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缩比模型模拟全尺寸飞机自动着舰的相似关系
左宪帅1, 王立新1, 刘海良1, 王云2, 张钰2     
1. 北京航空航天大学 航空科学与工程学院, 北京 100083;
2. 中国舰船研究设计中心, 武汉 430064
摘要: 由于直接采用全尺寸舰载机进行全自动着舰试验的风险较高,可以采用缩比模型模拟全尺寸飞机进行着舰的试验方案。基于相似系统原理,研究了缩比模型模拟全尺寸飞机着舰的相似关系,具体包括着舰导引律、自动驾驶仪、进近动力补偿系统与甲板运动补偿系统的增益以及航母运动与机舰相对运动参数的相似比例关系。以某算例舰载机及其缩比模型为算例,完成了各自着舰的数学仿真计算。结果表明,全尺寸飞机着舰数学仿真结果与缩比模型仿真结果满足运动相似关系,且各项参数的相似比例与推导结果一致,证明了本文研究结论的正确性。
关键词: 着舰     缩比模型     相似系统原理     相似关系     舰载机    
Similarity for simulating automatic carrier landing process of full-scale aircraft with scaled-model
ZUO Xianshuai1, WANG Lixin1, LIU Hailiang1, WANG Yun2, ZHANG Yu2     
1. School of Aeronautic Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100083, China;
2. China Ship Research and Design Center, Wuhan 430064, China
Abstract: Considering the high risk of automatic carrier landing test, a scheme to simulate the automatic carrier landing process of a full-size aircraft with its scaled-model is proposed. To realize this scheme, the similarity relations of automatic landing processes between full-size aircraft and scaled-model are deduced based on the similarity theory, including the similarity relations of automatic landing control law parameters, the similarity of carrier motion parameters, and the similarity of aircraft-carrier relative motion parameters. At last, applying the mathematical simulation models of a carrier-based early warning airplane and its scaled-model, their automatic landing processes are calculated, and the results show high similarity between their automatic landing processes in accordance with the analysis, proving that the similarities deduced in this paper are correct.
Keywords: carrier landing     scaled-model     similarity theory     similarities     carrier-based aircraft    

自动着舰是指舰载机在着舰系统的引导下,不需要驾驶员干预而完成着舰。在全自动着舰过程中,需要精确地控制舰载机的下滑航迹,且保持合适的着舰速度和着舰姿态[1];此时,飞机受到的环境扰动因素较多,既有航母甲板上的目标着舰点位置随着航母运动的实时变化[2-3],也有海面大气紊流和舰尾扰流导致的理想下滑航迹偏差[4-5]。舰载机自动着舰难度大、风险高,着舰事故率也远高于陆基飞机的着陆事故率,因此,开展着舰控制系统试验验证时,若直接进行全尺寸飞机的飞行试验将面临较大的风险[6]。考虑到自动着舰过程中驾驶员并不参与飞机的操纵,可以先利用缩比模型进行试验,初步模拟全尺寸飞机的自动着舰响应过程,以降低全尺寸飞机飞行试验的风险[7-8]

所谓缩比模型试验是指利用缩比模型与全尺寸飞机的动力学相似性,通过缩比模型的运动响应来估计全尺寸飞机的运动特性[9]。为了满足二者之间的动力学相似性,缩比模型的总体参数、飞行状态参数和飞行控制律参数等需与全尺寸飞机满足一定的相似比例,目前这方面的研究已经较为成熟[10]。但是,利用缩比模型模拟全尺寸飞机的着舰过程,还需要在目前缩比模型飞行试验技术的基础上进一步解决一些新的问题[11]。首先,机舰相对运动取决于着舰控制系统的作用。着舰控制律比飞机的飞行控制律更为复杂,引入的反馈信号更多,且包括增稳、姿态跟踪、航迹跟踪以及动力补偿、甲板运动补偿等多环控制律,需研究着舰控制律增益的相似关系;此外,目前的缩比模型试验仅关注飞机响应的相似性,而着舰关注的是舰载机与航母的相对运动,也需开展航母的运动参数以及机舰相对运动过程的相似关系研究。

针对以上问题,本文基于相似系统理论,开展了利用缩比模型模拟全尺寸飞机着舰的相似关系研究,包括着舰导引律、自动驾驶仪、进近动力补偿系统与甲板运动补偿系统增益的相似比例关系以及航母运动与机舰相对运动参数的相似比例关系。最后,以算例舰载机和其缩比模型为算例进行了着舰的数学仿真计算,结果表明,全尺寸飞机着舰的数学仿真结果与缩比模型仿真结果满足运动相似关系,且各项参数的相似比例与推导结果一致。本文的研究成果对于着舰控制系统的工程设计与验证均具有一定的理论参考价值。

1 着舰控制原理

着舰示意图如图 1所示:以甲板上的目标着舰点为起点,设计一条目标着舰航迹,该航迹位于着舰甲板跑道中心线所在的竖直平面内,并与甲板形成一定的夹角,指向航母侧后方。雷达测量飞机的实时位置,计算飞机位置与目标航迹的偏差,在着舰控制系统的作用下,消除飞机的航迹偏差,最终完成进近着舰。

图 1 着舰示意图 Fig. 1 Sketch map of carrier landing

自动着舰控制原理如图 2所示。整个控制系统主要包括4个部分:导引律、自动驾驶仪、进近动力补偿和甲板运动补偿。其中,甲板运动补偿和导引律二项为舰载系统,由这2个系统生成高度变化率与滚转角控制指令,控制指令由机舰数据链发送至机载飞控系统,由自动驾驶仪和进近动力补偿系统分别给出舵面和油门指令,操纵飞机消除与目标着舰航迹的高度偏差和侧向偏差,最终完成进近着舰[12]

图 2 着舰控制原理 Fig. 2 Control principle of carrier landing
2 着舰模拟的相似关系

对于舰载机的着舰而言,关注的是着舰控制系统作用下的机舰相对运动过程,因此,着舰模拟的相似关系包括舰载机运动的相似关系、着舰导引律、自动驾驶仪、进近动力补偿系统、甲板运动补偿系统增益的相似关系、航母运动的相似关系和机舰相对运动的相似关系等。其中,关于缩比模型与全尺寸飞机气动相似与运动相似关系的研究已较为成熟,已有相关文献发表[8, 10-13],本文将主要对其他几项相似关系的研究进行详细讨论。

2.1 舰载机运动特性相似关系

对于马赫数Ma小于0.4的起降状态下的缩比模型试验,为了保证缩比模型与全尺寸飞机满足运动相似关系,缩比模型的设计需满足一定的相似准则[10]

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{m_{\rm{s}}}}}{{l_{\rm{s}}^3{\rho _{\rm{s}}}}} = \frac{{{m_{\rm{f}}}}}{{l_{\rm{f}}^3{\rho _{\rm{f}}}}}\\ \frac{{{J_{\rm{s}}}}}{{l_{\rm{s}}^5{\rho _{\rm{s}}}}} = \frac{{{J_{\rm{f}}}}}{{l_{\rm{f}}^5{\rho _{\rm{f}}}}}\\ \frac{{V_{\rm{s}}^2}}{{{g_{\rm{s}}}{l_{\rm{s}}}}} = \frac{{V_{\rm{f}}^2}}{{{g_{\rm{f}}}{l_{\rm{f}}}}} \end{array} \right. $ (1)
 

式中:下标s和f分别代表缩比模型和全尺寸飞机;VlgρmJ分别为飞行速度、飞机尺寸、重力加速度、密度、质量、惯性矩。3个相似准则分别为质量相似、转动惯量相似和弗劳德数相同。

为了满足上述相似准则,缩比模型总体参数和飞行状态参数的设计需遵循如表 1所示的相似比例[13]。由表可知,定义缩比模型与全尺寸飞机翼展的比值为缩比率k,则其他参数的相似比例均可表示为k的幂次方。其中,设计参数的相似比例根据飞机外形相似、质量相似和转动惯量相似这3个相似准则得到,飞行状态的相似比例根据弗劳德数相等的相似准则得到。

表 1 缩比模型设计参数相似比例(缩比/全尺寸飞机)[13] Table 1 Proportions of scaled-model design parameters (scaled-model/full-size aircraft)[13]
缩比模型设计参数 相似比例
总体参数 机翼展长/m k
平均气动弦长/m k
机翼面积/m2 k2
质量/kg k3
惯性矩和惯性积/(kg·m2) k5
飞行状态参数 空气密度/(kg·m-3) 1
飞行速度/(m·s-1) k0.5

对于缩尺模型飞行试验,最期望的条件是缩比模型与全尺寸飞机的无量纲气动参数相同。这是由于缩比模型与全尺寸飞机在满足动力学相似的情况下,二者周围绕流流场满足流动相似[14]。流动相似是指两个流场的对应点上,对应瞬时所有表征流动状况的响应物理量都存在固定的比例关系[14]图 3所示为流动相似下机翼周围压强分布对比,可见对应点处压强存在比例关系,压强分布规律相同。

图 3 流动相似下流场压力分布对比 Fig. 3 Pressure distribution of flow field comparison under flow similarity

