，大大限制了其在复杂外形气动优化设计中的应用^[28]。于是，为了提高优化效率，同时兼顾全局搜索能力，一种基于代理模型的优化方法(Surrogate-Based Optimization, SBO)应运而生(文献[7]首次称之为“代理优化算法”)^[29-32]，并逐渐成为气动优化设计领域的前沿研究热点之一^[33]。

所谓代理模型，是指在分析和优化设计中可以代替那些计算复杂且费时的数值分析模型的数学模型，又被称为“近似模型”“响应面模型”或“元模型”^[34-38]。代理模型方法不但可以大幅提高优化设计效率，降低工程系统的复杂度，而且有利于滤除数值噪声和实现并行优化设计^[7]。目前，在代理模型研究方面，已经发展了包括多项式响应面(PRSM)^{[30, 39]}、径向基函数(RBFs)^[40-41]、Kriging模型^{[7, 34-35]}、人工神经网络(ANN)^[42-43]、空间映射(SM)^[44-45]、支持向量回归(SVR)^[46-47]、多变量插值与回归(MIR)^[48-49]、混沌多项式展开(PCE)^[50-51]等多种代理模型方法。这些模型最初被作为简单的替代模型来避免大量调用代价昂贵的数值分析模型，降低计算成本。但随着研究的不断深入，代理模型的作用发生了转变，构成了一种可以基于历史数据来驱动新样本的加入，并逼近局部或全局最优解的优化算法^[7]，即“代理优化算法”。通过建立目标函数和约束函数的代理模型，求解由优化加点准则^[52-55]定义的子优化问题，得到新的样本点并加入样本数据集中，循环更新代理模型，直到所产生的样本点序列逼近局部或全局最优解^[7]。具体来说，对于一个m维通用优化问题：

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{min}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathit{\boldsymbol{y}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = {{[{f_1}(\mathit{\boldsymbol{x}}),{f_2}(\mathit{\boldsymbol{x}}), \cdots ,{f_p}(\mathit{\boldsymbol{x}})]}^{\rm{T}}}}\\ {{\rm{w}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{r}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{t}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{x}}_1} \le \mathit{\boldsymbol{x}} \le {\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm u}}} \end{array}\\ \ {\rm{s}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{t}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_i}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 1,2, \cdots ,{n_{\rm{h}}}}\\ {{g_j}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \le 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} j = 1,2, \cdots ,{n_{\rm{g}}}} \end{array}} \right. \end{array} $

（1）

式中：y(x)为目标函数矢量；p为目标个数(p=1为单目标优化问题，p≥2为多目标优化问题)；x_u和x_l分别为设计变量的上下限；h(x)和g(x)分别为等式和不等式约束；n_h、n_g分别为等式和不等式约束个数。需要说明的是，对于等式约束，一般可以将其转化为不等式约束来处理。图 1^[7]给出了代理优化算法求解上述问题的基本框架。具体的求解过程如下：

首先，通过试验设计方法在设计空间内选取n个初始样本：S=[x⁽¹⁾, x⁽²⁾, …, x⁽ⁿ⁾]^T∈R^n×m，并对这些样本点进行数值分析(如CFD分析)，得到目标函数y(x)和约束函数h(x)、g(x)响应值; 其次，基于样本数据集(S, y_S)建立初始的代理模型$\hat{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{x})、\hat{\boldsymbol{h}}(\boldsymbol{x})、\hat{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{x})$；然后，在代理模型基础上，根据优化加点准则构造子优化问题，并利用传统优化算法求解得到新样本点x^*；最后，对新样本点x^*进行数值分析，并将结果添加到数据集中，不断更新代理模型，直到所产生的样本点序列收敛于局部或全局最优解^[7]。

从上述流程中可知，代理优化的核心机制是优化加点准则和子优化。在代理模型的基础上，通过构造适当的学习函数，形成子优化问题的数学模型。采用传统的梯度或进化算法等求解子优化问题，便可以不断生成新的样本点，并驱动主优化过程朝着局部或全局最优解逼近。此外，利用一些具有全局性的优化加点准则，构造在整个设计空间内的学习函数，可以保证优化算法的全局性。例如，改善期望(Expected Improvement, EI)^[56]加点准则，可以同时考虑模型预测值的改善量和误差最大处，是一种平衡全局探索和局部发掘的加点方法。文献[57]指出，在某些假设条件下，基于EI准则进行的加点是稠密的，也就是说在加入足够多的样本点情况下，可以找到全局最优解。值得注意的是，子优化的计算量相比于昂贵的CFD计算，基本可以忽略不计。文献[58-59]指出：“代理模型的建模过程，实质上是采用了机器学习技术，从设计空间中的少量样本信息中学习出了目标函数和约束函数随设计变量变化的规律或知识”。事实上，代理模型可以看作是针对小样本的监督式机器学习模型，因而代理优化也被称为智能化的优化算法。实践证明，针对设计空间光滑连续且目标函数和约束函数计算代价昂贵的优化设计问题，代理优化算法的优化效率要比传统进化类方法高出1~2个数量级。文献[60]指出：“作为航空航天领域的研究热点，基于代理模型的优化算法对于提升现代航空航天系统的性能、降低设计成本具有非常重要的意义。”

代理优化在航空航天工程设计中的应用可以追溯到20世纪70年代，最初应用于飞行器结构优化设计^[29]，后来逐渐发展成为多学科优化设计(Multidisciplinary Design Optimization, MDO)^[61-62]的关键技术，直到20世纪90年代末才被引入到气动优化设计领域^{[6, 63]}。图 2和图 3分别给出了美国工程索引(Engineering Index)数据库检索的20世纪90年代以来关于代理优化方法及21世纪初以来基于代理模型的气动优化设计的文章数量变化趋势。从图中可以清楚地看出，近年来国内外发表的关于基于代理模型的气动优化设计的论文数量呈快速增长趋势，代理优化方法已经成为气动优化设计领域的研究热点。基于文献调研，表 1列出了相关领域代表性团队及其代表性研究；主要介绍了基于代理模型的研究工作和一部分基于梯度优化和启发式算法的气动优化设计工作。限于本文作者调研水平，可能未能涵盖国内外所有气动优化设计团队的研究工作。此外，代理优化的应用实际上非常广泛，包括航空航天、船舶、汽车、能源、电子、环境、生物等众多领域，由于本文的重点是介绍代理优化在气动优化设计中的应用，在其他学科领域的应用超出了本文讨论范畴，不再赘述。

鉴于目前国内外还没有相关领域的综述性文章，本文以飞行器精细化气动优化设计问题为背景，系统地介绍了基于代理优化方法的高效全局气动优化设计最新研究进展。第1节从代理模型理论和算法的角度，系统地综述了基于变可信度代理模型的气动优化设计方法、结合代理模型和Adjoint方法的气动优化设计方法以及基于一种非生物进化的并行气动优化设计方法的研究现状和最新进展；第2节针对飞行器气动优化设计前沿问题，介绍了基于代理模型的多目标气动优化设计、混合反设计/优化设计、稳健气动优化设计等方法的研究进展；第3节综述了基于代理模型的飞行器多学科优化设计方法研究进展；第4节探讨了基于代理优化的气动模型设计理论和方法目前面临的问题和挑战，并给出了未来的研究方向建议。

1 基于新型代理模型和新优化机制的气动优化设计方法研究进展

经过近20年的研究和发展，基于代理模型的优化方法研究目前已取得了长足进步^{[7, 183]}。多种新型代理模型被提出^{[69, 208, 245-246, 253]}，优化理论和算法也得到不断完善和发展^{[54-55, 66, 68, 260-261]}。然而，随着飞行器设计指标的不断提升，设计变量规模不断扩大，代理优化算法的发展遇到了瓶颈：由于气动特性对气动外形的变化往往十分敏感，所以气动优化设计需要大量独立设计变量来描述飞行器外形，是一个典型的高维优化问题，面临维数灾难问题^{[7, 26]}。主要体现在：一方面，由于维数(设计变量数)高，利用少量初始样本点建立的代理模型不精确，导致新产生的样本点序列收敛较慢，需要调用更多次CFD分析才能找到设计空间内的最优解；另一方面，精细化气动优化设计对CFD数值模拟可信度的要求不断提升，正问题的计算成本也不断增加。这两方面共同作用，导致代理优化的计算量急剧增加，使其难以在有限的时间内找到全局最优解。

