2. 中国航天空气动力技术研究院, 北京 100074
2. China Academy of Aerospace Aerodynamics, Beijing 100074, China
捕获轨迹系统[1-4](Captive Trajectory System, CTS)是一种先进的预测外挂物投放轨迹的试验系统。CTS试验系统包含一套六自由度运动机构,用来控制外挂物模型在风洞中进行线位移运动和角位移运动。目前CTS试验系统普遍采用六自由度串联机构作为其运动机构,六自由度串联机构使用独立的电机和装置控制每个自由度,各自由度串联组合实现外挂物模型的六自由度运动[5-6]。六自由度串联机构运动关节逐级叠加,位移和角度误差逐渐累积,使得外挂物模型定位准度不足。
在精确定位的工业机器人、医用机器人、数控机床等领域,并联机构得到广泛应用。并联机构是一种以若干并联杆件连接静平台和动平台的空间机构。并联机构运动部件的质量明显减小,且各支链并联连接支撑起动平台,各支链结构误差不会对动平台位姿造成累积影响,因而相比串联机构而言并联机构具有惯性力小、关节误差不累积等优点[7]。常见的六自由度并联机构的结构形式有:6-SPS、6-PSS和6-PTRT等。
关于并联机构的定位准度,零件的加工与装配误差、构件的变形、运动副间隙等误差可占到全部定位误差的60%~70%[7]。在不改变现有并联机构任何结构和硬件尺寸条件下,开展运动学标定是提高并联机构定位准度的一种有效手段。
机构学研究者针对并联机构的标定方法开展了研究。樊锐等[8]基于拆分标定方法对6-UPS并联机构进行了标定。曾磊[9]针对3-RRR并联机构,提出了考虑减速机背隙误差的运动学标定误差模型。戴智武等[10]针对Delta并联机器人的误差模型,采用了粒子群算法辨识误差参数。李寅翔[11]分析了2-UPR-RPU并联机构的几何误差源,以其零点误差模型进行标定。马志强等[12]基于3-PPPS并联机构的位姿误差与几何误差之间的映射关系建立了运动学逆解方程,对其误差参数进行了标定。张立杰等[13]基于D-H参数建立了球面5R并联机构的运动学反解模型,并对其误差参数进行了标定。皮阳军等[14]提出了一种基于关节力传感器的并联机构的运动学标定方法,通过关节驱动力构造辨识模型,实现了结构参数的标定。张建中[15]通过构造Stewart平台姿态的雅克比矩阵,利用倾角仪测量并用遗传算法对参数进行辨识,完成了对Stewart平台的标定工作。孙皓[16]针对一种新型5-UPS/PRPUU并联机床,采用逐次固定每根杆的方法,标定每个支链铰点坐标和杆长。刘文涛等[17]提出了一种利用正解自动构造平台定位误差矢量和平台结构误差Jacobian矩阵的“鸡尾酒法”。Mansour等[18]以Hexaglide型并联机构为研究对象,通过百分表测量相同位置不同姿态下的关节变量向量和定位误差完成了标定。David[19]针对六自由度并联机构提出了基于末端误差最小子集检测信息的运动学标定算法。
本文将6-PTRT并联机构引入CTS试验系统,作为CTS试验系统的运动机构。为了避免CTS并联机构静平台的安装误差对标定结果产生影响,在风洞试验段内安装CTS并联机构后,采用可移动的ROMER绝对臂测量机对机构进行标定,标定完成后CTS并联机构不予拆除或重新安装,直接开展风洞试验。在空间受限的风洞试验段环境中,CTS并联机构标定需要解决的难题有:动平台相对风洞坐标系的空间位姿测量与计算、CTS并联机构标定模型的建立以及CTS并联机构结构参数的辨识。本文针对风洞环境中的CTS并联机构,提出CTS并联机构动平台空间位姿的测量和计算方法,在CTS并联机构的运动学反解条件中加入直线驱动平台与风洞轴线夹角修正以构造标定模型,采用非线性最小二乘法辨识结构参数,最后对辨识后的并联机构定位准度进行校核和风洞试验验证。
1 CTS并联机构的地面标定方法如图 1所示,CTS并联机构包含6条支链,每条支链的组成形式是:移动副-虎克铰-旋转副-虎克铰。CTS并联机构的直线驱动平台内埋于风洞试验段的两侧壁内,6根支撑杆通过虎克铰分别与直线驱动平台和动平台连接,由交流伺服电机驱动直线驱动平台在导轨上滑动实现并联机构运动。
CTS并联机构的地面标定方法是通过实测动平台位姿辨识真实结构参数,以提高CTS并联机构定位准度的方法,其内容包含动平台位姿的测量和计算、标定模型的建立和结构参数辨识3个部分。CTS并联机构地面标定的流程图如图 2所示。
1.1 动平台位姿的测量和计算动平台空间位姿
动平台相对风洞的姿态角以3个欧拉角(
设计专门的十字校准架作为动平台位姿的测量平台,十字校准架与动平台刚性连接,以保证十字校准架与动平台的相对位置精度,且通过地面加载实验表明,十字校准架与模型的质量差异对CTS并联机构的定位精度影响可以忽略。十字校准架上有4个标准测量孔,如图 4所示。以孔1作为动平台的位移参考点,十字校准架的姿态角作为动平台的姿态角。通过测量孔1~孔4的坐标值计算动平台的位移和姿态角。
考虑风洞洞壁的空间限制,动平台位姿的测量设备采用瑞士海克斯康公司的便携式ROMER绝对臂测量机(如图 5所示),通过手持触发方式实现三维空间坐标的测量。ROMER绝对臂测量机的测量范围为2.0 m,空间长度和单点重复测量精度分别为±0.023 mm和±0.016 mm。