现以升力系数CL为例,推导证明缩比模型与全尺寸飞机无量纲气动参数相等。升力系数CL计算公式为

$ \frac{1}{2}\rho {V^2}S{C_L} = \int_0^b {{\rm{d}}b} \int_0^c {\sigma {\rm{d}}c} $ (2)
 
$ {C_L} = \frac{{\int_0^b {{\rm{d}}b} \int_0^c {\sigma {\rm{d}}c} }}{{\frac{1}{2}\rho {V^2}S}} \propto \frac{{\sigma cb}}{{\rho {V^2}S}} $ (3)
 

式中:σ代表机翼表面气动压强;c为弦长;b为展长;S为机翼面积;升力由机翼表面压强沿弦长和展长积分得到。

由式(3)可知,升力系数与机翼表面压强、展长、弦长、流体密度、飞行速度和机翼面积有关。因此,缩比模型和全尺寸飞机升力系数的比值可由以上物理量的比值得到,即

$ \frac{{{C_{L{\rm{\_s}}}}}}{{{C_{L{\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{\sigma _{\rm{s}}}}}{{{\sigma _{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{b_{\rm{s}}}}}{{{b_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{c_{\rm{s}}}}}{{{c_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{\rho _{\rm{f}}}}}{{{\rho _{\rm{s}}}}} \cdot \frac{{V_{\rm{f}}^2}}{{V_{\rm{s}}^2}} \cdot \frac{{{S_{\rm{f}}}}}{{{S_{\rm{s}}}}} $ (4)
 

图 3可知,机翼表面压力分布形状相似,表明对应点处压强的相似比例与弦长的相似比例相同,即

$ \frac{{{\sigma _{\rm{s}}}}}{{{\sigma _{\rm{f}}}}} = \frac{{{c_{\rm{s}}}}}{{{c_{\rm{f}}}}} = k $ (5)
 

前文已知展长、弦长、流体密度、飞行速度和机翼面积的相似比例,将各物理量的相似比例代入式(4),可证明缩比模型与全尺寸飞机升力系数相等,即

$ \frac{{{C_{L{\rm{\_s}}}}}}{{{C_{L{\rm{\_f}}}}}} = k \cdot k \cdot k \cdot 1 \cdot \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{{{k^2}}} = 1 $ (6)
 

采用类似的方法,可以证明缩比模型与全尺寸飞机其他无量纲气动参数也是相等的。

然而,模型缩比会导致飞机周围流场的雷诺数和马赫数发生变化,进而导致气动参数的差异,模型缩比率越小,二者尺寸差异越大,二者气动参数的差异越大。试验数据表明,对于马赫数小于0.4,缩比率大于1/13的缩比模型飞行试验,缩比模型与全尺寸飞机气动参数的差异可以忽略[8]

舰载机着舰和地面降落的主要区别是,舰载机在进入离甲板一个机翼展长的高度开始即受到地面效应的影响[15],地面效应会对飞机的气动参数造成影响[16-17]。因此,如果缩比模型的设计能保证其与全尺寸飞机气动参数的差异可以忽略,那么缩比模型也可以对全尺寸飞机着舰过程受到的地面效应进行模拟。

当缩比模型与全尺寸飞机满足运动相似关系时,二者运动特性的相似性体现为二者的时域响应存在一定的相似比例关系。利用量纲分析法,可以得出缩比模型和全尺寸飞机不同量纲物理量时域响应的相似比例,如表 2所示[13, 18]

表 2 时域响应参数相似比例(缩比/全尺寸)[13, 18] Table 2 Proportions of time-domain response variables (scaled-model/full-size aircraft)[13, 18]
变量 相似比例
时间 k0.5
长度 k
线速度 k0.5
线加速度 1
角度 1
角速度 k-0.5
角加速度 k-1

表 2可知,对于不同的响应变量,相似比例不同,均可表示为k的幂次方。如果按照上述比例,沿着时间轴和幅值轴,对缩比模型的响应曲线进行缩放,得到的曲线可与全尺寸飞机的响应曲线重合。

2.2 相似关系分析基本原理

相似第一定理和相似第二定理描述了动力学相似系统的描述方程应满足的关系[16, 19-20],因此这二条定理是各项相似关系分析的基本原理。

根据相似第二定理,如果一个物理现象可由n个物理量构成的物理方程描述,其中有m个物理量的量纲是相互独立的,则该物理现象可以用(n-m)个无量纲参数(π1π2,…πn-m)的关系式来描述[21]

设某一物理现象的方程为

$ f\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right) = 0 $ (7)
 

式中:x1x2,…,xm为该物理现象的m个量纲独立的物理量,其量纲可表示为[x1],[x2],…,[xm],其余(n-m)个物理量的量纲可用独立量纲幂次方的乘积表示:

$ \begin{array}{l} \left[ {{x_{i + m}}} \right] = {\left[ {{x_1}} \right]^{{k_{\left( {i + m} \right)1}}}}{\left[ {{x_2}} \right]^{{k_{\left( {i + m} \right)2}}}} \cdots {\left[ {{x_m}} \right]^{{k_{\left( {i + m} \right)m}}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,n - m \end{array} $ (8)
 

因此,其他物理量与基本物理量相除可以得到一个无量纲的参数:

$ {\pi _i} = \frac{{{x_{i + m}}}}{{x_1^{{k_{\left( {i + m} \right)1}}}x_2^{{k_{\left( {i + m} \right)2}}} \cdots x_m^{{k_{\left( {i + m} \right)m}}}}}\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,n - m $ (9)
 

剩余的(nm)个物理量就可以得到(nm)个对应的无量纲参数,该物理现象也可以用这(nm)个无量纲参数构成的关系式来描述[21]

$ \varphi \left( {{\pi _1},{\pi _2}, \ldots ,{\pi _{n - m}}} \right) = 0 $ (10)
 

根据相似第一定理,对相似的现象,其无量纲参数的数值相同[22]

$ {\pi _{{i_ - }s}} = {\pi _{{i_ - }{\rm{f}}}}\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,n - m $ (11)
 

综上所述,各项相似关系分析的基本原理是:缩比模型和全尺寸飞机机舰相对运动闭环系统的无量纲参数和无量纲描述方程应相等。

2.2.1 纵向导引律

纵向导引律的功能是根据飞机与目标着舰航迹的高度偏差Herr计算飞机高度变化率控制指令c,表达式为[11]

$ {{\dot H}_{\rm{c}}} = \left( {{K_{{\rm{HP}}}} + {K_{{\rm{HI}}}}\frac{1}{s} + {K_{{\rm{HD}}}}s} \right) \cdot {H_{{\rm{err}}}} $ (12)
 

式中:KHP为比例环节增益; KHI为积分环节增益; KHD为微分环节增益。

飞机飞行动力学方程可用函数表示为

$ f\left( {\rho ,\theta ,l,S,m,J,F,M,v,\omega ,t} \right) = 0 $ (13)
 

式中:包含了飞行过程中所有涉及到的物理量,包括参数值固定的量和响应变量;θ为角度量(如迎角、侧滑角等);l为长度量(如平均气动弦长、展长等定值量和飞机位移等响应变量); F为力; M为力矩; v为线速度量(如飞行速度、高度变化率等); ω为角速度量; t为时间。选取lρv为量纲独立量,根据相似第二定理,将剩余物理量除以基本物理量的幂次方以无量纲化。得到无量纲的力或力矩方程为

$ \varphi \left( {1,\theta ,1,\frac{S}{{{l^2}}},\frac{m}{{\rho {l^3}}},\frac{J}{{\rho {l^5}}},\frac{F}{{\rho {l^2}{v^2}}},\frac{M}{{\rho {l^3}{v^2}}},1,\frac{\omega }{{v/l}},\frac{t}{{l/v}}} \right) = 0 $ (14)
 

式中:各项均为无量纲参数。

将式(12)代入式(13),得到引入纵向导引律后的闭环系统描述方程为

$ f\left( {\rho , \cdots ,t,{K_{{\rm{HP}}}}{H_{{\rm{err}}}} + {K_{{\rm{HI}}}}\int_0^t {{H_{{\rm{err}}}}{\rm{d}}t} + {K_{{\rm{HD}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err}}}}}}{{{\rm{d}}t}}} \right) = 0 $ (15)
 

可见,引入导引律后,方程中出现与反馈变量Herr、反馈变量Herr随时间的积分项和微分项相关的新项。同样,对闭环描述方程进行无量纲化,原有项的无量纲化结果不变,代入的项为导引律方程生成的c,其量纲为线速度量,因此将该项除以v,可以将该项无量纲化,从而得到闭环无量纲化描述方程为

$ \varphi \left( {1, \cdots ,\frac{t}{{l/v}},\frac{{{K_{{\rm{HP}}}}{H_{{\rm{err}}}} + {K_{{\rm{HI}}}}\int_0^t {{H_{{\rm{err}}}}{\rm{d}}t} + {K_{{\rm{HD}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err}}}}}}{{{\rm{d}}t}}}}{v}} \right) = 0 $ (16)
 