为了缓解飞行器精细化气动优化设计中的维数灾难，进一步提高代理优化的效率，目前一般有两种解决方案：一种方案是引入低可信度样本数据^{[64-65, 245]}或梯度信息^{[69, 252-253]}来辅助建立代理模型，用更少的高可信度样本，实现更高的全局代理模型精度，从而大幅度提高优化效率。另一种方案是从优化机制的角度，将代理优化算法与并行计算技术相结合，发展一种基于代理模型的特殊优化机制——非生物进化，以充分运用高性能计算机的大规模并行计算能力和代理模型对所用历史样本数据的学习和再利用能力。这两种方案都在缓解维数灾难问题方面具有重要作用，相关研究也成为了研究热点之一。

本节将从变可信度代理模型的气动优化、结合代理模型和Adjoint方法的气动优化、基于非生物进化的并行气动优化等3个方面进行综述。

1.1 基于变可信度代理模型的气动优化设计方法

变可信度代理模型又称变复杂度模型，其核心思想是使用大量低可信度样本建模来反映函数正确变化趋势，并采用少量高可信度样本来对之进行修正，从而大幅减少构造精确代理模型所需的高可信度样本点数，提高建模和优化效率。

由于变可信度代理模型方法充分挖掘了高低可信度分析的优势，近年来已经在优化设计研究中取得成功应用。现有的基于变可信度代理模型的气动优化设计方法可以分为以下3类：

1) 基于修正的变可信度气动优化设计方法。该方法以低可信度模型为基础，通过乘法标度、加法标度或混合标度的方式引入低可信度样本数据，辅助构建高可信度模型的近似模型。乘法标度方法最早由Chang等提出^[262]，可以用低可信度模型在局部近似高可信度分析的结果。后来，Alexandrov等^[263]将其与置信域方法相结合，应用于翼型和机翼的气动优化设计^[264-265]，显著提高了优化效率。加法标度方法^[266-269]相比于乘法标度方法，能够使低可信度模型全局地逼近高可信度分析函数，精度更高、鲁棒性更好，因而逐渐得到更广泛的使用。这两种方法虽然都能提高精度，但是对于不同的问题适用性不同。为此，人们又提出了混合标度方法^[270-271]。最简单的混合标度方法是通过引入常系数对两个修正因子进行加权^[272]，更一般的方式是采用混合桥函数方法^[273]。本文作者等^[252]对混合桥函数方法进行了改进，并引入了梯度等信息，提高了预测精度。需要说明的是，基于修正的变可信度代理模型方法要求当前迭代点的高低可信度函数满足一阶一致性条件^[274]，并且通常要结合置信域方法来保证优化的收敛性。

基于自适应混合桥函数的变可信度代理模型表达式为

$ \mathit{\boldsymbol{\hat y}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = \omega \hat \phi (\mathit{\boldsymbol{x}}){{\hat y}_{{\rm{1f}}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + (1 - \omega )\left[ {{{\hat y}_{{\rm{1f}}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) + \mathit{\boldsymbol{\hat \gamma }}(\mathit{\boldsymbol{x}})} \right] $	（2）

$ \hat \phi (\mathit{\boldsymbol{x}}) = \frac{{{{\hat y}_{{\rm{hf}}}}(\mathit{\boldsymbol{x}})}}{{{{\hat y}_{{\rm{If}}}}(\mathit{\boldsymbol{x}})}} $	（3）

$ \mathit{\boldsymbol{\hat \gamma }}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = {{\hat y}_{{\rm{hf}}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) - {{\hat y}_{{\rm{1f}}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) $	（4）

式(2)右边第1项表示乘法标度部分；第2项表示加法标度部分；ω为自适应权重系数。具体的建模思路可参见文献[252]。

2) 基于空间映射(Space Mapping, SM)的变可信度气动优化设计方法。通过改变低可信度函数的设计空间，使得低可信度函数的最优解能够逼近高可信度函数的最优解。这样只需在低可信度模型上进行优化，再通过高、低可信度函数的空间映射关系便可得到高可信度函数的近似最优解。该方法最早由Bandler等^[44]在1994年提出，给出了用于优化的线性映射算法，后来又有人提出了渐进空间映射(ASM)^[275]、神经网络空间映射(NSM)^[276]、隐式空间映射(ISM)^[277]等算法。Robinson等^[102]提出了一种改进的空间映射方法，并成功应用于机翼和扑翼的变可信度气动优化设计。之后，Jonsson等^[278]也将此方法用于跨声速机翼气动优化设计。

空间映射方法的核心思想在于生成合适的映射关系P：

$ {\phi _{\rm{c}}} = P({\phi _{\rm{f}}}) $	（5）

使得高、低可信度函数响应值之差的范数≤某个小量ε：

$ \left\| {{R_{\rm{f}}}({\phi _{\rm{f}}}) - {R_{\rm{c}}}({\phi _{\rm{c}}})} \right\| = \left\| {{R_{\rm{f}}}({\phi _{\rm{f}}}) - {R_{\rm{c}}}(P({\phi _{\rm{f}}}))} \right\| \le \varepsilon $	（6）

式中：R_f(ф_f)表示高可信度模型在ф_f处的精确响应；R_c(ф_c)表示低可信度模型在ф_c处的精确响应。在局部建模区域内，寻找低可信度函数最优解ф_c^*，并通过逆变换：

$ \phi _{\rm{f}}^* = {P^{ - 1}}(\phi _{\rm{c}}^*) $	（7）

来得到高可信度函数的最优解ф_f^*。求P的过程往往是一个迭代过程，被称为参数提取(Parameter Extraction, PE)，具体可参见文献[44, 278]。

3) 基于Co-Kriging模型和分层Kriging模型的变可信度气动优化设计方法。Co-Kriging是在Kriging模型基础上发展起来的地质统计学方法，Kennedy和O’Hagan^[279]首次将其应用于工程科学领域。Co-Kriging模型基于贝叶斯理论，通过建立自回归模型将不同可信度的数据进行融合，利用交叉协方差来衡量不同可信度层之间的相关性。Co-Kriging模型的预估值表达式为

$ \mathit{\boldsymbol{\hat y}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = \mathit{\boldsymbol{\lambda }}_1^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{y}}_1} + \mathit{\boldsymbol{\lambda }}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{y}}_2} $	（8）

且y₁、y₂对应2个不同的静态随机过程：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{Y_1}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = {\beta _1} + {Z_1}(\mathit{\boldsymbol{x}})}\\ {{Y_2}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = {\beta _2} + {Z_2}(\mathit{\boldsymbol{x}})} \end{array}} \right. $	（9）

Forrester等^{[27, 280]}和Kuya等^[110]首次将上述Co-Kriging模型应用于航空航天工程设计领域。Huang等^[281]在此基础上发展了一种MFSKO(Multi-Fidelity Sequential Kriging Optimization)方法，给出了多可信度Kriging模型的建模理论，并将多层模型的超参数优化问题分解为多个子问题，提高了建模效率。Zimmermann和Han^[282]对Co-Kriging模型的相关函数计算进行了简化，使得需要训练的模型超参数只比Kriging模型多一个，大大提高了建模效率。本文作者等^{[250, 283]}又提出了一种更实用的Co-Kriging建模方法，将模型预测值定义为高低可信度样本点的加权，并把模型方差从协方差矩阵中提取出来，最后通过气动预测和气动优化设计算例验证了该方法的有效性。Zaytsev^[284]将Co-Kriging模型进行推广，实现了任意多层可信度数据的引入。Chung^[285]和Yamazaki^[286]等将梯度信息作为一种低成本的辅助信息，引入到Co-Kriging的建模过程中，提出了一种梯度增强的Co-Kriging模型(GECK)。Co-Kriging方法同时采用高低可信度数据一次性建立了代理模型，其建模过程相比于基于修正的变可信度代理模型更加直接，但是高低可信度函数之间的交叉协方差计算使其建模的成本较大，限制了其在优化设计中的应用^[287]。

针对Co-Kriging模型不够鲁棒、建模效率低等问题，本文作者^[245]于2012年提出了一种更简单实用的分层Kriging模型(Hierarchical Kriging, HK)。依次建立低、高可信度层Kriging模型，并将低可信度模型的预估值直接作为全局趋势函数引入到高可信度模型的建模中，有效避免了Co-Kriging模型交叉协方差难以计算的问题，且模型提供的误差估计更加合理。HK模型的基本假设如下：

