全局灵敏度分析可以从输入变量的整个分布范围来衡量输入变量的不确定性对工程设计中所感兴趣的输出性能统计特征的贡献程度^[1-2]，通常在可靠性分析中，更关注结构是否失效以及输入变量对于结构失效概率的影响程度。为了衡量输入变量对于结构失效概率的影响并对输入变量的重要性进行排序，Cui等^[3]提出了可靠性全局灵敏度指标。可靠性全局灵敏度指标定义为某一输入变量固定时，结构的无条件失效概率与条件失效概率的差异在输入变量的整个分布范围内的平均值，该指标反映了输入变量固定时对失效概率的平均影响。与可靠性局部灵敏度指标^[4-5]不同，可靠性全局灵敏度指标可以从输入变量的整个不确定性范围来衡量其对于失效概率的平均影响。

本文提出了利用贝叶斯公式转换以及元重要抽样算法^[6-7]结合自适应Kriging代理的可靠性全局灵敏度，并组织了求解可靠性全局灵敏度指标的高效算法。基于贝叶斯公式可以将可靠性全局灵敏度指标的原始定义等价表示为输入变量的无条件概率密度函数(Probability Density Fanction, PDF)与条件概率密度函数之间的差异与失效概率的乘积形式，从而避免条件失效概率的求解^[8-9]。基于此等价形式，只需要一组样本，便可以得到各输入变量的可靠性全局灵敏度指标。利用贝叶斯算法进行可靠性全局灵敏度分析的研究已有很多，Wang等^[8]利用贝叶斯公式，将可靠性全局灵敏度指标的定义式进行了等价转换，并采用蒙特卡罗法来计算可靠性全局灵敏度指标。该方法适用范围虽广，但在计算工程实际中的小失效概率问题时计算量过于庞大。Wang等^[9]则结合重要抽样方法来计算可靠性全局灵敏度指标的贝叶斯等价形式。该方法只需一组样本便可以计算得到所有输入变量的可靠性全局灵敏度指标，且计算量独立于输入变量的维数，明显地提高了计算的效率。但是重要抽样方法^[10-11]需要构造重要抽样密度函数，一般来说需要将重要抽样密度函数的中心放在设计点处，这就使得该方法依赖于其他方法来寻找设计点，并且重要抽样方法对于多设计点的情况和多失效域的情况并不适用。Yun等^[12]基于可靠性全局灵敏度指标的贝叶斯公式转换后的等价形式，利用子集模拟方法^[13-16]结合重要抽样的方法进行可靠性全局灵敏度的计算。该方法在利用子集模拟结合重要抽样的方法计算得到无条件失效概率的同时，通过重复利用子集模拟重要抽样方法抽取的样本，并利用Metropolis-Hastings(M-H)^[17]准则来实现失效样本的转换，进而估计各输入变量的失效条件概率密度函数。该方法同样只需要一组样本便可计算得到可靠性全局灵敏度指标，且对于小失效概率问题是有效可行的。但该方法抽样过程中所结合的重要抽样方法仍然依赖于设计点的选取，因而该方法依旧很难适用于多设计点和多失效域的情况。

