矩形加筋板固有振动半解析分析方法

doi:10.7527/S1000-6893.2024.31240

固体力学与飞行器总体设计

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矩形加筋板固有振动半解析分析方法

邢誉峰(), 李玉婷

北京航空航天大学固体力学研究所，北京 100191

收稿日期:2024-09-19 修回日期:2024-10-14 接受日期:2024-11-04 出版日期:2024-11-08 发布日期:2024-11-07
通讯作者: 邢誉峰 E-mail:xingyf@buaa.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金(12172023)

Semi-analytical solution for natural vibration of rectangular stiffened plates

Yufeng XING(), Yuting LI

Institute of Solid Mechanics，Beihang University，Beijing 100191，China

Received:2024-09-19 Revised:2024-10-14 Accepted:2024-11-04 Online:2024-11-08 Published:2024-11-07
Contact: Yufeng XING E-mail:xingyf@buaa.edu.cn
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(12172023)

摘要/Abstract

摘要：

加筋板结构在航空航天、船舶等工程领域中应用广泛，对其固有振动特性展开研究具有重要的理论价值和应用价值。针对矩形加筋板固有模态的求解问题，基于Rayleigh商和Rayleigh-Ritz法提出一种半解析分析方法。在该方法中，封闭形式的薄板模态函数作为加筋板模态函数的基函数，根据Rayleigh商得到加筋板频率方程和模态函数。此外，对于四边简支单筋加筋板的固有振动问题，由Rayleigh商得到其控制微分方程，采用分离变量方法求得其精确解。通过把所得结果与有限元结果和文献结果进行比较，验证了所提方法的有效性与精确性。所提方法可以用于加筋板的理论分析和参数化设计。

关键词: 半解析分析方法, 固有模态, 加筋板, Rayleigh商, 参数化分析

Abstract:

Stiffened plate structures are widely used in aerospace， shipbuilding and other engineering fields， so the research on its vibration characteristics has significant academic and practical value. Based on the Rayleigh quotient and Rayleigh-Ritz method， this paper presents a semi-analytical method to solve the natural modes of rectangular stiffened plates. In this method， the closed-form mode functions of thin plates are used as the basis functions of the mode functions of stiffened plates， and the natural frequency equation and the mode functions of rectangular stiffened plates are derived according to the Rayleigh quotient. In addition， the governing differential equation of the simply supported stiffened rectangular plate with single stiffener is derived according to the Rayleigh quotient， and the exact solution is obtained using the separation-of-variable method. The effectiveness and accuracy of the proposed method are verified by comparing the present results with those of the finite element method and literature. The proposed method in this work can be used for theoretical analysis and parametric design of stiffened plates.

Key words: semi-analytical solution, natural mode, stiffened plate, Rayleigh quotient, parametric analysis

中图分类号:

V214.3⁺3

邢誉峰, 李玉婷. 矩形加筋板固有振动半解析分析方法[J]. 航空学报, 2025, 46(5): 531240.

Yufeng XING, Yuting LI. Semi-analytical solution for natural vibration of rectangular stiffened plates[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2025, 46(5): 531240.

图/表 23

图 1

表 1

imSOV方法中薄板的边界条件

边界条件	位移	转角	剪力	法向弯矩
$x = 0, a$ 处的边界条件	$ϕ$	$d ϕ d x$	$d 3 ϕ d x 3 + ν S 2 S 1 - 2 1 - ν S 3 S 1 d ϕ d x$	$d 2 ϕ d x 2 + ν S 2 S 1 ϕ$
$y = 0, b$ 处的边界条件	$ψ$	$d ψ d y$	$d 3 ψ d y 3 + ν T 2 T 1 - 2 1 - ν T 3 T 1 d ψ d y$	$d 2 ψ d y 2 + ν T 2 T 1 ψ$
简支（S）	0			0
固支（C）	0	0
滑移（G）		0	0
自由（F）			0	0

表 1

图 2

图 3

图 4

图 5

表 2

表 3

图 6

表 4

图 7

表 5

表 6

表 7

表 8

表 9

表 10

表 11

表 12

表 13

图 8

图 9

图 10

参考文献 35

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主管单位：中国科学技术协会主办单位：中国航空学会北京航空航天大学

结果来源	固有频率/Hz
结果来源	（1，1）	（1，2）	（1，3）	（2，3）
半解析解	71.44	119.94	248.93	386.56
精确解	71.42	119.93	248.94	385.67
FEM	71.33	119.90	249.46	384.84
文献［32］	73.21	129.07	248.65	371.53