$ \mathit{\boldsymbol{\hat y}}_1 (\mathit{\boldsymbol{x}}) = {\beta _0}{{\mathit{\boldsymbol{\hat y}}}_2} + Z(\mathit{\boldsymbol{x}}) $	（10）

式中：Z(x)为静态随机过程；$ \boldsymbol{\hat y}_2$为由低可信度样本建立的代理模型。

在HK模型方法的后续研究中，Ha等^[288]采用不同组合的高低可信度CFD数据建立分层模型，并通过翼型的变可信度优化设计验证了该方法的可行性。Hu等^[208]对HK模型进行了改进，他将原先反映高、低可信度函数之间的常数因子改为多项式响应面的形式，从而能更准确地表述高低可信度函数间的相关性，提高了HK模型的精度。宋超等^[289]将样本点处的梯度信息引入到HK模型中，建立了耦合梯度信息的GEHK模型，并应用于RAE2822翼型的单点/多点气动优化设计中。本文作者^[246]将分层Kriging模型推广到任意多层，发展了一种多层Kriging模型(Multi-level Hierarchical Kriging, MHK)。该方法的核心思想是将较低可信度模型作为较高可信度模型的全局趋势模型，递归式地从低到高依次建立不同可信度的Kriging模型，直到完成最高一层Kriging模型建模。文献[246]开展了基于MHK模型的气动优化设计算例研究，与两层的HK模型相比，优化效率又得到进一步提高，优化结果也得到改善，如图 4所示。目前，HK方法已经被国内外的大量学者采用^[290]。NASA著名的《CFD 2030愿景》报告^[2]曾指出变可信度代理模型方法在飞行器设计中具有巨大发展潜力，其中HK方法作为一种具有代表性的方法被引用。

目前，国内外针对变可信度代理优化的加点准则研究较少，通常将针对单可信度优化发展的加点准则直接应用于变可信度优化。这就意味着在优化过程中只能增加高可信度的样本点，没有充分利用低可信度数据来提高优化设计的效率。为此，Jo等^[291]提出了一种根据现有高、低可信度样本点分布的统计特征，建立动态可信度指标来指导调用高低可信度CFD分析的方法。Huang等^[281]发展了一种适用于多层可信度优化的改善期望加点准则(Augmented EI, AEI)，该准则可以合理选择加点的可信度层及加点的具体位置。Mehmani等^[292]提出了一种针对不同可信度分析模型的管理策略，利用模型转换开关在优化过程中合理地选择不同的可信度模型。其核心思想是在最近一次加点后，判断函数值改善量中模型误差占据的比分大小，当模型误差占据的比分较大时，则会选择高可信度CFD分析，否则进行低可信度CFD分析。张瑜等^[55]提出了一种针对分层Kriging模型的变可信度改善期望(Variable-Fidelity Expected Improvement, VFEI)加点准则，可以自适应地选择对最优值期望改善量最大的可信度层进行加点，大幅提高了变可信度优化的效率。图 5展示了基于VFEI准则的ONERA M6跨声速机翼气动优化设计，表明VFEI方法可以提高变可信度优化设计的效率^[55]。

1.2 结合代理模型和伴随方法的气动优化设计方法

将目标函数和约束函数关于设计变量的梯度信息引入代理模型建模，建立梯度增强代理模型，以较小的额外计算代价，可以达到大幅提高代理模型精度的目的。

在气动优化设计领域，目标函数和约束函数的梯度值可以通过Jameson教授发展的伴随方法^[13-14]来获得。而一次梯度求解的计算量与一次流场控制方程求解的计算量基本相当，所以总的计算量约相当于2倍的流场计算量，并且与设计变量的数目基本无关。这样一来，建立合理近似精度代理模型所需CFD计算量大幅减少，优化效率得到显著提升。2002年，Chung和Alonso^[285]将梯度增强Kriging(Gradient-Enhanced Kriging, GEK)模型应用于超声速公务机的气动布局优化设计中，自此梯度增强代理模型在气动设计优化领域引起了人们的关注。根据Kriging模型和梯度信息的不同结合方法，可以将梯度增强Kriging模型分为间接GEK和直接GEK模型。

间接GEK方法^[293]引入梯度信息的方式是采用一阶泰勒展开来获得样本点x⁽ⁱ⁾相邻样本点处的响应值信息：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {y({\mathit{\boldsymbol{x}}^{(i)}} + \Delta {x_k}{\mathit{\boldsymbol{e}}_k}) \approx y({\mathit{\boldsymbol{x}}^{(i)}}) + \frac{{\partial y}}{{\partial {x_k}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}^{(i)}})\Delta {x_k}}\\ {i = 1,2, \cdots ,n;k = 1,2, \cdots ,m} \end{array} $	（11）

式中：e_k是设计空间的正交基矢量。通过这样的方法，某个样本点处的m个偏导数值就变成了m个附加样本点的响应值，然后再基于这n×(m+1)个样本点建立Kriging模型。间接GEK模型的主要缺点是建模的精度依赖于步长Δx_k的选取：如果步长太小，则可能引起模型相关矩阵病态，而如果步长太大又会产生较大的数值误差。针对该问题，Liu^[294]采用最大似然估计法来获得最优的步长。

而直接GEK方法将样本点处的梯度作为函数响应值以外的信息直接引入Kriging的建模样本数据集中，并利用增广的相关矩阵中交叉协方差项，来考虑函数响应值与梯度或梯度与梯度之间的相关性。直接GEK的预测模型定义为

$ \hat y(\mathit{\boldsymbol{x}}) = \sum\limits_{i = 1}^n {{w^{(i)}}} {y^{(i)}} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{i = 1}^n {\mathit{{\lambda }}_j^{(i)}} } \frac{{\partial {y^{(i)}}}}{{\partial {x_j}}} $	（12）

式中：w⁽ⁱ⁾为第i个抽样位置处函数值的加权系数；λ_j⁽ⁱ⁾为第i个抽样位置处函数对第j维设计变量偏导数的加权系数。有关直接GEK的建模理论可参见文献[7, 252]。

Laurenceau等^[293-295]比较了Kriging、直接GEK、间接GEK模型对气动力预测的精度，发现在相同样本点数下两种GEK模型的精度都高于Kriging模型。Zimmermann^[296]通过理论分析和数值算例，证实大多数情况下间接GEK的相关矩阵条件数都比直接GEK的大。此外，Laurent等^[297]的数值算例表明间接GEK方法只在低维问题中显示出了与直接GEK方法相近的建模精度，而在高维问题中的表现不如后者。

虽然GEK模型已在气动优化设计中得到一些初步应用，但也暴露出一些问题，主要体现在两个方面：①在优化过程后期，新加的样本点会聚集在最优值附近，这会导致相关矩阵的病态，从而使得代理模型建模不准确, GEK模型中梯度信息的引入使得相关矩阵病态的问题更加严重，这一现象可能是导致基于GEK的代理优化方法在优化过程后期收敛速度变慢的原因之一；②随着设计变量的增加，GEK模型的相关矩阵规模急剧增大，模型训练的计算量大幅增长，导致建模时间达到或超过了数值模拟分析本身的时间，同样出现了维数灾难现象，大大限制了其在大规模设计变量飞行器气动优化设计领域的发展。

针对相关矩阵的病态问题，许多研究者开展了诸多研究工作。Dimond和Armstrong^[298]通过理论分析和数值算例证实了相关矩阵的条件数会影响Kriging模型的鲁棒性。Posa^[299]考察了不同相关函数模型的选择对相关矩阵条件数的影响，发现相比于其他相关模型，高斯相关模型更容易导致相关矩阵出现病态。随后，Ababou等^[300]通过大量数值实验得出了与Posa^[299]一致的结论，并认为高斯相关函数无限可微的属性，是造成相关矩阵条件数过大的原因。在最近的研究中，Zimmermann^[301]在数学上严格证实了高斯相关函数的数学特性使得它更容易引起相关矩阵的病态。他还研究了Kriging相关矩阵的条件数与最大似然估计(超参数优化)之间的联系，并发现在采用高斯相关函数时，距离权重θ_k对应的似然函数最优值往往靠近似然函数发散的区域，而似然函数的发散正是由相关矩阵条件数过大导致的^[302]。