对于实际工程中普遍存在大量复杂的功能函数，自适应Kriging(Adaptive Kriging, AK)代理模型法是处理这类问题的高效算法^[18]。可靠性分析中涉及到的自适应Kriging算法有自适应Kriging代理模型结合Monte Carlo模拟(Monte Carlo Simulation, MCS)法(AK-MCS) ^[19]、自适应Kriging代理模型结合重要抽样(Important Sampling, IS)法(AK-IS) ^[20]以及元重要抽样算法(Meta-IS)^[6-7]等。AK-MCS算法将自适应Kriging代理模型与Monte Carlo模拟法相结合，其首先由输入变量的联合概率密度函数产生MCS备选样本池，然后利用学习函数在备选样本池中逐步挑选对失效面拟合贡献较大的点来更新Kriging模型，最终能够确保Kriging模型能在一定的置信水平下识别样本池内样本的功能函数值的正负号，从而较准确地求得失效概率。但对于工程上常见的小失效概率问题，AK-MCS算法的样本池容量庞大，进而使得代理过程十分耗时。将重要抽样法与自适应Kriging过程相结合形成的AK-IS算法可以大大降低备选样本池的规模，从而提高自适应学习的效率，减少自适应学习过程所消耗的时间。但是对于多设计点及多失效域问题，基于一次二阶矩法构造重要抽样密度函数的AK-IS算法将失效，因而对于多设计点及多失效域的问题需要另寻解决途径。元模型重要抽样算法(Meta-IS)通过元模型构造重要抽样密度函数，进而来抽取重要抽样样本点。该方法在降低AK-MCS样本池规模的同时避免了设计点的求解，适用于多设计点和多失效域问题的可靠性分析。然而，Meta-IS算法在抽取重要抽样样本后仍需要求解重要抽样样本点处真实的功能函数值来估计失效概率，所以该算法仍有较大的计算量。如果在元重要抽样的基础上嵌入自适应Kriging模型，形成Meta-IS-AK算法，则有可能极大程度地提高失效概率求解的效率，本文将采用这种思路求解失效概率，并在此基础上组织可靠性全局灵敏度的算法。

利用可靠性全局灵敏指标的贝叶斯转换形式，只要能求得无条件失效概率和失效域条件下输入变量的概率密度函数即可直接求得可靠性全局灵敏度，而求解无条件失效概率的数字模拟法可以同时完成失效概率的计算以及失效域条件下输入变量概率密度函数的求解，为此本文将Meta-IS与自适应Kriging模型结合起来，以便完成可靠性全局灵敏度的高效求解。本文所组织的Meta-IS-AK算法主要分3步来执行。第1步是由元重要抽样的迭代策略得到逐步逼近最优重要抽样函数的样本点，在迭代收敛后便可以得到第1步的Kriging模型以及相应的重要抽样样本点。第2步是基于重要抽样样本构建自适应Kriging模型，该步的Kriging模型是在第1步得到的Kriging模型的基础上逐步更新得到的，其目的是为了构建能够对第1步中重要抽样样本点失效与否做出准确预测的Kriging模型，从而高效地求解出无条件失效概率。然而Meta-IS-AK算法抽取的失效域内的样本点的密度函数为最优重要抽样密度函数，因而无法直接用于估计输入变量失效域内的条件概率密度函数，为此第3步则对失效域内服从于重要抽样密度函数的样本点进行转换，该转换将利用Metropolis-Hastings准则由重要抽样密度函数的失效样本点来得到原概率密度函数在失效域内的样本点，进而求得各个输入变量在失效域中的条件概率密度函数。

本文主要由以下几部分组成。第1节简要地回顾了已有的利用贝叶斯公式转换的可靠性全局灵敏度的形式，第2节详细介绍了本文所提的计算可靠性全局灵敏度的高效算法。第3节分别给出了数值与工程算例，验证了所提算法的高效性，第4节则得出结论。

1 基于贝叶斯公式的可靠性全局灵敏度指标的转换形式

记功能函数为Y=g(X), 对于具有联合概率密度函数f_X(x)的n维随机输入变量X=[X₁ X₂ … X_n]，F={X:g(X)≤0}为其失效域，失效概率P_f=P{g(X)≤0}。记输入变量X_i取其实现值时的条件失效概率为P_f|Xi不确定性的消除会对失效概率造成影响，而这种影响可由P_f和P_f|Xi的平均差异来度量。将X_i的可靠性全局灵敏度指标记为δ_Xi^P_f，其定义为^[21-22]

$ \begin{array}{l} {\rm{ \mathit{ δ} }}_{{X_i}}^{{P_{\rm{f}}}} = {E_{{X_i}}}{\left( {{P_{\rm{f}}} - {P_{{\rm{f}}|{X_i}}}} \right)^2} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left( {{P_{\rm{f}}} - {P_{\rm{f}}}|{X_i}} \right)}^2}} {f_{{X_i}}}\left( {{x_i}} \right){\rm{d}}{x_i} \end{array} $	（1）