根据相似第一定理,缩比模型与全尺寸飞机对应无量纲参数相等。闭环无量纲化描述方程中,原有的无量纲参数是一一对应的,因此,新添加的无量纲参数也应相等,即

$ \begin{array}{l} \frac{{{K_{{\rm{HP\_s}}}}{H_{{\rm{err\_s}}}} + {K_{{\rm{HI\_s}}}}\int_0^{{t_{\rm{s}}}} {{H_{{\rm{err\_s}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}} + {K_{{\rm{HD\_s}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err\_s}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}}}{{{v_{\rm{s}}}}} = \\ \;\;\;\;\;\frac{{{K_{{\rm{HP\_f}}}}{H_{{\rm{err\_f}}}} + {K_{{\rm{HI\_f}}}}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {{H_{{\rm{err\_f}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}} + {K_{{\rm{HD\_f}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} \end{array} $ (17)
 

对式(17)进行变换,得到纵向导引律中比例、积分和微分环节增益所应满足的关系式:

$ \frac{{{K_{{\rm{HP\_s}}}}{H_{{\rm{err\_s}}}} + {K_{{\rm{HI\_s}}}}\int_0^{{t_{\rm{s}}}} {{H_{{\rm{err\_s}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}} + {K_{{\rm{HD\_s}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err\_s}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}}}{{{K_{{\rm{HP\_f}}}}{H_{{\rm{err\_f}}}} + {K_{{\rm{HI\_f}}}}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {{H_{{\rm{err\_f}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}} + {K_{{\rm{HD\_f}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} $ (18)
 

根据比例性质定理中的等比性质,有[23]

$ \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \cdots = \frac{{{a_5}}}{{{a_6}}} = \frac{{{a_1} + {a_3} + \cdots + {a_5}}}{{{a_2} + {a_4} + \cdots + {a_6}}} $ (19)
 

因此,为了满足式(18),分子和分母中的对应项应满足如下关系:

$ \frac{{{K_{{\rm{HP\_s}}}}{H_{{\rm{err\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{HP\_f}}}}{H_{{\rm{err\_f}}}}}} = \frac{{{K_{{\rm{HI\_s}}}}\int_0^{{t_{\rm{s}}}} {{H_{{\rm{err\_s}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}} }}{{{K_{{\rm{HI\_f}}}}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {{H_{{\rm{err\_f}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}} }} = \frac{{{K_{{\rm{HD\_s}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err\_s}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}}}{{{K_{{\rm{HD\_f}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} $ (20)
 

由式(20)中第1项和第4项相等,有

$ \frac{{{K_{{\rm{HP\_s}}}}{H_{{\rm{err\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{HP\_f}}}}{H_{{\rm{err\_f}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} $ (21)
 

可以得到比例环节增益的相似比例为

$ \frac{{{K_{{\rm{HP\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{HP\_f}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{H_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{H_{{\rm{err\_s}}}}}} $ (22)
 

由式(20)中第2项和第4项相等,有

$ \frac{{{K_{{\rm{HI\_s}}}}\int_0^{{t_{\rm{s}}}} {{H_{{\rm{err\_s}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}} }}{{{K_{{\rm{HI\_f}}}}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {{H_{{\rm{err\_f}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}} }} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} $ (23)
 

高度量对时间的积分与高度量和时间均呈正比关系:

$ \int_0^t {{H_{{\rm{err}}}}{\rm{d}}t} \propto {H_{{\rm{err}}}} \cdot t $ (24)
 

将式(24)代入式(23),有

$ \frac{{{K_{{\rm{HI\_s}}}}\int_0^{{t_{\rm{s}}}} {{H_{{\rm{err\_s}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}} }}{{{K_{{\rm{HI\_f}}}}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {{H_{{\rm{err\_f}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}} }} = \frac{{{K_{{\rm{HI\_s}}}} \cdot {H_{{\rm{err\_s}}}} \cdot {t_{\rm{s}}}}}{{{K_{{\rm{HI\_f}}}} \cdot {H_{{\rm{err\_f}}}} \cdot {t_{\rm{f}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} $ (25)
 

根据式(25)可以得到积分项增益的相似比例为

$ \frac{{{K_{{\rm{H}}{{\rm{I}}_ - }{\rm{s}}}}}}{{{K_{{\rm{H}}{{\rm{I}}_ - }{\rm{f}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{H_{{\rm{er}}{{\rm{r}}_ - }{\rm{f}}}}}}{{{H_{{\rm{er}}{{\rm{r}}_ - }{\rm{s}}}}}} \cdot \frac{{{t_{\rm{f}}}}}{{{t_{\rm{s}}}}} $ (26)
 

高度量对时间的微分与高度量呈正比,与时间呈反比,因此:

$ \frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err}}}}}}{{{\rm{d}}t}} \propto \frac{{{H_{{\rm{err}}}}}}{t} $ (27)
 

将式(27)代入式(20),有

$ \frac{{{K_{{\rm{HD\_s}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err\_s}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}}}{{{K_{{\rm{HD\_f}}}}\frac{{{\rm{d}}{H_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}}}} = \frac{{{K_{{\rm{HD\_s}}}}\frac{{{H_{{\rm{err\_s}}}}}}{{{t_{\rm{s}}}}}}}{{{K_{{\rm{HD\_f}}}}\frac{{{H_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{t_{\rm{f}}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} $ (28)
 

根据式(28)可以得到微分项增益的相似比例为

$ \frac{{{K_{{\rm{HD\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{HD\_f}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{H_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{H_{{\rm{err\_s}}}}}} \cdot \frac{{{t_{\rm{s}}}}}{{{t_{\rm{f}}}}} $ (29)
 

可知,各环节增益相似比例与飞机本体的速度、时间以及反馈高度量的相似关系有关。

表 2中可知,速度量的相似比例为k0.5,时间的相似比例为k0.5,高度为长度量,相似比例为k,代入到式(22)、式(26)和式(29)中,可以得到纵向导引律各增益的相似比例为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{K_{{\rm{HP\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{HP\_f}}}}}} = {k^{ - 0.5}}\\ \frac{{{K_{{\rm{HI\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{HI\_f}}}}}} = {k^{ - 1}}\\ \frac{{{K_{{\rm{HD\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{HD\_f}}}}}} = 1 \end{array} \right. $ (30)
 
2.2.2 侧向导引律

侧向导引律的功能是根据飞机与目标着舰航迹的侧向位移偏差yerr计算飞机滚转姿态角指令ϕc,表达式为[11]

$ {\phi _{\rm{c}}} = \left( {{K_{{\rm{YP}}}} + {K_{{\rm{YI}}}}\frac{1}{s} + {K_{{\rm{YD}}}}s} \right) \cdot {y_{{\rm{err}}}} $ (31)
 

式中:KYP为比例环节增益; KYI为积分环节增益; KYD为微分环节增益。

与纵向导引律类似,可以得到引入侧向导引律方程后的无量纲化的闭环描述方程为

$ \varphi \left( {\theta , \cdots ,\frac{t}{{l/v}},\frac{{{K_{{\rm{YP}}}}{y_{{\rm{err}}}} + {K_{{\rm{YI}}}}\int_0^t {{y_{{\rm{err}}}}} {\rm{d}}t + {K_{{\rm{YD}}}}\frac{{{\rm{d}}{y_{{\rm{err}}}}}}{{{\rm{d}}t}}}}{\phi }} \right) = 0 $ (32)
 

可知,与纵向导引律不同,引入的新的项的量纲为角度,因此侧向导引律各增益的相似比例与飞机本体角度、时间以及反馈侧向位移响应的相似关系有关:

$ \frac{{{K_{{\rm{YP\_s}}}}{y_{{\rm{err\_s}}}} + {K_{{\rm{YI\_s}}}}\int_0^{{t_{\rm{s}}}} {{y_{{\rm{err\_s}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}} + {K_{{\rm{YD\_s}}}}\frac{{{\rm{d}}{y_{{\rm{err\_s}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}}}{{{K_{{\rm{YP\_f}}}}{y_{{\rm{err\_f}}}} + {K_{{\rm{YI\_f}}}}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {{y_{{\rm{err\_f}}}}{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}} + {K_{{\rm{YD\_f}}}}\frac{{{\rm{d}}{y_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}}}} = \frac{{{\phi _{\rm{s}}}}}{{{\phi _{\rm{f}}}}} $ (33)
 

根据式(33)和表 2,可以得到侧向导引律各增益的相似比例为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{K_{{\rm{YP\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{YP\_f}}}}}} = \frac{{{\phi _{\rm{s}}}}}{{{\phi _{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{y_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{y_{{\rm{err\_s}}}}}} = {k^{ - 1}}\\ \frac{{{K_{{\rm{YI\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{YI\_f}}}}}} = \frac{{{\phi _{\rm{s}}}}}{{{\phi _{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{y_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{y_{{\rm{err\_s}}}}}} \cdot \frac{{{t_{\rm{f}}}}}{{{t_{\rm{s}}}}} = {k^{ - 1.5}}\\ \frac{{{K_{{\rm{YD\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{YD\_f}}}}}} = \frac{{{\phi _{\rm{s}}}}}{{{\phi _{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{y_{{\rm{err\_f}}}}}}{{{y_{{\rm{err\_s}}}}}} \cdot \frac{{{t_{\rm{s}}}}}{{{t_{\rm{f}}}}} = {k^{ - 0.5}} \end{array} \right. $ (34)
 