为了避免模型相关矩阵的病态，一种流行的做法是采用正则化方法，即在相关矩阵R的对角元素加上一个大于零的小量：

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}^\prime } = \mathit{\boldsymbol{R}} + \delta \mathit{\boldsymbol{I}} $	（13）

在地质统计学领域，该方法又被称作Nugget效应^[303]。通过引入一定程度的回归，提高了插值结果的光顺性，从而达到减小相关矩阵条件数的目的^[299]。Ranjan等^[304]利用相关矩阵条件数作为约束来确定δ的下界，并提出一种“迭代正则化”的数值策略来降低引入Nugget效应对建模精度的影响。Peng和Wu^[305]也采用相同方法确定δ的下界，并提出利用均方误差最小来动态确定该值的策略。Andrianakis和Challenor^[306]研究了Nugget效应对Kriging模型和似然函数的影响。

另一种避免相关矩阵病态的策略是在模型训练或超参数优化的过程中，将相关矩阵的条件数作为约束，例如Won^[307]和Johann^[308]等将相关矩阵的条件数作为最大似然估计的一个约束：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{max}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} L(\mathit{\boldsymbol{\theta }})}\\ {{\rm{s}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{t}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} k(\mathit{\boldsymbol{R}}(\mathit{\boldsymbol{\theta }})) \le {k_{{\rm{max}}}}} \end{array} $

（14）

式中：L为超参数对应的似然函数；k_max即为相关矩阵条件数的上限。

有研究表明，直接GEK模型的相关矩阵条件数比间接GEK模型更小，但即便如此，直接GEK模型也往往比普通Kriging代理模型面临更为严峻的相关矩阵病态的问题^[309]。目前，针对GEK模型相关矩阵病态的研究比较少，一般都采用与Kriging模型相同的正则化方法，例如一些研究者提出对函数值项和梯度项分别采用两种正则化小量的思路^{[308, 310]}：

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}^\prime } = \mathit{\boldsymbol{R}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\delta _1}\mathit{\boldsymbol{I}}}&{\bf{0}}\\ {\bf{0}}&{{\delta _2}\mathit{\boldsymbol{I}}} \end{array}} \right] $	（15）

美国桑迪亚国家实验室的Dalbey^[311]提出了另一种解决思路：首先对相关矩阵利用选主元Cholesky分解方法，然后按照主元顺序对原相关矩阵进行重新排序，越靠后的样本点信息重要性越低，最后通过从后向前剔除样本点信息，来实现降低相关矩阵条件数的目的。他利用DAKOTA优化工具箱进行了数值建模实验，研究表明该方法降低了相关矩阵条件数，提高了GEK模型的建模精度。

针对GEK模型训练的计算量随设计变量和样本数量的增加而急剧增大的问题，本文作者等^[253]在2017年提出了一种加权梯度增强Kriging(Weighted Gradient-Enhanced Kriging, WGEK)模型。该方法将GEK模型转化为一系列子GEK模型的叠加，每个子模型的样本集由所有样本点和其中一个样本点在所有维度方向的梯度值组成。首先建立一系列相关矩阵规模小得多的子模型，然后将这些子模型加权起来，获得所需的梯度增强代理模型。WGEK模型的预估值公式为

$ \hat y(\mathit{\boldsymbol{x}}) = {\beta _0} + {\mathit{\boldsymbol{r}}^{\rm{T}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\mathit{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}[{{\mathit{\boldsymbol{\hat y}}}_{{\rm{S,sub}}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) - {\beta _0}\mathit{\boldsymbol{F}}] $	（16）

式中：$\hat{\boldsymbol{y}}_{\mathrm{S}, \text { sub }}(\boldsymbol{x})$为子模型的预估值。由于子模型的相关矩阵规模较小，规避了大规模矩阵分解时计算量过大的问题，并且多个子模型之间可以并行计算，因而建模效率大大提高。图 6给出了不同维数和样本点数下GEK模型和WGEK模型训练所需每秒浮点数计算次数(Flops)的对比^[253]。从图中可以看到，随着建模样本点数和优化问题维数的增加，GEK模型训练的计算量剧增，而WGEK模型训练的计算量增长则相对缓慢，始终在可接受的范围内。图 7给出了基于WGEK模型对ONERA M6跨声速机翼进行压力分布反设计的收敛历程，其中设计变量个数为108个^[253]。可以看到基于WGEK模型的优化设计方法表现出很好的效率优势。此外，Bouhlel和Martins^[69]也从降维的角度出发，通过偏最小二乘法(PartialLeast Squares, PLS)获得设计变量的重要程度顺序，从而在建立间接GEK模型时，有选择性地增加特定方向(维数)上的样本点，达到控制相关矩阵规模的目的。该方法仅仅通过数值算例的建模证明了改进后的GEK模型在建模效率和精度上比原始的间接GEK模型和Kriging模型更高，但尚未在气动优化设计中得到应用。Chen等^[196]通过特征提取方法评估样本每一维的输入对最终预测结果的影响程度，并根据平衡最佳模型精度和建模效率准则来确定需要引入的梯度信息的维度方向，建立PGEK来缓解维数灾难现象。表 2给出了目前国内外研究团队开展基于梯度增强代理模型的气动优化设计工作概况。从表中可以看到，虽然在代理模型中引入梯度后可以将反设计问题的适用维数提高到100维以上，但对于气动优化设计问题，目前梯度增强代理模型仅适用于60维左右，若进一步提高优化问题的维数，仍将面临严峻的维数灾难挑战。

1.3 基于非生物进化的并行气动优化设计方法

对于传统的代理优化方法，每步更新代理模型时一般只采用一种加点准则，且只增加一个新的样本。即便是同时根据多种加点准则选择新样本点，一次迭代新增的样本点数仍然有限，严重制约了其在大规模并行优化设计中的应用。为此，研究人员发展了将代理优化算法与并行计算技术相结合的方法，将优化过程中产生的众多中间设计方案分配到多个计算节点中进行并行计算，可极大地加速优化的迭代历程，提高优化效率。

基于代理模型的并行优化算法与传统生物进化类全局优化方法非常类似。为了区别起见，本文将上述方法称为“基于代理模型的非生物进化方法”。该方法能够有效运用高性能计算机的并行运算能力和代理模型对所用历史样本数据的再利用能力，实现大规模并行优化设计。该优化机制运用最小化代理模型预测(MSP)、改善期望(EI)、改善概率(PI)、均方误差(MSE)、置信下界(LCB)等多种优化加点准则，在代理模型更新迭代的每一步，选取任意多个样本外形进行CFD并行计算。其核心思想是在初始样本(类似于初始种群)基础上，利用所有已知样本点数据集建立代理模型，然后采用多种加点准则分别独立地选取任意个新样本(类似于传统进化算法中的新种群)；重复这种进化过程，直到产生的样本序列收敛于优化问题全局最优解。由于每一步优化迭代过程可选取大量样本，不仅可以在样本之间进行并行计算，每个样本外形自身也可进行网格分区并行计算，从而实现了真正意义上的大规模并行气动优化设计。

在上述的算法框架中，优化加点准则仍是核心机制。为了实现在每一步迭代过程中添加任意多个新样本，亟需发展一类新的加点准则。一般将这一类加点准则称为并行加点准则(或多点加点准则)。国内外研究者已经对并行加点准则开展了研究，提出了多种典型的并行加点准则。根据其构造原理，一般可以分为以下两类：

1) 基于单一加点准则的并行优化方法。Chevalier和Ginsbourger^[319]率先在EI准则的基础上提出了“多元EI”准则(q-EI)，可以在一步迭代中得到q个新样本。但该方法的实现需要借助蒙特卡洛抽样，并需要求解复杂的高维积分问题，因此当设计变量数目较多时计算成本会急剧增加，降低了工程实用性。出于降低计算成本的考虑，Ginsbourger等^[320]又提出了“Kriging Believer(KB)”方法，其原理是将设计空间中EI最大值处用当前Kriging模型的预测值作为虚拟的样本响应值，随后建立虚拟代理模型，并再次寻找该虚拟新模型下的EI最大值点，上述过程不断重复q-1次即可得到所需的q个新样本点。由于在该过程中不需要重新训练模型参数，因此KB方法的计算成本相对较低。与之类似还有CL(Constant Liar)方法^[320]。但是，研究表明，随着单步迭代中添加新样本数目的增多，这一类方法的优化效果会随之减弱^[39]。近年来，Li等^[321]借助于熵的概念，精确衡量了Kriging模型的不确定性，并据此提出了一种“EI&MI”准则，也可以实现并行加点。Cai等^[322]也提出了一种基于EI函数及其概率分布函数的多点加点准则。