利用贝叶斯公式，可将条件失效概率P_f|Xi进行如下转换^{[8-9, 12, 23-24]}：

$ {P_{{\rm{f}}|{X_i}}} = \frac{{{f_{{X_i}}}\left( {{x_i}\left| F \right.} \right)}}{{{f_{{X_i}}}\left( {{x_i}} \right)}}{P_{\rm{f}}} $	（2）

将式(2)代入到式(1)中，即可得到基于贝叶斯公式的可靠性全局灵敏度指标表达式：

$ \begin{array}{l} {\rm{ \mathit{ δ} }}_{{X_i}}^{{P_{\rm{f}}}} = {E_{{X_i}}}{\left( {{P_{\rm{f}}} - {P_{{\rm{f}}|{X_i}}}} \right)^2} = \\ \;\;\;\;\;\;\;{E_{{X_i}}}{\left( {{P_{\rm{f}}} - \frac{{{f_{{X_i}}}\left( {{x_i}|F} \right)}}{{{f_{{X_i}}}\left( {{x_i}} \right)}}{P_{\rm{f}}}} \right)^2} = \\ \;\;\;\;\;\;\;P_{\rm{f}}^2{E_{{X_i}}}{\left( {\frac{{{f_{{X_i}}}\left( {{x_i}} \right) - {f_{{X_i}}}\left( {{x_i}|F} \right)}}{{{f_{{X_i}}}\left( {{x_i}} \right)}}} \right)^2} \end{array} $

（3）

由式(3)可知，通过将P_f|Xi利用贝叶斯公式进行等价转化，输入变量X_i(i=1, 2, …, n)的可靠性全局灵敏度指标δ_Xi^P_f由无条件失效概率P_f与条件失效概率P_f|Xi平均差异的求解，转换为无条件失效概率P_f与失效条件概率密度函数f_Xi(x_i|F)的求解。式(3)中所有输入变量的条件概率密度函数f_Xi(x_i|F)都可以利用求解P_f时失效域F内的失效样本来同时得到，减少了传统方法中条件失效概率P_f|Xi的计算量。

2 求解可靠性全局灵敏度指标的高效算法

由式(3)可知，求解δ_Xi^P_f的关键是估计失效概率P_f与失效条件概率密度f_Xi(x_i|F)，本节将基于元模型重要抽样法来构造可靠性全局灵敏度指标δ_Xi^P_f的高效算法。

2.1 失效概率P_f的估计

由第1节的内容可知，为了求得可靠性全局灵敏度，必须要同时求得失效概率P_f以及失效域条件下输入变量的概率密度函数f_Xi(x_i|F)。文献[6]的Meta-IS算法采用Kriging元模型g_K1(x)来近似构造功能函数g(x)，并在此基础上构造准最优重要抽样密度函数h^qopt_X(x)。根据h_X^qopt(x)抽取得到重要抽样样本点x_i^h(i=1, 2, …, N_corr)之后(N_corr表示重要抽样样本点的数量)，文献[6]的Meta-IS算法需要计算重要抽样样本点x_i^h(i=1, 2, …, N_corr)处真实的功能函数值，才能由式(4)求得修正因子α_corr的估计值$ {{\hat{\alpha }}_{\text{corr}}}$，并进而由扩展失效概率P_fε ^[6]与修正因子α_corr的乘积求得失效概率P_f=P_fεα_corr。

$ {{\hat \alpha }_{{\rm{corr}}}} = \frac{1}{{{N_{{\rm{corr}}}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_{{\rm{corr}}}}} {\frac{{{I_F}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_i^h} \right)}}{{\pi \left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_i^h} \right)}}} $	（4）

式中：I_F(·)为失效域指示函数，若重要抽样样本点x_i^h(i=1, 2, …, N_corr)落入失效域，则I_F(x_i^h)=1，否则I_F(x_i^h)=0;π(·)为概率密度分类函数，π(x_i^h)表示当前Kriging模型g_K1(x)在重要抽样样本点x_i^h(i=1, 2, …, N_corr)处预测值g_K1(x_i^h)≤0的概率。扩展失效概率P_fε由概率分类函数π(x)的数学期望来表达，详细求解过程见文献[6]。