2.3 自动驾驶仪增益相似比例 2.3.1 纵向自动驾驶仪

纵向自动驾驶仪结构如图 4所示[11],包括内环和外环。舰载机飞行包线较大,其着舰状态下的飞机本体特性通常无法达到一级飞行品质要求,必须加入内环增稳控制设计以获得良好的飞行品质[24]。其中引入迎角α反馈,可以增大飞机纵向短周期运动的固有频率,改善飞机的纵向静稳定性,引入俯仰角速度q反馈则主要改善飞机的俯仰阻尼特性[21]

图 4 纵向自动驾驶仪结构[11] Fig. 4 Structure of longitudinal direction autopilot system[11]
$ {\delta _{\rm{e}}} = {K_\alpha }\alpha + {K_q}q $ (35)
 

引入内环增稳控制律后,无量纲化的闭环描述方程为

$ \varphi \left( {1, \cdots ,\frac{t}{{l/v}},\frac{{{K_\alpha }\alpha + {K_q}q}}{{{\delta _{\rm{e}}}}}} \right) = 0 $ (36)
 

可知各反馈增益相似比例与飞机迎角、俯仰角速率以及升降舵偏角响应的相似关系有关:

$ \frac{{{K_{\alpha \_{\rm{s}}}}{\alpha _{\rm{s}}} + {K_{q\_{\rm{s}}}}{q_{\rm{s}}}}}{{{K_{\alpha \_{\rm{f}}}}{\alpha _{\rm{f}}} + {K_{q\_{\rm{f}}}}{q_{\rm{f}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{e\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{e\_f}}}}}} $ (37)
 

根据式(37)和表 2,可以得到各增益的相似比例为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{K_{\alpha \_{\rm{s}}}}}}{{{K_{\alpha \_{\rm{f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{e\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{e\_f}}}}}} \cdot \frac{{{\alpha _{\rm{f}}}}}{{{\alpha _{\rm{s}}}}} = 1}\\ {\frac{{{K_{q\_{\rm{s}}}}}}{{{K_{q\_{\rm{f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{e\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{e\_f}}}}}} \cdot \frac{{{q_{\rm{f}}}}}{{{q_{\rm{s}}}}} = {k^{0.5}}} \end{array}} \right. $ (38)
 

外环根据纵向引导律给出的高度变化率指令c,以及飞机惯导系统测得的信号,计算得到高度变化率的误差量err并通过比例环节增益转换为升降舵的操纵指令,输入自动驾驶仪内环,从而实现航迹跟踪控制[24]

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot H}_{{\rm{err}}}} = {{\dot H}_{\rm{c}}} - \left( {{K_H}\dot H + {K_H}\ddot H} \right)\\ {\delta _{\rm{e}}} = {K_{\dot H\_{\rm{err}}}}{{\dot H}_{{\rm{err}}}} \end{array} \right. $ (39)
 

引入外环控制律后,无量纲化的闭环描述方程为

$ \varphi \left( {1, \cdots ,\frac{t}{{l/v}},\frac{{{K_{\dot H}}\dot H + {K_{\ddot H}}\ddot H}}{v},\frac{{_{\dot H{\rm{\_err}}}{{\dot H}_{{\rm{err}}}}}}{{{\delta _{\rm{e}}}}}} \right) = 0 $ (40)
 

可知新引入了两项,量纲分别为速度量和角度量,因此外环各增益的相似比例与飞机本体的速度量、角度量和加速度量响应的相似关系有关:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{K_{\dot H{\rm{\_s}}}}{{\dot H}_{\rm{s}}} + {K_{{{\dot H}_ - }}}{{\dot H}_{\rm{s}}}}}{{{K_{\dot H{\rm{\_f}}}}{{\dot H}_{\rm{f}}} + {K_{{{\dot H}_ - }{\rm{f}}}}{{\dot H}_{\rm{f}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}}\\ \frac{{{K_{\dot H{\rm{\_err\_s}}}}{{\dot H}_{{\rm{er}}{{\rm{r}}_ - }{\rm{s}}}}}}{{{K_{\dot H{\rm{\_err\_f}}}}{{\dot H}_{{\rm{er}}{{\rm{r}}_ - }{\rm{f}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{e}}}}}{{{\delta _{{{\rm{e}}_ - }{\rm{f}}}}}} \end{array} \right. $ (41)
 

根据式(41)和表 2,可以得到各增益的相似比例为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{K_{\dot H{\rm{\_s}}}}}}{{{K_{\dot H{\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{{\dot H}_{\rm{f}}}}}{{{{\dot H}_{\rm{s}}}}} = 1\\ \frac{{{K_{\dot H{\rm{\_s}}}}}}{{{K_{\dot H{\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}}}}{{{v_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{{\ddot H}_{\rm{f}}}}}{{{{\ddot H}_{\rm{s}}}}} = {k^{0.5}}\\ \frac{{{K_{\dot H{\rm{\_err\_s}}}}}}{{{K_{\dot H{\rm{\_err\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{e\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{e\_f}}}}}} \cdot \frac{{{{\dot H}_{{\rm{er}}{{\rm{r}}_ - }{\rm{f}}}}}}{{{{\dot H}_{{\rm{er}}{{\rm{r}}_ - }{\rm{s}}}}}} = {k^{ - 0.5}} \end{array} \right. $ (42)
 
2.3.2 横航向自动驾驶仪

横航向自动驾驶仪结构如图 5所示[11],同样也包括内环和外环。

图 5 横航向自动驾驶仪结构[11] Fig. 5 Structure of lateral direction autopilot system[11]

横航向自动驾驶仪内环包括2个操纵通道:副翼为主要操纵舵面,方向舵为辅助操纵舵面。

副翼通道以滚转角速度p为反馈信号,以改善滚转阻尼特性[25]

$ {\delta _{\rm{a}}} = {K_p}p $ (43)
 

引入反馈后的无量纲化的闭环描述方程为

$ \varphi \left( {1, \cdots ,\frac{t}{{l/v}},\frac{{{K_p}p}}{{{\delta _{\rm{a}}}}}} \right) = 0 $ (44)
 

可知滚转角速度反馈增益相似比例与飞机滚转角速率以及副翼偏角响应的相似关系有关:

$ \frac{{{K_{p{\rm{\_s}}}}{p_{\rm{s}}}}}{{{K_{p{\rm{\_f}}}}{p_{\rm{f}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{a\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{a\_f}}}}}} $ (45)
 

根据式(45)和表 2,可以得到滚转角速度反馈增益的相似比例为

$ \frac{{{K_{p{\rm{\_s}}}}}}{{{K_{p{\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{a\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{a\_f}}}}}} = \frac{{{p_{\rm{f}}}}}{{{p_{\rm{s}}}}} = {k^{0.5}} $ (46)
 

方向舵通道反馈信号为侧滑角β和偏航角速度r,前者可以提高航向静稳定性,增加荷兰滚模态的频率,并消除侧滑角,后者可改善偏航轴阻尼特性。方向舵还引入与副翼指令的交联控制增益Kari,执行协调控制任务,实现无侧滑飞行[25]

$ {\delta _{\rm{r}}} = {K_\beta }\beta + {K_r}r + {K_{{\rm{ari}}}}{\delta _{\rm{a}}} $ (47)
 

引入方向舵通道控制律后的无量纲化的闭环描述方程为

$ \varphi \left( {1, \cdots ,\frac{t}{{l/v}},\frac{{{K_\beta }\beta + {K_r}r + {K_{{\rm{ari}}}}{\delta _{\rm{a}}}}}{{{\delta _{\rm{r}}}}}} \right) = 0 $ (48)
 

可知各反馈增益相似比例与飞机侧滑角、偏航角速率、副翼以及方向舵偏角响应的相似关系有关:

$ \frac{{{K_{\beta {\rm{\_s}}}}{\beta _{\rm{s}}} + {K_{r{\rm{\_s}}}}{r_{\rm{s}}} + {K_{{\rm{ari\_s}}}}{\delta _{{\rm{a\_s}}}}}}{{{K_{\beta {\rm{\_f}}}}{\beta _{\rm{f}}} + {K_{r{\rm{\_f}}}}{r_{\rm{f}}} + {K_{{\rm{ari\_f}}}}{\delta _{{\rm{a\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{r\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{r\_f}}}}}} $ (49)
 

根据式(49)和表 2,可以得到各环节增益的相似比例为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{K_{\beta {\rm{\_s}}}}}}{{{K_{\beta {\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{r\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{r\_f}}}}}} \cdot \frac{{{\beta _{\rm{f}}}}}{{{\beta _{\rm{s}}}}} = 1}\\ {\frac{{{K_{r{\rm{\_s}}}}}}{{{K_{r{\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{r\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{r\_f}}}}}} \cdot \frac{{{r_{\rm{f}}}}}{{{r_{\rm{s}}}}} = {k^{0.5}}}\\ {\frac{{{K_{{\rm{ari\_s}}}}}}{{{K_{{\rm{ari\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{r\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{r\_f}}}}}} \cdot \frac{{{\delta _{{\rm{a\_f}}}}}}{{{\delta _{{\rm{a\_s}}}}}} = 1} \end{array}} \right. $ (50)
 