通过ROMER绝对臂测量机测量风洞3个垂直平面的法向方向构造动平台位姿的参考坐标系,即风洞坐标系
通过孔1~孔4的坐标值,可以方便获得
1) 俯仰角
根据
$ \cos {\lambda _\vartheta } = \sin \vartheta $ |
从而得到
$ \vartheta = \arcsin \left( {\cos {\lambda _\theta }} \right) $ | (1) |
2) 偏航角
根据
$ \cos {\lambda _\psi } = - \cos \vartheta \sin \psi $ |
从而得到
$ \psi = - \arcsin \left( {\cos {\lambda _\psi }/\cos \vartheta } \right) $ | (2) |
3) 滚转角
根据
$ \cos {\lambda _\gamma } = - \cos \vartheta \sin \gamma $ |
从而得到
$ \gamma = - \arcsin \left( {\cos {\lambda _\gamma }/ cos \vartheta } \right) $ | (3) |
CTS并联机构的标定模型基于直线驱动平台移动距离和动平台位姿的运动学关系,是CTS并联机构各部件空间位置在每个动平台位姿下的数学关系,其建立涉及到风洞坐标系下支撑杆长、静平台虎克铰中心坐标和动平台虎克铰中心坐标的获取。
CTS并联机构的直线驱动平台移动距离
$ \mathit{\boldsymbol{L}}_i^b = {\mathit{\boldsymbol{t}}^b}\mathit{\boldsymbol{ + A}}_i^b - \mathit{\boldsymbol{B}}_i^b $ |
标量形式为
$ L_i^2 = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{t}}^b} + \mathit{\boldsymbol{A}}_i^b - \mathit{\boldsymbol{B}}_i^b} \right)^{\rm{T}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{t}}^b} + \mathit{\boldsymbol{A}}_i^b - \mathit{\boldsymbol{B}}_i^b} \right) $ | (4) |
式中:tb为风洞坐标系下,风洞坐标系原点Ob到动坐标系原点Oa的向量;Aib为风洞坐标系下,Oa到支链i的动平台虎克铰中心ai的向量;Bib为风洞坐标系下,Ob到支链i的静平台虎克铰中心bi的向量;Lib为风洞坐标系下,支链i的静平台虎克铰中心bi到动平台虎克铰中心ai的向量;Li为支链i的静平台虎克铰中心bi到动平台虎克铰中心ai的距离。
确定式(4)中各变量的数值,即建立了CTS并联机构的标定模型。tb可以从动平台位移参考点坐标直接得到,Li可以从支撑杆杆长、静虎克铰和动虎克铰的几何尺寸得到,Aib是动平台姿态角的函数,Bib是直线驱动平台移动距离的函数。Aib和Bib将通过下面的计算方法得到。
1) Aib的计算方法
已知Aia是动平台虎克铰中心在动坐标系下的坐标表达,由动平台刚体几何尺寸决定。将Aia从动坐标系转换到风洞坐标系可以计算得到Aib,转换矩阵由动平台姿态角组成。所以Aib可表达成
$ \mathit{\boldsymbol{A}}_i^b = \mathit{\boldsymbol{R}} \cdot \mathit{\boldsymbol{A}}_i^a $ | (5) |
式中:
$ \mathit{\boldsymbol{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{c}}\vartheta {\rm{c}}\psi }&{ - {\rm{s}}\vartheta {\rm{c}}\psi {\rm{c}}\gamma + {\rm{s}}\psi {\rm{s}}\gamma }&{{\rm{s}}\vartheta {\rm{c}}\psi {\rm{s}}\gamma + {\rm{s}}\psi {\rm{c}}\gamma }\\ {{\rm{s}}\vartheta }&{{\rm{c}}\vartheta {\rm{c}}\gamma }&{ - {\rm{c}}\vartheta {\rm{s}}\gamma }\\ { - {\rm{c}}\vartheta s\psi }&{{\rm{s}}\vartheta {\rm{s}}\psi {\rm{c}}\gamma + {\rm{c}}\psi {\rm{s}}\gamma }&{ - {\rm{s}}\vartheta {\rm{s}}\psi {\rm{s}}\gamma + {\rm{c}}\psi {\rm{c}}\gamma } \end{array}} \right] $ |
式中:sin、cos分别简记为s和c。
2) Bib的计算方法
静平台虎克铰固连在直线驱动平台上,随着直线驱动平台一起运动,由于安装误差,直线驱动平台与风洞坐标系的ObXb轴不可避免地存在夹角,这里采用线性关系表达静平台虎克铰中心在风洞坐标系下的坐标与直线驱动平台移动距离的关系,则Bib向量可以写成