显然，依照式(4)去求解修正因子α_corr需要再调用N_corr次功能函数，计算量较大。本文则基于近似构造最优重要抽样密度函数的Kriging代理模型g_K1(x)，在重要抽样样本池S_h={x₁^h, x₂^h, …，x_Ncorr^h}内更新g_K1(x)，使得训练收敛后的代理模型(记为g_K2(x))能够正确识别S_h中每个样本点处的功能函数的取值符号，从而准确地预测I_Fx_i^h(i=1, 2, …, N_corr)的取值。这种在g_K1(x)的基础上重构g(x)的代理模型g_K2(x)，并使得g_K2(x)能够正确识别g(x)在重要抽样样本点x_i^h(i=1, 2, …, N_corr)处的取值符号的过程可以通过U学习函数轻松实现，并且由于重构g_K2(x)所需的功能函数调用次数远小于N_corr，因此该思路的计算效率将远高于文献[6]的效率。本文求解失效概率的步骤可归纳为

步骤1  以g_K1(x)作为g_K2(x)的初始模型，即令g_K2(x)=g_K1(x)。

步骤2  判别g_K2(x)的收敛性。由当前Kriging模型g_K2(x)计算x_i^h(i=1, 2, …, N_corr)的U学习函数值u(x_i^h)= $\left| \frac{{{\mu }_{{{g}_{{{K}_{2}}}}}}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{h} \right)}{{{\sigma }_{{{g}_{{{K}_{2}}}}}}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{h} \right)} \right| $，取x^u= $\underset{\boldsymbol{x}_{i}^{h}\in {{\boldsymbol{S}}_{h}}}{\mathop{\arg \ \min }}\, $·u(x_i^h)。如果u(x^u)≥2，则转入步骤5，否则执行下一步。

步骤3  计算g(x^u)，将(x^u, g(x^u))添加到训练集T中，形成更新的训练集T={T∪(x^u, g(x^u))}。

步骤4   由T更新g_K2(x)，并返回步骤2。

步骤5  以收敛的g_K2(x)预测S_h中样本点x_i^h(i=1, 2, …, N_corr)处的I_F(x_i^h)的估计值${\hat{I}} $_Fx_i^h，并求得α_corr的估计值${{{\hat{\alpha }}}_{\text{corr}}} $和失效概率P_f的估计值$ {\hat{P}}$_f。

$ {{\hat I}_F}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_i^h} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&{{g_{{K_2}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_i^h} \right) > 0}\\ 1&{{g_{{K_2}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_i^h} \right) \le 0} \end{array}} \right. $	（5）

$ {{\hat \alpha }_{{\rm{corr}}}} = \frac{1}{{{N_{{\rm{corr}}}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_{{\rm{corr}}}}} {\frac{{{I_F}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_i^h} \right)}}{{{\rm{ \mathit{ π} }}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_i^h} \right)}}} $	（6）

$ {{\hat P}_{\rm{f}}} = {{\hat P}_{{{\rm{f}}_\varepsilon }}}{{\hat \alpha }_{{\rm{corr}}}} $	（7）

2.2 失效域条件下输入变量的概率密度函数估计

为了利用第1节的方法求解可靠性全局灵敏度δ_Xi^P_f，在2.1节求得失效概率的同时，还必须求得失效域F条件下X_i的概率密度函数f_Xi(x_i|F)。显然f_Xi(x_i|F)的求解必须要有失效域中X_i的分布信息。由2.1节可知，重构g_K2(x)可以得到h_X^qopt(x)的失效域样本，将h_X^qopt(x)的失效样本记为x_Fi^h(i=1, 2, …, N_F)(N_F为失效样本的个数)，则这些失效样本需要转换成f_X(x)的失效样本后，才能用于估计f_Xi(x_i|F)。Metropolis-Hastings准则提供了将h_X^qopt(x)的失效样本转化成f_X(x)失效样本的方法，并且这种转换不需要调用功能函数，其转换的过程可归纳为