外环根据飞机当前滚转角ϕ和导引律给出的滚转角指令ϕc计算得到滚转角的误差量,通过比例增益转化为副翼操纵指令后即可作为内环的控制输入[24]

$ {\delta _{\rm{a}}} = {K_\phi }\left( {{\phi _{\rm{c}}} - \phi } \right) $ (51)
 

引入外环控制律后的无量纲化的闭环描述方程为

$ \varphi \left( {1, \cdots ,\frac{t}{{l/v}},\frac{{{K_\phi }\phi }}{{{\delta _{\rm{a}}}}}} \right) = 0 $ (52)
 

可知反馈增益相似比例与飞机滚转角和副翼偏角响应的相似关系有关:

$ \frac{{{K_{\phi {\rm{\_s}}}} \cdot {\phi _{\rm{s}}}}}{{{K_{\phi {\rm{\_f}}}} \cdot {\phi _{\rm{f}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{a\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{a\_f}}}}}} $ (53)
 

根据式(53)和表 2,可以得到其增益的相似比例为

$ \frac{{{K_{\phi {\rm{\_s}}}}}}{{{K_{\phi {\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{a\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{a\_f}}}}}} \cdot \frac{{{\phi _{\rm{f}}}}}{{{\phi _{\rm{s}}}}} = 1 $ (54)
 
2.4 进近动力补偿系统增益相似比例

进近动力补偿系统的目的是消除舰载机进近着舰时的轨迹不稳定性。飞行力学理论表明,当飞机速度小于最小阻力空速时,若油门不变,飞机将进入速度不稳定状态,即“速度反区”。此时,飞机仅依靠内外环控制系统不能保持飞行航迹和姿态的稳定,需要发动机同时进行动力补偿,以保持空速和迎角不变,从而保持航迹稳定。进近动力补偿系统结构如图 6所示。

图 6 进近动力补偿系统结构 Fig. 6 Structure of approach power compensator system

以迎角为反馈信号,控制油门以保持舰载机着舰迎角恒定,可以同时很好地保持速度恒定。此外,引入了法向过载增量反馈。在迎角恒定的情况下,法向过载变化主要由速度变化导致,将法向过载增量反馈至油门,相当于将速度这一长周期变量的变化率反馈至油门,可以改善飞机长周期运动的阻尼。引入了升降舵偏角反馈,目的是对纵向俯仰操纵所引起的飞行速度、迎角变化进行提前补偿[11]

$ {\delta _{\rm{p}}} = \left( {{K_{\alpha {\rm{P}}}} + {K_{\alpha {\rm{I}}}}\frac{1}{s}} \right)\Delta \alpha + {K_{{n_z}}}\Delta {n_z} + {K_{{\delta _{\rm{e}}}}}{\delta _{\rm{e}}} $ (55)
 

引入进近动力补偿后的无量纲化的闭环描述方程为

$ \varphi \left( {1, \cdots ,\frac{t}{{l/v}},\frac{{{K_{\alpha {\rm{P}}}}\Delta \alpha + {K_{\alpha {\rm{I}}}}\int_0^{{t_{\rm{s}}}} {\Delta \alpha {\rm{d}}t} + {K_{{n_z}}}\Delta {n_z} + {K_{{\delta _{\rm{e}}}}}{\delta _{\rm{e}}}}}{{{\delta _{\rm{p}}}}}} \right) = 0 $ (56)
 

可知各增益的相似比例与飞机本体迎角、过载、响应时间、油门以及升降舵偏角响应的相似关系有关:

$ \frac{{{K_{\alpha {\rm{P\_s}}}}{\alpha _{\rm{s}}} + {K_{\alpha {\rm{I\_s}}}}\int_0^{{t_{\rm{s}}}} {{\alpha _{\rm{s}}}{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}} + {K_{{n_z}{\rm{\_s}}}}{n_{z\_{\rm{s}}}} + {K_{{\delta _{\rm{e}}}{\rm{\_s}}}}{n_{{\rm{e\_s}}}}}}{{{K_{\alpha {\rm{P\_f}}}}{\alpha _{\rm{f}}} + {K_{\alpha {\rm{I\_f}}}}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {{\alpha _{\rm{s}}}{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}} + {K_{{n_z}{\rm{\_f}}}}{n_{z\_{\rm{f}}}} + {K_{{\delta _{\rm{e}}}{\rm{\_f}}}}{n_{{\rm{e\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{p\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{p\_f}}}}}} $ (57)
 

根据式(57)和表 2,可以得到各环节增益的相似比例:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{K_{\alpha {\rm{P\_s}}}}}}{{{K_{\alpha {\rm{P\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{p\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{p\_f}}}}}} \cdot \frac{{{\alpha _{\rm{f}}}}}{{{\alpha _{\rm{s}}}}} = 1\\ \frac{{{K_{\alpha {\rm{I\_s}}}}}}{{{K_{\alpha {\rm{I\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{p\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{p\_f}}}}}} \cdot \frac{{{\alpha _{\rm{f}}}}}{{{\alpha _{\rm{s}}}}} \cdot \frac{{{t_{\rm{f}}}}}{{{t_{\rm{s}}}}} = {k^{ - 0.5}}\\ \frac{{{K_{{n_z}{\rm{\_s}}}}}}{{{K_{{n_z}{\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{p\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{p\_f}}}}}} \cdot \frac{{{n_{z\_{\rm{f}}}}}}{{{n_{z\_{\rm{s}}}}}} = 1\\ \frac{{{K_{{\delta _{\rm{e}}}{\rm{\_s}}}}}}{{{K_{{\delta _{\rm{e}}}{\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{\delta _{{\rm{p\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{p\_f}}}}}} \cdot \frac{{{\delta _{{\rm{e\_s}}}}}}{{{\delta _{{\rm{e\_f}}}}}} = 1 \end{array} \right. $ (58)
 
2.5 甲板运动补偿系统增益相似比例

舰载机需要精确降落在航行中的航母甲板上,这是其有别于陆基飞机的一个最主要的特点。由于飞行甲板上的理想着舰点位置将随航母的摇晃和振荡运动而实时发生变化,这会提高着舰控制的难度,降低着舰精度,严重时可能导致着舰失败,威胁舰载机着舰的安全[5]

舰载跟踪雷达一般布置在舰上的稳定平台上,以避免航母运动引起的姿态变化对测量结果带来的不利影响,故输入引导律中机舰相对位置关系不包含甲板运动造成的理想着舰点位置偏差,因此需要通过引入甲板运动补偿指令,将航母甲板运动对理想着舰的影响补偿到控制指令中,从而使着舰飞行轨迹能够跟随甲板的运动,提高着舰精度。常用的甲板运动补偿形式为[26]

$ \left\{ \begin{array}{l} {G_{{\rm{DMC}}}}\left( s \right) = {K_{{\rm{DMC}}}}{G_1}\left( s \right){G_2}\left( s \right){G_3}\left( s \right)\\ {G_1}\left( s \right) = \frac{1}{{{\tau _{{\rm{DMC}}}}s + 1}}\\ {G_2}\left( s \right) = \frac{{\frac{{{s^2}}}{{\omega _{{\rm{DMC}}}^2}} + \frac{{2{\xi _{{\rm{DMC}}}}}}{{{\omega _{{\rm{DMC}}}}}}s + 1}}{{{{\left( {{\tau _n}s + 1} \right)}^2}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{{\tau _n}s + 1}} \cdot \frac{{\frac{{{s^2}}}{{\omega _{{\rm{DMC}}}^2}} + \frac{{2{\xi _{{\rm{DMC}}}}}}{{{\omega _{{\rm{DMC}}}}}}s + 1}}{{{\tau _n}s + 1}}\\ {G_3}\left( s \right) = \frac{{{\alpha _{{\rm{DMC}}}}{T_{{\rm{DMC}}}}s + 1}}{{{T_{{\rm{DMC}}}}s + 1}} \end{array} \right. $ (59)
 

式中:KDMC为甲板运动补偿器的增益,调节KDMC的值可以使飞行轨迹跟随甲板运动的稳态响应误差满足要求;G1(s)是一个低通滤波器,作用是抑制高频噪声的干扰; τDMC是滤波器的时间常数;G2(s)是对低通滤波器的补偿环节,此项的作用为补偿低通滤波器环节造成的相位滞后,并进一步补偿原自动着舰系统在0.1~1 rad/s频率范围内的相位滞后,它与低通滤波器一起可以看作一个补偿滤波网络,ξDMC为补偿滤波器的阻尼,ωDMC为补偿滤波器的自然频率;G3(s)是一个相位超前网络,它用来对系统的相位作最后的调整,从而使飞机的相位在工作频段上与甲板运动同步。

由式(59)可知,甲板运动补偿环节包含一个比例环节、若干个一阶惯性环节和微分环节,因此,对模型进行推导,有

$ \begin{array}{l} G\left( s \right) = \frac{Y}{{{X_{{\rm{cmd}}}}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{K}{{\tau s + 1}}\left( {{k_n}{s^n} + {k_{n - 1}}{s^{n - 1}} + \cdots + {k_1}s + 1} \right) \end{array} $ (60)
 