$ \mathit{\boldsymbol{B}}_i^b = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{b_{ix}}}\\ {{b_{iy}}}\\ {{b_{ix}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{k_x}}\\ {{k_y}}\\ {{k_z}} \end{array}} \right]{d_i} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_x}}\\ {{s_y}}\\ {{s_z}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{K}}{d_i} + \mathit{\boldsymbol{S}} $ | (6) |
式中:di为直线驱动平台移动距离;K为线性方程系数组成的数组;S为线性方程截距组成的数组。
结合式(4)、式(5)和式(6),CTS并联机构标定模型可表示为
$ \begin{array}{l} L_i^2 \equiv {\left( {{\mathit{\boldsymbol{t}}^b} \times \mathit{\boldsymbol{RA}}_i^a - \mathit{\boldsymbol{K}}{d_i} - \mathit{\boldsymbol{S}}} \right)^{\rm{T}}} \cdot \\ \left( {{\mathit{\boldsymbol{t}}^b} \times \mathit{\boldsymbol{RA}}_i^a - \mathit{\boldsymbol{K}}{d_i} - \mathit{\boldsymbol{S}}} \right) \end{array} $ | (7) |
由于存在加工和安装误差,名义结构参数和真实结构参数间不可避免地存在差异。结构参数辨识是基于标定模型辨识真实结构参数的过程。根据标定模型,当实测位姿对应的直线驱动平台移动距离di与名义直线驱动平台移动距离dni相等时,实测位姿将与名义位姿相等。引入目标函数:
$ I = \mathop {\min }\limits_{\left\{ a \right\}} \sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {{d_i} - {d_{ni}}} \right)}^2}} $ | (8) |
结构参数辨识即辨识CTS并联机构的结构参数{a},使得目标函数值最小。
影响CTS并联机构定位准度的结构参数有:静平台虎克铰中心位置、动平台虎克铰中心位置和支撑杆的长度。在CTS并联机构的任一支链中,静平台端虎克铰中心位置由其在风洞坐标系下的3个坐标值
动平台位姿作为结构参数辨识的输入量,用于标定的位姿选取遵循以下原则:
1) 在CTS试验所需的位姿空间中(如表 1所示),随机均匀地选取标定位姿,每个位姿均包含6个自由度。
2) CTS并联机构共有6条支链,对于30个结构参数,至少需要5个位姿,利用运动雅克比矩阵
3) 保证所选取的位姿都在ROMER绝对臂测量机的可测空间内。
根据以上位姿选取原则,选取130组位姿,选用的标定点的空间情况如图 8所示。
在测量和计算标定点位姿的基础上,以CTS并联机构的结构参数设计值作为迭代初值,如表 2所示,采用非线性最小二乘法辨识结构参数。辨识后的结构参数见表 3。
mm | |||||||||||||||||||||||||||||
支链 | Li | aix | aiy | aiz | dei | ||||||||||||||||||||||||
1 | 1 000 | -133.8 | 68.6 | -50 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
2 | 900 | -133.8 | -18 | -100 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
3 | 1 100 | -133.8 | -104.6 | -50 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
4 | 1 100 | -133.8 | -104.6 | 50 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
5 | 900 | -133.8 | -18 | 100 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
6 | 1 000 | -133.8 | 68.6 | 50 | 0 |
mm | |||||||||||||||||||||||||||||
支链 | Li | aix | aiy | aiz | dei | ||||||||||||||||||||||||
1 | 999.3 | -134.3 | 69.1 | -49.1 | -0.4 | ||||||||||||||||||||||||