步骤1  根据Metropolis-Hastings准则^[17]，取马尔科夫链的初始点z₁=x_Fi^h。

步骤2  计算下列比值r, 并由r确定下一个马尔可夫链样本

$ \begin{array}{*{20}{c}} {r\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_i}, {\mathit{\boldsymbol{z}}_{i + 1}}} \right) = \frac{{{f_\mathit{\boldsymbol{X}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_{{\rm{F}}\left( {i + 1} \right)}^h} \right){h_\mathit{\boldsymbol{X}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_i}} \right)}}{{{f_\mathit{\boldsymbol{X}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_i}} \right){h_\mathit{\boldsymbol{X}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_{{\rm{F}}\left( {i + 1} \right)}^h} \right)}}}\\ {i = 1, 2, \cdots , {N_{\rm{F}}} - 1} \end{array} $

（8）

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{z}}_{i + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{x}}_{{\rm{F}}\left( {i + 1} \right)}^h}&{\min \left( {1, r} \right) > u}\\ {{\mathit{\boldsymbol{z}}_i}}&{\min (1, r) \le u} \end{array}} \right.}\\ {i = 1, 2, \cdots , {N_{\rm{F}}} - 1} \end{array} $	（9）

式中：u为[0, 1]区间上服从均匀分布的随机数。

步骤3  重复步骤2直到元重要抽样密度h_X^qopt(x)的失效样本点x_Fi^h(i=1, 2, …, N_F)全部转化为f_X(x)的失效样本z_i(i=1, 2, …, N_F)。

步骤4   z_i(i=1, 2, …, N_F)即为近似服从于原始失效条件概率密度函数f_X(x|F)的样本x_Fi^f=z_i(i=1, 2, …, N_F)，基于x_Fi^f就可以采用已有的概率密度函数逼近方法求得f_Xi(x_i|F)。

联合2.1节求得的失效概率估计值$ {{\hat P}_{\rm{f}}}$和2.2节求得的f_Xi(x_i|F), 就可以由式(3)估计出所有输入变量的可靠性全局灵敏度了。

由上述求解可靠性全局灵敏度的过程可知，本文所组织的算法具有以下优点：①通过将元重要抽样与可靠性全局灵敏度的贝叶斯算法相结合，使得求解可靠性全局灵敏度指标的计算量独立于输入变量的维度，且避免了基于传统重要抽样的可靠性全局灵敏度的贝叶斯算法不适用于多设计点多失效域情况的问题。基于等价的贝叶斯形式，可靠性全局灵敏度完全转化成了输出样本的分类问题，进而也使得利用嵌入式代理模型结合数字模拟的方法去求解δ_Xi^P_f成为可能。②所提方法在元模型重要抽样的基础上进一步在重要抽样样本池中重构功能函数的代理模型，重构所得到的代理模型能够准确地对元重要抽样样本进行分类，提高了失效概率计算的效率。③利用Metropolis-Hastings准则，将准重要抽样密度函数的失效样本转化成原概率密度函数的失效样本，由于转化过程无需调用功能函数，因而提高了可靠性全局灵敏度指标求解的计算效率。综上所述，本文所组织的可靠性全局灵敏度算法是适用于多设计点多失效域问题的一种高效算法。

2.3 Meta-IS-AK算法求解可靠性全局灵敏度指标流程图

由2.1和2.2节的内容可给出Meta-IS-AK算法求解可靠性全局灵敏度的流程如图 1所示。

3 算例分析

为了验证所提算法在求解可靠性全局灵敏度的效率和精度，本节给出了3个算例，分别采用准Monte Carlo算法(QMC)、AK-MCS算法、Meta-IS算法及Meta-IS-AK算法求解可靠性全局灵敏度指标。其中QMC算法结果将作为参照解。

3.1 不连续多失效域算例

考虑一个多失效域的算例，其功能函数为

$ g\left( {{X_1}, {X_2}} \right) = 10 - \sum\limits_{i = 1}^2 {\left[ {X_i^2 - 5\cos \left( {2{\rm{ \mathit{ π} }}{X_i}} \right)} \right]} $	（10）