除了对EI准则进行拓展外，也可以针对EI函数自身的特点开展研究。Sóbester等^[323]提出了一种将EI函数上的多个局部最大值当作新样本的方法。但由于无法确定EI函数局部最优解的个数，因此该方法无法保证每步迭代添加的样本点数目相同，从而给实际应用带来不便。近年来Zhan等^[324]对该方法做出了改进。此外，Feng等^[325]则从加权EI准则的原理出发，提出了一种基于多目标优化的并行加点方法。其原理是将EI表达式中分别代表局部发掘和全局探索的两项分别视作两个优化目标，求解此多目标优化问题便可得到一组Pareto解集，并从这组解集中选取任意多个点作为新样本。

值得一提的是，除EI准则外，其他常用的加点准则(如PI准则、LCB准则等)也能加以改进成为并行加点准则。Jones等^{[56, 326]}曾指出，为PI准则设定不同的目标值即可实现添加多个新样本的目的。与之类似的，Laurenceau等^[295]也提出通过改变LCB准则中的系数值来获得多个新样本。这一类方法虽然简单易行，但在实际情况中一般难以确定最合适的一组目标或系数。Chaudhuri和Haftka^[327]针对该问题提出了使用PI准则并自适应选取合理目标值的方法，取得了初步成效。Viana等^[68]则提出了一种选取联合PI函数上多个局部最大值作为新样本的方法。数值算例表明，该方法的优化效果随着新样本数的增加而减弱。

2) 多种加点准则组合的并行优化方法。Sekishiro等^[328]首先提出了将基于EI准则得到的新样本和当前代理模型最优解(即MSP准则)同时加入样本集的方法，可以实现在一步迭代中添加两个新样本。研究表明，该方法对于气动优化设计而言非常实用^[329]。Hamza和Shalaby^[330]随后提出了一种同时使用3种加点准则并结合KB方法添加新样本的方法，可以在一步迭代中添加任意多个新样本。Chaudhuri等^[331]提出了一种同时使用EI准则与多点PI准则^[66]的并行加点方法，并将其成功应用于扑翼的气动优化设计中。Bischl等^[332]则指出，可以将不同加点准则的子优化目标函数视作多个目标并求解该多目标优化问题，从而得到一组Pareto解集，并从中选取新样本。相同的原理也可以推广为使用多种代理模型，Viana等^[68]就提出可以在同一组样本集的基础上建立不同代理模型，随后分别使用EI准则添加新样本的方法，也可在一步迭代中得到多个新样本。

为了将不同的加点准则进行合理组合，刘俊等^[53]首先系统地比较了各种加点准则的异同，分析了其各自的优缺点。随后，在此基础上提出了一种同时使用EI、PI、LCB与MSP 4种加点准则的并行加点方法，实现了一步迭代添加4个新样本的方法，并将其成功地应用于一系列跨声速机翼的气动优化设计中^[54]。从理论上讲，每种加点准则都有其内在的优缺点，而多种加点准则的组合在某种程度上可以弥补各自的缺点，起到增加样本多样性的效果(类似于遗传算法的交叉、变异机制)，因而可改善优化质量。研究结果表明，该方法相较于EI准则，不仅优化效率有显著提高，优化质量也得到了改善。但由于受加点准则种类的限制，该加点方法在每一步迭代中所能添加的新样本数量无法任意给定，这无疑限制了其在大规模并行计算集群中的应用。为此，汪远等^[260]提出了一种改进的组合并行加点准则，实现了可以使用多种加点准则添加任意多个新样本，进而将这些新样本分配至多个计算节点并行求解响应值，从而大幅度提高优化效率。该方法的优化机制如下：

$ \begin{array}{l} S_{{\rm{ new }}}^{{\rm{ total }}} = \bigcup\limits_{n = 1}^N {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} S_{{\rm{ new }}}^{(n)}} = \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \bigcup\limits_{n = 1}^N {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left[ {\mathop {{\rm{argmax}}}\limits_{{x_1} \le x \le {x_u}} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{IS}}{{\rm{C}}^{\left( n \right)}}({\mathit{\boldsymbol{x}}^{(1)}},{\mathit{\boldsymbol{x}}^{(2)}}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{x}}^{({q_n})}})} \right]} \end{array} $

（17）

式中：S_new⁽ⁿ⁾为第n种加点准则选取的新样本。图 8给出了采用组合并行加点准则进行代理优化的流程^[260]。图 9和表 3展示了采用并行加点准则方法对DLR-F4机翼进行减阻优化设计的结果，优化中采用拉丁超立方抽样生成50个初始样本点，分别使用EI准则、基于EI准则的KB方法和组合并行加点准则添加新样本，样本总数为300，整个优化流程重复10次^[260]。从优化结果可知，组合并行加点准则效果最佳。

2 代理优化算法在气动优化设计前沿问题中的应用进展 2.1 基于代理模型的多目标气动优化设计方法

为了应对未来飞行器设计的需求，多目标气动优化设计方法逐渐成为气动优化设计的研究热点之一。多目标气动优化设计与单目标优化设计在保证优化设计的全局性和高效性上存在相同的矛盾，并且多目标气动设计问题往往具有更为复杂的设计空间，需要更多的样本点，进而需要付出更大的计算代价，极大限制了多目标气动优化设计方法在实际工程问题中的应用。

多目标气动优化设计问题的一般数学模型为

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{min}} {f_1}(\mathit{\boldsymbol{x}}),{f_2}(\mathit{\boldsymbol{x}}), \cdots ,{f_p}(\mathit{\boldsymbol{x}})\quad p \ge 2}\\ {{\rm{w}}{\rm{. r}}{\rm{. t}}{\rm{. }}\quad {\mathit{\boldsymbol{x}}_1} \le \mathit{\boldsymbol{x}} \le {\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{u}}}} \end{array}\\ \ {\rm{s}}{\rm{. t}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_i}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = 0}&{i = 1,2, \cdots ,{n_{\rm{h}}}}\\ {{g_j}(\mathit{\boldsymbol{x}}) \le 0}&{j = 1,2, \cdots ,{n_{\rm{g}}}} \end{array}} \right. \end{array} $

（18）

式中：f(x)代表优化目标，可以是不同设计点的性能参数。当采用传统多目标优化算法进行求解上述优化模型时往往需要大量调用高可信度数值模拟，使得优化设计成本大幅增加。为了提高多目标气动优化设计的效率，基于代理模型的多目标气动优化设计方法逐渐得到发展和应用。一种简单的思路是通过建立不同目标的代理模型用以直接替代CFD分析，采用多目标遗传算法等传统多目标优化算法在代理模型上进行多目标优化，评估优化获得的非支配解集作为设计结果^[232-333]。然而，面对复杂外形多目标气动优化设计问题，该方法需要大量的样本点来建立足够精确的代理模型。因此，亟需发展一种具备代理优化机制的多目标气动优化设计方法，来进一步降低计算成本。

21世纪以来，国内外研究人员在基于代理模型的多目标进化方法领域已经开展了较深入研究，并取得了一些有意义的研究成果^[334]。Knowles^[335]提出了将高效全局优化(EGO)方法与切比雪夫聚合方法相结合的ParEGO方法。在建立不同目标的代理模型以后，每一次迭代时通过随机选取目标权重系数将多目标问题转换为单目标问题寻优，找到新样本点用以更新代理模型。Keane^[336]和Emmerich等^[337]分别提出了Multi-EI和EHVI加点准则，将原本用于单目标优化问题的改善期望(EI)和改善概率(PI)推广到了多目标优化中。Beume^[338]和Ponweiser^[339]等发展了SMS-EMOA和SMS-EGO方法，将最大化超体积因子作为子优化目标来指导加点。这些工作，虽然能够提高传统无代理模型辅助的多目标优化算法效率，但是在每次迭代中只添加一个新样本点来更新代理模型，整个Pareto前沿不能在一次迭代中得到充分探索。为此，张青富等^[340]将MOEA/D^[341]与代理模型相结合，提出了MOEA/D-EGO方法。Lin^[342]和Silver^[343]等发展了类似的MOBO/D和s-MOEA/D方法。这些方法能够在一次迭代中同时添加多个样本点，进一步提高了优化效率。最近，文献[344]将4种典型的基于代理模型的多目标进化算法应用于翼型的多目标气动优化设计中进行对比分析。