式中:Xcmd为系统输入量;Y为系统输出量。该模型包含一个比例环节,一个一阶惯性环节和一个n阶微分环节,包含了甲板运动补偿系统中的所有基本环节。甲板运动补偿系统相当于若干个该模型的串联组合[27]

将式(60)转化为微分方程的形式:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}X}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{1}{\tau }\left( {{X_{{\rm{cmd}}}} - X} \right)\\ Y = K\left( {{k_n}\frac{{{{\rm{d}}^n}X}}{{{\rm{d}}{t^n}}} + {k_{n - 1}}\frac{{{{\rm{d}}^{n - 1}}X}}{{{\rm{d}}{t^{n - 1}}}} + \cdots + {k_1}\frac{{{\rm{d}}X}}{{{\rm{d}}t}} + X} \right) \end{array} \right. $ (61)
 

式中:第1式为状态方程,根据式(60)的分母得到,本质上为一阶惯性环节,X为系统状态变量;第2式为输出方程,根据式(60)的分子得到,本质上为状态变量X不同阶次微分项之和。

首先,对微分方程式(61)进行无量纲化处理。根据微分方程的量纲齐次性原理,方程中各项的量纲相同,将方程中所有项除以其中任意一项,则方程化为无量纲形式。因此,无量纲化微分方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{X_{{\rm{cmd}}}}}}{X} - \frac{\tau }{X} \cdot \frac{{{\rm{d}}X}}{{{\rm{d}}t}} = 1\\ \frac{K}{Y}\left( {{k_n}\frac{{{{\rm{d}}^n}X}}{{{\rm{d}}{t^n}}} + {k_{n - 1}}\frac{{{{\rm{d}}^{n - 1}}X}}{{{\rm{d}}{t^{n - 1}}}} + \cdots + {k_1}\frac{{{\rm{d}}X}}{{{\rm{d}}t}} + X} \right) = 1 \end{array} \right. $ (62)
 

根据相似第一定理和相似第二定理,缩比模型和全尺寸飞机的甲板运动补偿系统的无量纲化描述方程应相等,因此,缩比模型和全尺寸飞机方程式(62)中的对应项应相等,即

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{X_{{\rm{cmd\_s}}}}}}{{{x_{\rm{s}}}}} = \frac{{{X_{{\rm{cmd\_f}}}}}}{{{x_{\rm{f}}}}}\\ \frac{{{\tau _{\rm{s}}}}}{{{x_{\rm{s}}}}} \cdot \frac{{{\rm{d}}{X_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}} = \frac{{{\tau _{\rm{f}}}}}{{{x_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{\rm{d}}{X_{\rm{f}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}}\\ \frac{{{K_{\rm{s}}}}}{{{Y_{\rm{s}}}}}{X_{\rm{s}}} = \frac{{{K_{\rm{f}}}}}{{{Y_{\rm{f}}}}}{X_{\rm{f}}}\\ \frac{{{K_{\rm{s}}}}}{{{y_{\rm{s}}}}}{k_{i{\rm{\_s}}}}\frac{{{{\rm{d}}^i}{X_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}t_{\rm{s}}^i}} = \frac{{{K_{\rm{f}}}}}{{{y_{\rm{f}}}}}{k_{i{\rm{\_f}}}}\frac{{{{\rm{d}}^i}{X_{\rm{f}}}}}{{{\rm{d}}t_{\rm{f}}^i}}\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,n \end{array} \right. $ (63)
 

根据甲板运动补偿系统的设计原理,输入量为目标着舰点的位移,输出量为飞机高度和侧向位移指令,均为长度量,根据表 2,缩比模型和全尺寸飞机的输入和输出量以及系统响应时间应满足如下相似比例关系:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{X_{{\rm{cmd\_s}}}}}}{{{X_{{\rm{cmd\_f}}}}}} = \frac{{{Y_{\rm{s}}}}}{{{Y_{\rm{f}}}}} = k}\\ {\frac{{{t_{\rm{s}}}}}{{{t_{\rm{f}}}}} = {k^{0.5}}} \end{array}} \right. $ (64)
 

由式(63)的第1式和式(64)的第1式,可以得到系统状态变量x的相似比例为

$ \frac{{{X_{\rm{s}}}}}{{{X_{\rm{f}}}}} = k $ (65)
 

由式(63)的第2式和式(64)的第2式,可以得到一阶微分环节时间常数的相似比例为

$ \frac{{{\tau _{\rm{s}}}}}{{{\tau _{\rm{f}}}}} = \frac{{{t_{\rm{s}}}}}{{{t_{\rm{f}}}}} = {k^{0.5}} $ (66)
 

由式(63)的第3式,可知比例增益的相似比例为1,即

$ \frac{{{K_{\rm{s}}}}}{{{K_{\rm{f}}}}} = \frac{{{Y_{\rm{s}}}}}{{{Y_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{X_{\rm{f}}}}}{{{X_{\rm{s}}}}} = 1 $ (67)
 

由式(63)的第4式可得到不同阶次微分项增益的相似比例为

$ \begin{array}{l} \frac{{{k_{i{\rm{\_s}}}}}}{{{k_{i{\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{K_{\rm{f}}}}}{{{K_{\rm{s}}}}} \cdot \frac{{{Y_{\rm{s}}}}}{{{Y_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{X_{\rm{f}}}}}{{{X_{\rm{s}}}}} \cdot {\left( {\frac{{{t_{\rm{s}}}}}{{{t_{\rm{f}}}}}} \right)^i} = {k^{0.5i}}\\ \;\;\;\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,n \end{array} $ (68)
 

下面,将根据以上结论分析甲板运动补偿系统参数的相似比例。

τDMCτnTDMC这3个参数均为一阶惯性环节的时间常数,根据式(66),这3个参数的相似比例均为k0.5

$ \frac{{{\tau _{{\rm{DMC\_s}}}}}}{{{\tau _{{\rm{DMC\_f}}}}}} = \frac{{{\tau _{n{\rm{\_s}}}}}}{{{\tau _{n{\rm{\_f}}}}}} = \frac{{{T_{{\rm{DMC\_s}}}}}}{{{T_{{\rm{DMC\_f}}}}}} = {k^{0.5}} $ (69)
 

根据式(67),可知KDMC的相似比例为1,即

$ {K_{{\rm{DMC\_s}}}} = {K_{{\rm{DMC\_f}}}} $ (70)
 

根据式(68),可以算出一阶和二阶微分项增益的相似比例为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{k_{{\rm{1\_s}}}}}}{{{k_{{\rm{1\_f}}}}}} = {k^{0.5}}}\\ {\frac{{{k_{{\rm{2\_s}}}}}}{{{k_{{\rm{2\_f}}}}}} = k} \end{array}} \right. $ (71)
 

式(59)中的一阶微分项增益包括:

$ \frac{{{\alpha _{{\rm{DMC\_s}}}}{T_{{\rm{DM}}{{\rm{C}}_{\rm{S}}}}}}}{{{\alpha _{{\rm{DM}}{{\rm{C}}_ - }}}{T_{{\rm{DM}}{{\rm{C}}_ - }{\rm{f}}}}}} = \frac{{2{\xi _{{\rm{DM}}{{\rm{C}}_{ - {\rm{S}}}}}}}}{{{\omega _{{\rm{DM}}{{\rm{C}}_{ - {\rm{S}}}}}}}}/\frac{{2{\xi _{{\rm{DM}}{{\rm{C}}_ - }{\rm{f}}}}}}{{{\omega _{{\rm{DM}}{{\rm{C}}_ - }{\rm{f}}}}}} = {k^{0.5}} $ (72)
 

式(59)中的二阶微分项增益包括:

$ \frac{1}{{\omega _{{\rm{DMC\_s}}}^2}}/\frac{1}{{\omega _{{\rm{DMC\_f}}}^2}} = k $ (73)
 

基于式(72)和式(73),可以得到其余参数的相似比例为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\omega _{{\rm{DMC\_s}}}}}}{{{\omega _{{\rm{DMC\_f}}}}}} = {k^{ - 0.5}}\\ \frac{{{\alpha _{{\rm{DMC\_s}}}}}}{{{\alpha _{{\rm{DMC\_f}}}}}} = \frac{{{\xi _{{\rm{DMC\_s}}}}}}{{{\xi _{{\rm{DMC\_f}}}}}} = 1 \end{array} \right. $ (74)
 
2.6 航母运动和机舰相对运动参数的相似比例

在利用缩比模型对全尺寸舰载机的运动特性进行模拟时,为了保证机舰相对运动的相似性,也需对航母的运动参数进行相似性处理。考虑到航母对于飞机着舰过程的影响仅为其航向和航速会导致飞机着舰点位置的偏移,航母尺寸对于着舰过程没有影响,因此,此处仅需对其航速和航向参数进行相似性处理。