式中：X₁与X₂都是服从标准正态分布的随机变量。算例3.1的失效边界如图 2所示。从图 2可以看出，该数值算例的失效边界很复杂，属于多失效域的情况。文献[6]提出了失效概率计算的Meta-IS方法，该方法无法直接应用于可靠性全局灵敏度的求解。本文将文献[6]的方法进行了扩展，将其与可靠性全局灵敏度的贝叶斯算法相结合，使得其可以应用于计算可靠性全局灵敏度，本文在算例部分将基于文献[6]发展的算法记作Meta-IS算法。用QMC算法、AK-MCS算法、Meta-IS算法以及Meta-IS-AK算法求得的可靠性全局灵敏度指标如表 1所示。为了进一步说明所提算法计算结果的稳健性，δ_Xi^P_f估计值的标准差(记为SD_i)也在表 1计算结果的上标位置给出，SD_i由s次独立的估计值的标准差计算得到，其定义为

$ {\rm{S}}{{\rm{D}}_i} = \sqrt {\frac{1}{s}\sum\limits_{j = 1}^s {{{\left( {{\rm{ \mathit{\hat δ} }}_{X_i^{\rm{f}}}^{\left( j \right)} - {\rm{ \mathit{\bar δ} }}_{X_i^{\rm{f}}}^{{P_{\rm{f}}}}} \right)}^2}} } $	（11）

式中：s为独立计算的次数，本文算例中取s=50;δ_Xi^P_f为s次独立计算δ_Xi^P_f的平均值；$\hat{\sigma }{{_{{{X}_{i}}}^{{{P}_{\text{f}}}}}^{\left( j \right)}}$为第j次估计的可靠性全局灵敏度。

Meta-IS-AK算法求解δ_Xi^P_f时功能函数的调用次数由2部分组成，第1部分是元重要抽样法中构建Kriging模型g_K1(x)过程中功能函数的调用次数，第2部分是重要抽样样本结合自适应Kriging算法构建Kriging模型g_K2(x)时功能函数的调用次数。由表 1中结果可以看出，Meta-IS-AK算法与QMC算法计算得到的可靠性全局灵敏度指标的结果基本一致，且功能函数的调用次数远远低于QMC算法，相比于AK-MCS算法计算效率也进一步提高。与基于文献[6]发展的Meta-IS算法相比，本文所提的可靠性全局灵敏度求解的Meta-IS-AK算法避免了逐一求解重要抽样样本点处的真实功能函数值，因而计算效率也进一步提高。对于该模型而言，输入变量X₁与X₂对失效概率的影响基本相等。以上结果说明本文所提的可靠性全局灵敏度分析的Meta-IS-AK算法能够较好地应用于不连续的多失效域情况，体现了该算法较强的适用性。

3.2 钢架结构算例

对于一钢架结构，有4个失效模式：

$ \left\{ \begin{array}{l} {g_1} = 2{M_1} + 2{M_2} - 4.5S\\ {g_2} = 2{M_1} + {M_2} + {M_3} - 4.5S\\ {g_3} = {M_1} + {M_2} + 2{M_3} - 4.5S\\ {g_4} = {M_1} + 2{M_2} + {M_3} - 4.5S \end{array} \right. $	（12）

因为是串联系统，所以系统的功能函数g为g=min{g₁, g₂, g₃, g₄}。在各个失效模式的功能函数中，M_i(i=1, 2, 3)与S是独立的，均值和标准差分别为: μ_Mi=2(i=1, 2, 3), μ_S=1, σ_Mi=2(i=1, 2, 3), σ_S=0.25。各输入变量所对应的可靠性全局灵敏度指标的计算结果如表 2所示。