近年来，基于代理模型的多目标气动优化设计方法在高升力翼型^[345]、跨声速翼型^[85]、高超声速飞行器宽速域翼型及机翼^[261]、增升装置^[333]、热交换器^[346]、压气机转子^[347]、超声速压气机叶栅^[348]、高超声速乘波体^[333]、再入式飞行器^[349]等各类航空航天领域气动优化设计问题中得到了应用。图 10为采用基于代理模型的多目标气动优化设计方法，进行某宽速域翼型优化设计得到的Pareto前沿。

2.2 基于代理模型的混合反设计/优化设计方法

基于代理模型的混合反设计/优化设计方法，是一种将反设计方法与直接优化设计相结合的优化设计方法。通过借助高效全局的代理优化算法，可在设计空间内寻找兼顾反设计和直接优化设计目标且满足约束的飞行器气动外形。反设计方法通过目标特征流场分布(如目标压力分布)，可以很好地运用设计者的经验和对流动机理的认识，但针对多目标、多约束问题显得无能为力。基于代理模型的直接优化设计则直接以气动性能指标(如阻力系数)为目标，通过优化算法自动寻找性能最优的外形。但搜索过程比较盲目，无法有效结合设计者的设计经验。为了兼顾两种方法的优势，将反设计方法和代理优化算法相结合，可使得优化算法在追求全局气动性能最优的同时保证局部流场特性良好。该方法的一般数学模型为

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{min}} {f_{{\rm{dir}}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}),{f_{{\rm{inv}}}}(\mathit{\boldsymbol{x}})}\\ {{\rm{w}}{\rm{. r}}{\rm{. t}}{\rm{. }}\quad {\mathit{\boldsymbol{x}}_1} \le \mathit{\boldsymbol{x}} \le {\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{u}}}} \end{array}\\ \ {\rm{s}}{\rm{. t}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_i}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = 0}&{i = 1,2, \cdots ,{n_{\rm{h}}}}\\ {{g_j}(\mathit{\boldsymbol{x}}) \le 0}&{j = 1,2, \cdots ,{n_{\rm{g}}}} \end{array}} \right. \end{array} $

（19）

式中：f_dir(x)代表直接优化设计目标函数，可以是阻力等性能参数；f_inv(x)代表反设计目标函数，通常与局部压力分布相关。

目前，国内外对适用于飞行器气动外形的混合反设计/优化设计方法研究较少，大多数研究分属于反设计和直接数值优化设计这两大类里面。20世纪80年代初，Garabedian和McFadden^[350]发展出通用的反设计方法——GM(Garabedian-McFadden)。由于设计出的翼型在激波附近不能和目标压力分布吻合，Malone等^[351]在GM方法基础上做了改进，发展出MGM(Modified Garabedian-McFadden)方法。1984年，Takanashi^[352]提出正反迭代-余量修正的反设计方法，其几何修正量来源于求解跨声速小扰动方程。该方法由于其计算分析程序可随意更换的优点而受到广泛关注和使用。1987年，NASA兰利研究中心的Campbell和Richard^[353]提出DISC(Direct Iterative Surface Curvature)方法，又称为流线曲率法, 该方法核心在于提出翼型压力系数的变化量通常正比于翼型表面曲率的改变量的观点，并以此为基础建立数学模型。进入20世纪90年代，华俊等^[354-355]对Takanashi的反设计方法进行了改进，并成功应用于跨声速翼型和自然层流翼型的设计中。2003年，杨旭东等^[356]将流场计算、共轭方程数值求解、敏感性导数求解和优化算法4个方面进行结合，发展出了一种针对机翼气动外形的反设计方法。同年，詹浩等^[357]将只针对单独翼面的余量修正方法发展到针对多翼面问题，形成一种处理多翼面升力系统的余量修正设计方法。2008年，李焦赞等^[358]通过对压力分布进行约束优化，将优化的压力分布当做反设计的目标压力分布并利用华俊等^[355]改进的正反迭代、余量修正的反设计方法进行翼型设计，减少了人为经验对设计结果的影响。2013年，白俊强等^[359]在Gappy POD翼型反设计的快照采样过程中，用压力分布最接近目标压力分布的翼型替换基础扰动翼型，获得了离目标翼型更近的快照空间，有利于提高反设计的精度。此外，如前文所述，国内外在基于代理模型的直接气动优化设计方面也开展了诸多相关研究。陈静等^[360]发展了基于代理模型的跨声速自然层流翼型混合反设计/优化设计方法，采用该方法获得的翼型升阻比较高，压力分布形态也相对更稳健, 图 11为采用混合反设计/优化设计方法得到的自然层流翼型的压力分布。

总的来说，基于代理模型的混合反设计/优化设计方法还处于初步发展阶段。该方法能够充分发挥代理优化算法和反设计方法的优势，既具有高效全局性，又能引入设计者的指导，体现“人在回路”的思想^[139]，在飞行器气动优化设计领域具有很大的发展潜力。

2.3 基于代理模型的稳健气动优化设计方法

近年来大量试验研究已经表明，流场激波、流动的黏性效应以及其引起的分离等复杂非线性流动问题，往往对马赫数、迎角、气动外形的微小变化异常敏感。但由于在优化设计中并未考虑这些不确定性因素的影响，可能导致优化外形的气动特性随工况/几何外形的微小改变而剧烈变化，不符合工程实际使用需求。因此，如何设计出气动性能鲁棒且优良的外形是亟待解决的关键问题。稳健优化设计方法(RDO)正是针对传统优化设计方法单纯追求最佳性能而鲁棒性欠佳的问题而发展起来的一类优化设计方法。稳健优化设计的数学模型主要分为最小化目标均值和标准差、区间模型和最差性能改善3类。其中最小化目标均值和标准差模型应用最为广泛，目的是同时减小优化设计目标的均值和标准差，其数学表达式为

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{min}} f[\mu (\mathit{\boldsymbol{x}}|\mathit{\boldsymbol{\xi }}),\sigma (\mathit{\boldsymbol{x}}|\mathit{\boldsymbol{\xi }})]}\\ {{\rm{w}}{\rm{. r}}{\rm{. t}}{\rm{. }}\quad {\mathit{\boldsymbol{x}}_1} \le \mathit{\boldsymbol{x}} \le {\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{u}}}} \end{array}\\ \ {\rm{s}}{\rm{. t}}{\rm{.}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _{{{\rm h}_i}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}|\mathit{\boldsymbol{\xi }}) = 0}&{i = 1,2, \cdots ,{n_{\rm{h}}}}\\ {{\mu _{{{\rm g}_j}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}|\mathit{\boldsymbol{\xi }}) \le 0}&{j = 1,2, \cdots ,{n_{\rm{g}}}} \end{array}} \right. \end{array} $

（20）

式中：ξ=[ξ₁, ξ₂, …, ξ_nu]^T为已知分布的n_u个不确定变量；μ(x|ξ)和σ(x|ξ)分别为响应值的均值和标准差，共同构成目标函数f；μ_h表示等式约束的均值；μ_g表示不等式约束的均值。

由于稳健优化设计过程中需要进行不确定性量化(Uncertainty Quantification, UQ)，需要大量计算真实函数响应值，所以相比于传统的确定性优化设计，其计算量巨大。随着代理模型技术的发展，在气动优化设计中越来越多地使用代理模型来代替耗时的CFD计算，实现对气动外形的力系数、压力分布的快速估算。基于这一思路，在UQ过程中也可以采用计算成本较低的代理模型来代替计算代价昂贵的CFD分析，从而提高不确定性量化的效率。

2006年，Ong等^[361]提出了在信赖域内建立局部的代理模型以降低计算成本，从而辅助基于遗传算法的稳健优化设计。2009年，Shimoyama等^[362]使用Kriging模型和数据挖掘技术对多目标稳健优化设计问题的稳健性进行预测，发现该方法可显著降低计算成本，提高优化设计的效率。Dwight等^[309]针对不确定变量较多且真实函数计算成本较高的问题，在梯度增强的Kriging模型上使用稀疏网格技术进行UQ分析，从而提高了效率和精度。Chatterjee等^[363]详细对比了不同代理模型在稳健优化设计中的性能，虽然都能降低计算成本，提高稳健优化设计的效率，但针对不同类型的问题需要选取合适的代理模型。高正红等^[218]在对稳健气动优化设计的综述中指出，在UQ分析时使用代理模型辅助的蒙特卡洛方法能降低计算成本，在优化设计时使用GEK模型可显著提高代理优化方法的精度和效率。