航母航速和航向角的相似比例的推导需基于机舰相对运动方程。首先,航母的运动学方程为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}{x_{\rm{b}}}}}{{{\rm{d}}t}} = {V_{\rm{b}}}\cos {\chi _{\rm{b}}}}\\ {\frac{{{\rm{d}}{y_{\rm{b}}}}}{{{\rm{d}}t}} = {V_{\rm{b}}}\sin {\chi _{\rm{b}}}}\\ {\frac{{{\rm{d}}{z_{\rm{b}}}}}{{{\rm{d}}t}} = 0} \end{array}} \right. $ (75)
 

式中:xbybzb为航母在地轴系的位置坐标;χb为航母的航向角;Vb为航母的航速。然后,舰载机的运动学方程为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}{x_{\rm{a}}}}}{{{\rm{d}}t}} = V\cos \gamma \cos \chi }\\ {\frac{{{\rm{d}}{y_{\rm{a}}}}}{{{\rm{d}}t}} = V\cos \gamma \sin \chi }\\ {\frac{{{\rm{d}}{z_{\rm{a}}}}}{{{\rm{d}}t}} = - V\sin \chi } \end{array}} \right. $ (76)
 

式中:xayaza为舰载机在地轴系的位置坐标;γχ为飞机的航迹倾角和航迹偏角。将式(75)和式(76)相减,可以得到机舰相对运动的微分方程为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}} = V\cos \gamma \cos \chi - {V_{\rm{b}}}\cos {\chi _{\rm{b}}}}\\ {\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = V\cos \gamma \sin \chi - {V_{\rm{b}}}\sin {\chi _{\rm{b}}}}\\ {\frac{{{\rm{d}}z}}{{{\rm{d}}t}} = - V\sin \chi } \end{array}} \right. $ (77)
 

式中:xyz为飞机与航母的相对位移在地轴系各轴的分量。

根据相似运动第一定理和第二定理,全尺寸飞机的机舰相对运动的无量纲化描述方程应与缩比模型的机舰相对运动无量纲化描述方程相同[17],因此,根据方程的量纲齐次性,对式(77)进行无量纲化处理:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}t}}{{{\rm{d}}x}}\left( {V\cos \gamma \cos \chi - {V_{\rm{b}}}\cos {\chi _{\rm{b}}}} \right) = 1}\\ {\frac{{{\rm{d}}t}}{{{\rm{d}}y}}\left( {V\cos \gamma \sin \chi - {V_{\rm{b}}}\sin {\chi _{\rm{b}}}} \right) = 1}\\ { - \frac{{{\rm{d}}t}}{{{\rm{d}}z}}V\sin \gamma = 1} \end{array}} \right. $ (78)
 

无量纲化描述方程相等意味着方程中的对应项相等,因此,存在如下关系:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}}{{{\rm{d}}{x_{\rm{f}}}}}\left( {{V_{\rm{f}}}\cos {\gamma _{\rm{f}}}\cos {\chi _{\rm{f}}} - {V_{{\rm{b\_f}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_f}}}}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\frac{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{x_{\rm{s}}}}}\left( {{V_{\rm{s}}}\cos {\gamma _{\rm{s}}}\cos {\chi _{\rm{s}}} - {V_{{\rm{b\_s}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_s}}}}} \right)\\ \frac{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}}{{{\rm{d}}{y_{\rm{f}}}}}\left( {{V_{\rm{f}}}\cos {\gamma _{\rm{f}}}\sin {\chi _{\rm{f}}} - {V_{{\rm{b\_f}}}}\sin {\chi _{{\rm{b\_f}}}}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{y_{\rm{s}}}}}\left( {{V_{\rm{s}}}\cos {\gamma _{\rm{s}}}\sin {\chi _{\rm{s}}} - {V_{{\rm{b\_s}}}}\sin {\chi _{{\rm{b\_s}}}}} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}}{{{\rm{d}}{z_{\rm{f}}}}}{V_{\rm{f}}}\sin {\gamma _{\rm{f}}} = - \frac{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{z_{\rm{s}}}}}{V_{\rm{s}}}\sin {\gamma _{\rm{s}}} \end{array} \right. $ (79)
 

由式(79)中的第1式,有

$ \frac{{{\rm{d}}{x_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{x_{\rm{f}}}}} = \frac{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{V_{\rm{s}}}\cos {\gamma _{\rm{s}}}\cos {\chi _{\rm{s}}} - {V_{{\rm{b\_s}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_s}}}}}}{{{V_{\rm{f}}}\cos {\gamma _{\rm{f}}}\cos {\chi _{\rm{f}}} - {V_{{\rm{b\_f}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_f}}}}}} $ (80)
 

根据比例性质定理中的等比性质有[23]

$ \begin{array}{l} \frac{{{V_{\rm{s}}}\cos {\gamma _{\rm{s}}}\cos {\chi _{\rm{s}}} - {V_{{\rm{b\_s}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_s}}}}}}{{{V_{\rm{f}}}\cos {\gamma _{\rm{f}}}\cos {\chi _{\rm{f}}} - {V_{{\rm{b\_f}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_f}}}}}} = \frac{{{V_{\rm{s}}}\cos {\gamma _{\rm{s}}}\cos {\chi _{\rm{s}}}}}{{{V_{\rm{f}}}\cos {\gamma _{\rm{f}}}\cos {\chi _{\rm{f}}}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{{V_{{\rm{b\_s}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_s}}}}}}{{{V_{{\rm{b\_f}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_f}}}}}} \end{array} $ (81)
 

已知全尺寸和缩比模型的响应时间、飞行速度和航向角存在如下相似关系:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{t_{\rm{s}}}}}{{{t_{\rm{f}}}}} = {k^{0.5}}}\\ {\frac{{{V_{\rm{s}}}}}{{{V_{\rm{f}}}}} = {k^{0.5}}}\\ {\frac{{{\gamma _{\rm{s}}}}}{{{\gamma _{\rm{f}}}}} = 1}\\ {\frac{{{\chi _{\rm{s}}}}}{{{\chi _{\rm{f}}}}} = 1} \end{array}} \right. $ (82)
 

将式(82)代入式(81),可得

$ \begin{array}{l} \frac{{{V_{\rm{s}}}\cos {\gamma _{\rm{s}}}\cos {\chi _{\rm{s}}} - {V_{{\rm{b\_s}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_s}}}}}}{{{V_{\rm{f}}}\cos {\gamma _{\rm{f}}}\cos {\chi _{\rm{f}}} - {V_{{\rm{b\_f}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_f}}}}}} = \frac{{{V_{{\rm{b\_s}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_s}}}}}}{{{V_{{\rm{b\_f}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_f}}}}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{{V_{\rm{s}}}}}{{{V_{\rm{f}}}}} = {k^{0.5}} \end{array} $ (83)
 

可以看出,等式左侧包含航母航向角的三角函数,由于三角函数为非线性函数,$\frac{{\cos {\chi _{{{\rm{b}}_ - }{\rm{s}}}}}}{{\cos {\chi _{{{\rm{b}}_ - }{\rm{f}}}}}}$仅在χb_s=χb_f的情况下比值为定值1,否则比值为非定值,因此,航母速度和航向角需满足如下相似关系:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{V_{{\rm{b\_s}}}}}}{{{V_{{\rm{b\_f}}}}}} = {k^{0.5}}\\ \frac{{{\chi _{{\rm{b\_s}}}}}}{{{\chi _{{\rm{b\_f}}}}}} = 1 \end{array} \right. $ (84)
 

在此基础上,根据式(80)、式(82)和式(83),可以得到机舰相对距离在x轴上分量的相似比例:

$ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}{x_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{x_{\rm{f}}}}} = \frac{{{\rm{d}}{t_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{t_{\rm{f}}}}} \cdot \frac{{{V_{\rm{s}}}\cos {\gamma _{\rm{s}}}\cos {\chi _{\rm{s}}} - {V_{{\rm{b\_s}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_s}}}}}}{{{V_{\rm{f}}}\cos {\gamma _{\rm{f}}}\cos {\chi _{\rm{f}}} - {V_{{\rm{b\_f}}}}\cos {\chi _{{\rm{b\_f}}}}}} = \\ \;\;\;\;\;\;{k^{0.5}} \cdot {k^{0.5}} = k \end{array} $ (85)
 

类似地,根据式(79)中的第2式和第3式,可以得到机舰相对距离在y轴和z轴上分量的相似比例为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}{y_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{y_{\rm{f}}}}} = k}\\ {\frac{{{\rm{d}}{z_{\rm{s}}}}}{{{\rm{d}}{z_{\rm{f}}}}} = k} \end{array}} \right. $ (86)
 

综上所述,归纳航母运动参数和机舰相对运动参数相似比例如表 3所示。

表 3 航母和机舰相对运动参数相似比例(缩比/全尺寸飞机) Table 3 Proportions of carrier motion parameters and aircraft-carrier relative motion parameters(scaled-model/full-size aircraft)
初始参数 量纲 相似比例
航母运动参数 航速 速度 k0.5
航向 角度 1
机舰相对运动参数 离舰高度 长度 k
离舰距离 长度 k
垂直偏差 长度 k
侧向偏差 长度 k
3 数学仿真验证与分析