由表 2中结果可以看出，Meta-IS-AK算法得到的计算结果与QMC算法计算所得结果基本一致，且模型的调用次数低于QMC算法与AK-MCS算法以及Meta-IS算法。这说明Meta-IS-AK算法能够很好地适用于多个失效模式的情况。对于此算例，输入变量的重要性排序为S>M₃>M₁>M₂。此外，输入变量S对失效概率的影响较其他输入变量的影响大很多。因此在进行可靠性设计时通过调整输入变量S的不确定性可以更有效地满足可靠性要求。此外，M₂对失效概率影响的灵敏度指标较其他的输入变量小很多，因此可以忽略M₂的不确定性对于失效概率的影响，可以通过将M₂固定在均值处来简化失效概率的求解模型。

3.3 简化的翼盒结构算例(多设计点算例)

图 3(a)是简化翼盒模型的示意图。这种翼盒结构由64个杆和42个板组成。64个杆根据它们的方向分为3组，x、y和z方向上杆的长度分别是2L、L和3L。所有杆的截面积均为A，所有板的厚度均为TH，E和P分别是所有板和杆的弹性模量和外部载荷。泊松比为0.3。假设输入变量是独立的正态变量，其分布参数如表 3所示。

由于翼盒结构承担了来自机翼的大部分垂直方向的载荷，其自由端的位移可能相对较大。大的位移可能会引起杆的变形并导致杆或板的破坏，这在飞行过程中是不允许的。因此计算翼盒结构的位移是很有必要的，且位移的计算可以通过有限元分析完成。图 3(b)显示了在ANSYS 14.0中构建的翼盒结构的有限元模型，其中输入变量固定在它们的均值处，此外，翼盒的变形如图 3(c)所示。

本文中，该翼盒的隐式功能函数是根据翼盒的最大位移D_max不超过临界值构造的(这里临界值等于0.01)，其表达式为

$ g\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) = 0.01 - \left| {{D_{\max }}} \right| $	（13）

式中：D_max=D(L, A, E, P, TH)，是关于输入变量的隐式函数，由有限元分析确定。算例3.3的可靠性全局灵敏度计算结果如图 4所示，计算结果的标准差如表 4所示。

由表 4中的结果可以看出，Meta-IS-AK算法得到的计算结果精度较高且模型的调用次数低于QMC算法与AK-MCS算法以及Meta-IS算法，这说明了Meta-IS-AK算法能够很好地适用于隐式功能函数的情况。对于算例3.3，输入变量的的不确定性对于失效概率影响的重要性排序为TH>E>P>L>A。从图 4的结果可以看出，输入变量TH对失效概率的影响较其他输入变量的影响大很多，因此在进行可靠性设计时调整输入变量TH的不确定性可以更有效地满足可靠性要求。从图 4的结果还可以看出，L和A的不确定性对于失效概率的影响较其他的输入变量小很多，因此忽略L和A的不确定性对于失效概率的影响可以简化失效概率的求解模型。

4 结论

1) 可靠性全局灵敏度指标可以有效地衡量输入变量对于结构失效概率的影响。为了高效地计算可靠性全局灵敏度指标，本文提出了可靠性全局灵敏度指标计算的Meta-IS-AK算法。

2) Meta-IS-AK算法在计算可靠性全局灵敏度指标时充分利用了可靠性全局灵敏度指标贝叶斯算法的维度独立性，也使得该指标的求解转化为输出样本的分类问题，这就使可靠性全局灵敏度指标可以通过嵌入式代理模型结合数字模拟法来求解。相比于传统的重要抽样函数，元重要抽样法构造的准最优抽样密度函数能够很好地适用于多设计点和多失效域的情况。在此基础上构造重构的功能函数的代理模型能够准确地对准重要抽样密度函数抽取的样本进行分类，进一步地提高了失效概率的计算效率。M-H准则无需额外调用功能函数便可以将准重要抽样密度函数的失效样本转化成原概率密度函数的失效样本，大大提高了求解输入变量的失效条件概率密度函数的效率。

3) 所提方法能够很好地适用于多设计点和多失效域的情况，也适用于隐函数问题的可靠性灵敏度分析。所提方法的计算效率远远高于QMC算法，同时较AK-MCS算法以及Meta-IS算法也有提高。所给算例充分验证了以上结论。