1998年，Drela^[364]开展了跨声速翼型、低雷诺数自然层流翼型的多点优化设计，研究发现虽然多点设计能够一定程度上改善设计翼型的稳健性，但其结果具有局部性，翼型的气动特性会在多个单点较优，而不是整个马赫数变化区间内都较优。2002年，Huyse等^[365]提出了最大/最小化期望和方差的稳健设计方法，该方法不仅能使翼型的性能全面提高，还可以显著降低不确定性因素对翼型性能的影响。文献[366]在Huyse最大化期望值思想的基础上结合梯度优化，提出了期望值最大化设计方法，开展了翼型稳健气动优化设计研究。Zhang等^[367]提出了基于混沌多项式展开模型的稳健优化方法，除了随机不确定变量(马赫数、迎角等)外，还首次将PCE方法应用于认知不确定性与混合不确定性的量化分析中。Rashad和Zingg^[119]开展了来流马赫数不确定条件下的跨声速层流翼型稳健优化设计。Lewis等^[368-369]开展了基于多目标稳健优化的数据处理方法研究，并将其应用于旋翼的稳健设计中。Lockwood等^[370]使用梯度增强Kriging模型辅助的蒙特卡洛方法对绕圆柱体的高超声速流动进行不确定性量化，该方法在保证计算精度的同时能显著降低计算成本。Yamazaki^[371]使用变可信度Kriging模型开展了来流马赫数和迎角不确定情况下的翼型稳健气动优化设计，并展示了该方法的高效性和实用性。

此外，王元元等^[372]开展了马赫数不确定条件下的翼型稳健气动优化设计，借助改进的BP神经网络建立代理模型进行UQ分析，并应用于超临界机翼的翼梢小翼设计中。马东立等^[373]采用基于BP神经网络代理模型的UQ方法，开展了考虑工况不确定性和几何不确定性(扭转角)的机翼稳健设计。Shahbaz等^[374]对基于Kriging模型辅助的UQ方法开展研究，并将其应用于马赫数不确定条件下的ONERA M6机翼稳健气动优化设计中。图 12给出了优化设计前后机翼的阻力系数随马赫数的变化趋势，以及概率密度函数(Probability Density Function, PDF)的对比结果。邬晓敬等^[375]采用基于Kriging模型的优化方法开展了来流马赫数不确定情况下跨声速翼型的稳健优化设计研究。赵欢等^[220]采用改进的PCE方法进行UQ分析，并基于代理优化方法开展了马赫数和升力系数不确定条件下自然层流翼型的稳健气动优化设计研究。

3 基于代理模型的高效全局多学科优化设计方法研究进展 3.1 基于代理模型的气动/结构耦合优化设计方法

飞行器设计除了考虑气动学科外，还涉及结构、控制、推进等多个学科，是一个多学科耦合的复杂系统性工程。例如在高亚声速机翼设计中，气动/结构两个学科的紧密耦合作用尤为突出，因而在设计之初就要考虑机翼气动弹性的影响。传统的机翼设计方法，根据经验给出期望的气动力分布，然后设计出能产生相同气动力分布的机翼型架外形。这样经验式的方法只能找到一个局部最优或相对较好的机翼设计方案，而且仅适用于常规布局的机翼设计。机翼气动/结构耦合优化设计方法可以充分发挥气动、结构两个学科间的耦合作用，使机翼获得更大的升阻比和更高的结构效率。

国外学者对机翼气动/结构耦合优化设计方法研究的比较早，取得了一系列的成果。美国学者Haftka^[376]、Martins^[377-380]、Alonso^[381-382]等基于梯度优化方法开展了机翼气动/结构耦合优化设计的工作。欧洲的学者也发表了很多有关机翼气动/结构优化的文献，如德国宇航局(DLR)^[383-385]、荷兰代尔夫特理工大学^[386]等。

国内学者也进行了机翼气动/结构耦合优化设计的相关研究，主要分为梯度优化^{[235, 387]}和代理优化两大类。由于代理优化算法的高效性和全局性，在机翼气动/结构耦合优化设计方面受到研究人员的青睐。张科施等^[388]建立了基于代理模型的多学科优化框架，并对高亚声速运输机机翼开展了多目标、多约束的气动/结构综合优化设计，优化后的机翼具有更好的气动/结构综合性能。之后，张科施等^[389]证明针对高亚声速运输机机翼进行考虑气动弹性的优化设计，比不考虑气动弹性的机翼优化结果有较大性能提高。针对具有上万个结构应力约束的机翼气动/结构耦合优化设计问题，张科施等^[390]提出一种采用约束累积的处理方法，显著提高了代理优化算法的大规模约束处理能力，提高了优化设计效率。薛飞等^[391]采用基于响应面的协同优化方法，进行了轻型飞机机翼气动/结构一体化优化设计。胡婕等^[166]对客机机翼进行气动外形和结构参数化建模，通过基于响应面的两级优化方法求解机翼的气动/结构多学科设计问题，获得升阻比和结构重量最优的解集。董波等^[392]结合了基于非等熵全速势方程的CFD方法与基于工程梁理论的结构设计方法，采用序列二次规划法，对由全局敏度方程构造的近似系统进行优化计算，并验证了该方法的可行性。卢文书等^[393]基于CFD/CSD耦合计算方法和Kriging模型，建立了大展弦比复合材料机翼静气动弹性的近似模型并开展优化设计。李育超等^[394]以运输机机翼为研究目标，基于Kriging模型发展了在初步设计阶段考虑气动弹性问题的机翼气动/结构优化设计方法。

图 13给出了采用代理优化算法进行气动/结构耦合优化设计的典型流程。图 14给出了文献[390]采用代理优化算法和约束累积方法，处理含上万个结构应力约束的气动/结构耦合优化设计的结果。

3.2 基于代理模型的气动/噪声、气动/声爆综合优化设计方法

随着环保意识的增强，气动噪声、声爆等对环境和人类活动的影响逐渐受到重视。然而，飞行器的噪声、声爆等声学特性与气动性能往往是矛盾的。在保证飞行器气动性能的条件下，如何尽量降低噪声、声爆的影响，成为亟待解决的关键问题。基于代理模型的优化设计方法在兼顾气动性能与声学特性的飞行器设计方面，展现出了良好的应用前景。

在基于代理模型的气动/噪声综合优化设计方面，国内外学者已经针对旋翼、螺旋桨降噪开展了一系列研究。宋文萍等^[395-396]结合Ffowcs Williams-Hawkings方程和RANS方程求解器，采用代理优化对旋翼翼尖形状进行了降噪优化设计。招启军等^[397]基于径向基函数和遗传算法等对旋翼翼尖形状进行了优化设计，降低了其高速脉冲噪声。陈丝雨等^[398]采用径向基函数模型代替费时的噪声分析方法，并结合遗传算法，开展了剪刀式尾桨气动与噪声特性综合优化设计。Yang等^[399]采用遗传算法和Kriging代理模型方法优化了悬停状态下旋翼的翼尖外形，通过减弱桨尖激波强度，达到降低高速脉冲噪声的目的。Wilke^[400]采用变可信度代理模型对直升机旋翼进行了气动优化设计。这些研究表明，代理优化算法在气动与噪声综合优化设计方面具有很大的应用潜力。图 15和图 16为旋翼降噪优化设计的结果，设计过程中保证了拉力及悬停效率不减，总设计变量数为106个。

在气动/声爆综合优化设计方面，Chung和Alonso^[312]将代理优化算法应用于超声速公务机的低声爆优化设计，其优化目标为阻力和远场声爆过压值。Chio等^[266]为了降低计算成本，采用涡格法和粗细网格对飞机的气动力及声爆响应值建立了分层代理模型，并采用单纯形方法进行了优化设计。Kirz^[401]基于代理模型对第二届声爆预测研讨会的轴对称标模进行低阻低声爆优化设计，优化外形的地面感觉声压级降低了4.82 dB，阻力降低了2个阻力单元。乔建领等^[402]基于代理优化算法，对第一届声爆预测研讨会的翼身组合体标模开展了低声爆优化设计，优化外形的远场N波峰值降低了27.4%，波阻降低了5.4%。图 17和图 18所示为文献[402]中对翼身组合体标模进行低声爆优化设计的结果，经过高精度的远场声爆预测方法对优化后外形进行评估，展示了代理优化算法在低声爆优化设计中的应用能力。