2 | 899.5 | -134.0 | -16.9 | -100.0 | -1.1 | ||||||||||||||||||||||||
3 | 1 099.0 | -133.9 | -104.1 | -50.7 | 0.9 | ||||||||||||||||||||||||
4 | 1 100.262 | -133.686 | -105.202 | 49.1 | -2.3 | ||||||||||||||||||||||||
5 | 899.960 | -133.859 | -19.168 | 99.8 | -0.8 | ||||||||||||||||||||||||
6 | 1 000.027 | -134.101 | 67.958 | 51.0 | -1.3 |
参数辨识完成后,以辨识后的结构参数值控制CTS并联机构运动,进行定位准度的校核和风洞试验验证。
2 定位准度的校核和风洞试验验证位姿定位准度的评价指标主要有:平均绝对误差(Mean of Absolute Error, MAE)和误差均方根(Root Mean Square, RMS)[21]。MAE可以估算可能的误差范围,RMS则能反映误差波动的幅值信息。MAE、RMS的表达式为
$ {\rm{MAE}} = \frac{1}{n}\sum\limits_i^n {{\rm{ABS}}\left( {{{\hat r}_i} - {r_i}} \right)} $ | (9) |
$ {\rm{RMS}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_i^n {{{\left( {{e_i} - {{\bar e}_i}} \right)}^2}} } $ | (10) |
式中:
校验点的选取原则与标定点的选取原则相同,选取10组位姿,对CTS并联机构的位姿定位准度进行辨识前后的对比。
辨识前后定位准度的MAE指标对比结果如表 4所示,RMS指标对比结果如表 5所示。
参数 | 辨识前RMS | 辨识后RMS | 比值/% |
x/mm | 0.626 | 0.027 | 4.3 |
y/mm | 0.413 | 0.013 | 3.3 |
z/mm | 0.137 | 0.031 | 22.5 |
|
0.059 | 0.007 | 12.4 |
ψ/(°) | 0.087 | 0.013 | 15.6 |
γ/(°) | 0.152 | 0.010 | 1.6 |
从表 4可以看出,辨识后的定位误差范围小于辨识前的定位误差范围,尤其是x、y、ψ和γ这4个自由度;从表 5可以看出,辨识前位姿定位误差波动明显,辨识后6个自由度的位姿定位误差都仅有小幅度的波动,表明各自由度的定位准度稳定。
辨识后CTS并联机构的定位准度与CTS试验准度要求对比如表 6所示,可以看出,辨识后并联机构定位准度满足CTS试验准度要求。
参数 | 试验要求准度 | 并联机构准度 |
x/mm | ±0.1 | -0.087~0.061 |
y/mm | ±0.1 | -0.095~-0.060 |
z/mm | ±0.1 | -0.087~0.078 |
|
±0.05 | -0.035~0.016 |
ψ/(°) | ±0.05 | -0.042~0.050 |
γ/(°) | ±0.05 | -0.039~0.021 |
上述对CTS并联机构的定位准度校核是在地面无风载情况下进行的,为了考核CTS并联机构在风载情况下的定位准度,在FD12风洞[1]中进行了并联机构与常规攻角机构的对比风洞试验,在相同测控系统和试验模型条件下,风洞试验结果的精准度由机构的定位准度决定。通常以标准模型按阶梯攻角运动的测力风洞试验考核运动机构的风载定位准度,采用的常规攻角机构刚度极大且已通过定位准度标定校验,将其得出的气动数据作为真值。试验模型为8#标模(见图 9),试验马赫数Ma=0.8,试验攻角序列:-10°~10°。并联机构动平台端的8#标模在试验段均匀流场中的3处位置进行了风洞测力试验,用以验证并联机构在不同位置的定位准度。
试验后,法向力系数CN和俯仰力矩系数MZ曲线对比如图 10所示,图上#1、#2和#3分别表示模型质心位于试验段迎风横截面中心、中心正上方和正下方200 mm位置。试验数据表明,并联机构支撑与常规攻角机构支撑的8#标模的CN均方差σCN小于0.005,MZ均方差σMZ小于0.005,满足了测力试验精准度的要求[1]。
3 结论1) 6-PTRT并联构型可以用于CTS试验的运动机构,并能有效提高CTS试验的定位准度,以其支撑8#标模的风洞试验数据满足测力风洞试验精准度要求。
2) 提出的针对空间受限风洞环境的动平台空间位姿的测量和计算方法,可以准确高效地得到动平台空间位姿,建立的包含直线驱动平台与风洞轴线夹角修正的标定模型,能准确地描述风洞安装环境下的CTS并联机构的运动学关系。
3) 结构参数辨识后的CTS并联机构位姿误差范围和误差波动幅值均显著减小,位移准度优于±0.1 mm,姿态角准度优于±0.05°。
致谢
感谢秦永明研究员、王强研究员、张江研究员、董金刚高级工程师在本文工作开展中给予的指导与帮助!
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