本文选用某算例舰载机和其尺寸缩比率为k=1/4的缩比模型为算例飞机,分别搭建着舰数学仿真系统模型,如图 7所示,进行着舰数学仿真。

图 7 着舰数学模型结构 Fig. 7 Structure of carrier landing mathematical model
3.1 仿真模型参数计算与初值确定

首先,基于前文结论,对缩比模型和全尺寸飞机的着舰仿真模型参数进行设计,如表 4~表 9所示。表 4为根据文献[18]列出的缩比模型和全尺寸飞机设计参数的相似比例。

表 4 舰载机设计参数相似比例(缩比/全尺寸飞机) Table 4 Proportions of aircraft design parameters(scaled-model/full-size aircrafts)
设计参数 相似比例[18]
机翼展长/m 1/4
平均气动弦长/m 1/4
重心位置(MAC) 1
机翼面积/m2 (1/4)2
质量/kg (1/4)3
俯仰转动惯量/(kg·m2) (1/4)5
偏航转动惯量/(kg·m2) (1/4)5
滚转转动惯量/(kg·m2) (1/4)5
惯性积/(kg·m2) (1/4)5
表 5 导引律增益相似比例(缩比/全尺寸飞机) Table 5 Proportions of guidance law parameters(scaled-model/full-size aircraft)
参数 相似比例 全尺寸 缩比
纵向 KHP 2 1 2
KHI 4 0.4 1.6
KHD 1 0.3 0.3
横航向 KYP 4 0.8 3.2
KYI 8 0.1 0.8
KYD 2 3 6
表 6 自动驾驶仪增益相似比例(缩比/全尺寸飞机) Table 6 Proportions of autopilot system parameters(scaled-model/full-size aircraft)
参数 相似比例 全尺寸 缩比
纵向自动驾驶仪 Kα 1 1.25 1.25
Kq 1/2 1.35 0.675
K 1 1.05 1.05
K 1/2 0.4 0.2
K_err 2 2.9 5.8
横航向自动驾驶仪 Kφ 1 1.1 1.1
Kp 1/2 0.64 0.32
Kβ 1 1.42 1.42
Kr 1/2 0 0
Kari 1 0.3 0.3
表 7 进近动力补偿系统增益相似比例(缩比/全尺寸飞机) Table 7 Proportions of approach power compensator system parameters (scaled-model/full-size aircraft)
参数 相似比例 全尺寸 缩比
进近动力补偿 KαP 1 15 15
KαI 2 10 20
Knz 1 5 5
Kδe 1 4.5 4.5
表 8 甲板运动补偿系统增益相似比例(缩比/全尺寸飞机) Table 8 Proportions of deck motion compensation parameters(scaled-model/full-size aircraft)
参数 相似比例 全尺寸 缩比
KDMC_lon 1 0.7 0.7
KDMC_lat 1 0.5 0.5
τDMC 1/2 0.5 0.25
ωDMC 2 0.63 1.26
ξDMC 1 0.45 0.45
τn 1/2 0.16 0.08
αDMC 1 3.1 3.1
TDMC 1/2 0.56 0.28
表 9 机舰相对运动参数初值相似比例(缩比/全尺寸飞机) Table 9 Proportions of initial values of aircraft-carrier relative motion parameters (scaled-model/full-size aircraft)
参数类型 相似比例 全尺寸 缩比
航母运动参数 航速/kn 1/2 25 12.5
航向/(°) 1 0 0
舰载机初始运动参数 空速/(m·s-1) 1/2 60 30
航迹倾角/(°) 1 0 0
航迹偏角/(°) 1 355 355
机舰初始相对位置参数 离舰高度/m 1/4 165 41.3
离舰距离/m 1/4 2 500 626
垂直偏差/m 1/4 -3.25 -0.81
侧向偏差/m 1/4 -2.72 -0.68

表 5为导引律增益的相似比例,表 6为自动驾驶仪增益的相似比例,表 7为进近动力补偿系统增益的相似比例,表 8为甲板运动补偿系统增益的相似比例,表 9为航母运动参数和机舰初始相对位置参数的相似比例。

3.2 仿真结果对比

运行仿真模型,得到全尺寸飞机和缩比模型着舰数学仿真曲线对比如图 9所示。由图可知,在仿真曲线中,缩比模型和全尺寸飞机自动着舰响应曲线形状相似。为了跟踪目标航迹,消除高度误差,二者的飞行姿态均由平飞转入下滑,最终经过一个特性良好的动态过程,飞机达到一个稳定的下滑状态,直至最后着舰。

图 9 全尺寸飞机与缩比模型着舰仿真对比 Fig. 9 Comparison of carrier landing response simulation of scaled-model/full-size aircrafts

除了俯仰运动,为了消除初始侧向位移误差和航迹偏角误差,二者也会产生横航向运动。通过建立滚转角调节飞机的航向,使飞机的航向对准着舰跑道,直至最后着舰。

观察二者响应变量的相似比例可知,响应时间的相似比例约为1/2,飞行速度和高度变化率均为线速度量,相似比例约为1/2,迎角、侧滑角、航迹角、飞机姿态角以及舵面偏度等角度量的相似比例约为1,三轴姿态角速率的相似比例均约为2,飞行高度、侧向位移、机舰相对高度和相对侧向位移等长度量的相似比例约为1/4,均与前文分析结果一致。

为了进一步验证响应变量相似比例的正确性,按照表 2表 3中的相似比例,计算得到全自动着舰过程响应变量的理论相似比例如表 10所示,并按照表 10,对图 9中缩比模型的着舰响应曲线沿坐标轴进行拉伸或压缩处理,然后与全尺寸飞机着舰过程响应曲线对比,得到结果如图 10所示。由图 10可以看出,按照理论相似比例处理后的缩比模型着舰仿真曲线与全尺寸飞机着舰仿真曲线吻合良好,进一步验证了响应变量相似比例的正确性。

表 10 着舰响应变量相似比例(缩比/全尺寸飞机) Table 10 Proportions of carrier landing response variables (scaled-model/full-size aircrafts)
响应变量 量纲 理论相似比例
时间 时间 1/2
飞行速度、高度变化率 线速度 1/2
俯仰角速率、滚转角速率、偏航角速率 角速度 2
迎角、俯仰角、滚转角、航迹倾角、航迹偏角、升降舵偏角、副翼偏角、方向舵偏角 角度 1
高度、侧向位移、与目标航迹的高度偏差、与目标航迹的侧向偏差 长度 1/4
图 10 全尺寸飞机着舰过程与按理论比例缩放后的缩比模型着舰过程对比 Fig. 10 Comparison of carrier landing response of full-size aircraft with that of scaled-model scaled according to theoretical proportions of variables

综上所述,仿真结果证明本文推导得到的导引律增益、自动驾驶仪增益、进近动力补偿系统增益、甲板运动补偿系统增益的相似比例以及航母运动参数、机舰相对运动参数的相似比例是正确的。

4 结论

1) 对于导引律,缩比模型与全尺寸飞机相比,各增益存在如下比例关系:纵向导引律中,比例环节增益的相似比例为k-0.5,积分环节增益的相似比例为k-1,微分环节增益的相似比例为1;侧向导引律中,比例环节增益的相似比例为k-1,积分环节增益的相似比例为k-1.5,微分环节增益的相似比例为k-0.5

2) 对于自动驾驶仪,缩比模型与全尺寸飞机相比,各增益存在如下比例关系:迎角、侧滑角、滚转姿态角等角度量的反馈增益的相似比例为1;副翼-方向舵交联增益的相似比例也为1;俯仰角速率、偏航角速率和滚转角速率等角速度量的反馈增益的相似比例为k0.5;高度变化率反馈增益的相似比例为k-0.5

3) 对于进近动力补偿系统,缩比模型与全尺寸飞机相比,各增益存在如下比例关系:迎角、法向过载以及升降舵反馈增益的相似比例均为1,迎角反馈积分环节增益的相似比例为k-0.5

4) 对于甲板运动补偿系统,缩比模型与全尺寸飞机相比,各增益存在如下比例关系:KDMC的相似比例为1,τDMCτnT这3个一阶惯性环节时间常数的相似比例是k0.5ωDMC的相似比例为k-0.5ξDMCα的相似比例为1。

5) 对于航母运动和机舰相对运动参数,存在如下比例关系:缩比航母与全尺寸航母相比,航速的相似比例为k0.5,航向角的相似比例为1;舰载机离舰高度、离舰距离以及舰载机和目标航迹的初始高度偏差、侧向偏差的相似比例为k

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http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2019.23005
中国航空学会和北京航空航天大学主办。
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文章信息

左宪帅, 王立新, 刘海良, 王云, 张钰
ZUO Xianshuai, WANG Lixin, LIU Hailiang, WANG Yun, ZHANG Yu
缩比模型模拟全尺寸飞机自动着舰的相似关系
Similarity for simulating automatic carrier landing process of full-scale aircraft with scaled-model
航空学报, 2019, 40(12): 123005.
Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2019, 40(12): 123005.
http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2019.23005

文章历史

收稿日期: 2019-03-14
退修日期: 2019-06-06
录用日期: 2019-08-13
网络出版时间: 2019-08-21 10:50

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