3.3 基于代理模型的气动/隐身综合优化设计方法

对于军用飞行器而言，雷达隐身性能已成为先进战机的重要考量指标。目前，实现雷达隐身的主要途径有外形隐身技术、材料隐身技术和阻抗加载技术。其中，外形隐身技术是指通过改变飞行器的外形，从而在特定入射角范围内降低其RCS的设计技术。外形隐身技术是实现飞行器隐身的根本，是决定飞行器隐身性能的首要因素。然而，飞行器外形也是产生气动力和决定飞行器机动性能的重要因素。一般而言，气动性能和隐身性能对飞行器外形的要求存在矛盾，例如只考虑隐身性能的F-117A攻击机，其气动性能极差。

何开锋等^[403-404]提出采用神经网络模型、模糊逻辑模型、Kriging模型等代理模型建立气动性能目标函数、隐身性能目标函数与设计变量之间的近似函数，从而无需使用面元法和物理光学法等数值方法求解气动性能和目标雷达散射截面(RCS)值，提高了气动/隐身综合优化设计的效率。王明亮等^[405]开展了气动与隐身性能计算精度对飞行器外形设计的影响研究，研究表明采用低精度计算模型优化设计的外形难以获得最佳的性能，采用高精度计算模型优化可以获得性能更优的外形但计算量较大，优化效率需要提高。张彬乾^[406]和焦子涵^[407]等采用RBF模型进行气动性能、隐身性能的预测，用Pareto多目标遗传算法进行了飞翼布局内外翼段翼型气动/隐身多目标优化设计。张德虎等^[227]发展了基于双层代理模型(DSM)的飞翼布局无人机气动/隐身综合优化设计方法，将回归型代理模型和插值型代理模型分别作为第1层和第2层代理模型，结合回归型代理模型反映全局分布和插值型代理模型局部精确拟和的优点，提高了代理模型预测精度。汪远^[408]采用代理优化方法对某飞翼布局无人机构型开展了气动/隐身综合优化设计，包括内翼段翼型与全机巡航构型的设计。龙腾等^[191]针对翼型气动/隐身多目标优化中存在的计算量大、权重难以确定等问题提出了基于自适应径向基函数代理模型和高效多目标规划策略的优化方法。

图 19~图 21^[408]展示了采用代理优化算法，对飞翼无人机内翼段翼型进行气动/隐身综合优化设计的结果。经过两轮优化设计，最终外形的气动性能和前向±30°角域内的RCS分布都有明显改善，展示了代理优化算法在气动/隐身综合优化设计方面的应用潜力。

4 存在的问题和未来发展趋势

本文以飞行器精细化气动优化设计问题为背景，探讨了基于代理模型的高效全局优化设计方法这一前沿研究领域的现状和最新进展。首先，重点讨论了基于新型代理模型和新优化机制的气动优化设计方法研究进展。其次，介绍了代理模型在飞行器气动优化设计领域若干前沿问题中的应用研究。最后，综述了基于代理模型的多学科优化设计方法研究进展。

通过对400多篇文献的综述，认为目前代理优化所面临的关键问题及主要挑战包括：

1) “维数灾难”问题。近10年来，代理优化算法在优化效率、质量和鲁棒性方面取得了长足进步，已经从最初只能解决20维左右的气动外形优化设计问题，发展到可以解决100维以内机翼、翼身组合体和更复杂外形的气动优化设计问题。但是对于超过100个设计变量的更高维优化问题，其效率显著降低，仍然面临巨大挑战。

2) 气动优化设计的多极值特性问题。气动优化问题设计空间的多极值特性，对于算法选择具有重要影响。例如，已有研究发现，对于超临界翼型和变剖面的跨声速机翼减阻优化设计(如ADODG的Case 4)，由于主要是减激波阻力，因而认为它不是一个多极值问题。但是，对于需要同时减小激波阻力和黏性阻力的问题(如自然层流翼型或机翼设计)，或变平面形状(如ADODG的Case 6)，以及设计变量变化范围较大的气动布局优化设计问题，多极值特性还是很明显的。对于这些多极值优化问题，需要进一步提高代理优化算法的全局搜索能力。

3) 变可信度代理优化算法的泛化问题。实际工程设计都会采用不同可信度的分析方法，因而变可信度优化设计无疑具有很大发展潜力。但是，现有方法的泛化能力明显不足。虽然有大量文章发表，但对于实际工程问题，如果使用不当，优化效果可能很不理想。正因如此，变可信度优化方法目前还主要停留在实验室研究阶段，并没有在实际工程设计中得到较广泛应用。如何提高其泛化能力，发展合理低可信度模型选择方法、更高精度代理模型建模和更有效的变可信度优化加点准则，是其中需要解决的关键问题。

4) 梯度增强代理模型的矩阵规模和条件数大的问题。将Adjoint方法计算的低成本梯度信息与代理模型相结合，是一种解决高维优化设计问题非常具有潜力的方法。虽然目前GEK模型的理论和算法已经基本成熟，但在复杂外形气动优化设计方面表现却并不理想。主要有两个方面的问题：一是相关矩阵规模过大，导致训练时间过长；二是相关矩阵条件数大，导致优化后期效果变差。

5) 大规模并行气动优化设计问题。多种加点准则组合的并行优化方法，可以在每一代优化迭代时选择任意多个新样本。这些样本之间可以并行计算，样本自身也可以通过计算网格分区进行CFD的并行求解，从而实现大规模的并行优化。但目前该方法还处于发展初期，今后需要采用万核以上的大规模并行计算进行验证。同时优化算法也还有较大的改进空间。特别是对于设计空间呈超多极值、高度非线性、强烈振荡等特性的复杂气动优化设计问题，还需要进一步提高算法的效率和鲁棒性。

6) 数值噪声及如何滤除的问题。由于不同样本外形的CFD计算可能未充分收敛或各个样本外形计算网格分布存在不一致性，使得CFD求解结果可能带有不同幅值和频率的数值噪声。这将对代理优化的效率和结果产生重要影响。另外，对于结合Adjoint方法的梯度增强代理模型，其梯度计算结果的数值噪声将会对代理模型的建模和优化设计产生重要影响。

经过大量文献调研和分析，认为今后在基于代理模型的高效全局气动优化设计方法方面值得开展的研究方向如下：

1) 针对“维数灾难”现象，结合代理模型和Adjoint方法是最具潜力的发展方向之一。其中，如何突破梯度增强代理模型在气动优化设计后期效果不理想的问题，成为需要重点解决的问题。例如，发展滤除函数和梯度数值噪声的方法，发展基于梯度的新型加点准则，发展大型相关矩阵的并行分解技术，都是非常有意义的研究方向。

2) 结合代理优化和基于伴随方法的梯度优化方法各自的优势，发展混合优化策略。如先采用较少的设计变量进行基于代理模型的全局优化，然后进一步在所得的最优解基础上提高设计变量数，并采用梯度方法进行优化，是一种值得研究的实用方法。

3) 研究发展具有更好泛化能力的变可信度优化方法。例如，文献[246]采用不同疏密网格的CFD计算作为高低可信度分析模型，如果再进一步引入文献[55]的变可信度加点方法，将可能形成一种具有很好泛化能力的“多层网格加速优化方法”。

4) 引入最新发展的机器学习、数据挖掘、数据融合等人工智能算法，结合数据库技术，研究发展新型代理模型和新的优化加点准则。

5) 发展更有效的多目标气动优化设计方法。基于张青富教授提出的MOEA/D方法的思想，将多目标优化问题分解成若干单目标优化问题，从而可以采用目前发展比较成熟的单目标代理优化算法进行求解，也是非常有前景的发展方向。

6) 针对稳健气动优化设计效率低的问题，需要发展更有效的不确定性量化方法和基于代理模型的稳健优化设计方法。

7) 将代理优化算法应用于复杂系统全局多学科优化设计问题，包括具有大规模设计变量和大规模约束，且各学科之间具有复杂耦合关系的工程设计问题。