阶次	（1，1）	（1，2）	（1，3）	（2，3）
半解析解
精确解
FEM

阶次	固有频率/Hz
阶次	半解析解	文献［4］	文献［33］	文献［34］	文献［35］
1	50.44	50.45	49.87	50.49	50.43
2	63.76	63.71	63.03	63.65	63.72
3	75.11	75.16	74.07	75.12	75.07
4	85.53	85.50	84.30	85.49	85.46
5	113.91	113.69	112.17	114.17	113.96
6	120.85	120.89		120.88	120.82

阶次	固有频率/Hz
	未考虑筋扭转变形					考虑筋扭转变形
	简支			固支		简支			固支
	半解析解	精确解	FEM	半解析解	FEM	半解析解	精确解	FEM	半解析解	FEM
1	137.84	137.78	137.76	274.48	274.36	137.79	137.78	137.76	284.82	284.38
2	184.04	184.04	183.97	284.90	284.38	210.90	209.78	203.96	308.05	304.77
3	325.58	325.52	325.40	454.68	454.29	325.52	325.52	325.40	488.29	488.13
4	330.20	330.20	329.94	488.35	488.13	357.96	357.92	357.65	498.56	491.50
5	358.67	357.92	357.65	498.96	497.75	365.38	362.19	358.11	498.97	497.75
6	573.78	573.78	573.28	738.96	738.45	602.45	601.10	601.76	774.82	769.59

阶次	固有频率/Hz
	未考虑筋扭转变形					考虑筋扭转变形
	简支			固支		简支			固支
	半解析解	精确解	FEM	半解析解	FEM	半解析解	精确解	FEM	半解析解	FEM
1	96.84	96.84	96.82	165.34	165.30	102.98	102.69	101.40	169.88	169.22
2	195.59	195.59	195.54	311.14	308.96	202.33	201.96	200.44	323.20	321.61
3	248.47	248.45	248.36	356.93	354.51	252.37	251.94	251.44	360.75	359.77
4	325.89	325.88	325.78	486.84	475.06	326.57	326.53	326.29	492.26	491.71
5	399.07	398.97	398.69	513.43	508.58	411.76	410.29	408.65	526.88	523.37
6	490.94	490.90	490.74	647.69	639.89	494.15	493.63	493.24	651.19	649.75
7	552.75	552.68	552.51	690.07	677.58	563.35	562.81	560.98	692.64	692.13
8	620.75	620.48	620.05	766.08	752.06	634.97	633.21	631.34	790.85	784.27

矩形加筋板固有振动半解析分析方法

Semi-analytical solution for natural vibration of rectangular stiffened plates

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阶次	固有频率/Hz
	未考虑筋扭转变形				考虑筋扭转变形
	筋高0.05 m		筋高0.1 m		筋高0.05 m		筋高0.1 m
	半解析解	FEM	半解析解	FEM	半解析解	FEM	半解析解	FEM
1	83.94	83.86	101.47	99.70	83.94	83.86	101.47	99.70
2	188.82	188.64	229.61	226.18	188.83	188.65	229.66	226.18
3	231.32	231.17	265.35	262.42	231.36	231.20	265.43	262.42
4	335.75	335.26	395.48	394.19	335.76	335.27	395.76	394.19
5	360.48	360.21	405.29	397.88	360.55	360.27	405.42	397.88
6	474.93	474.69	543.90	538.41	475.04	474.79	544.14	538.41
7	512.34	511.43	581.41	579.80	512.36	511.45	581.68	579.80
8	575.88	575.33	585.35	577.81	575.99	575.43	585.63	577.87
9	608.38	607.58	777.57	765.39	608.44	607.65	779.32	765.39
10	751.62	749.98	796.23	787.73	751.65	750.00	796.77	787.73

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阶次	固有频率/Hz
	未考虑筋扭转变形				考虑筋扭转变形
	简支		固支		简支		固支
	半解析解	FEM	半解析解	FEM	半解析解	FEM	半解析解	FEM
1	164.14	164.13	366.13	366.01	172.69	170.44	376.78	376.34
2	413.10	412.94	671.64	670.91	425.64	422.78	691.23	689.68
3	522.17	521.73	816.82	814.30	531.71	529.80	834.10	831.53
4	652.91	652.33	1 005.83	1 002.39	684.09	677.80	1 056.13	1 049.26
5	872.24	870.48	1 153.14	1 146.83	882.99	880.87	1 172.79	1 164.78
6	1 014.30	1 011.95	1 414.43	1 407.26	1 059.78	1 050.64	1 446.85	1 430.91
7	1 109.54	1 104.24	1 422.17	1 407.58	1 120.31	1 118.36	1 484.64	1 471.23
8	1 167.80	1 162.12	1 469.30	1 461.46	1 217.39	1 206.50	1 617.89	1 598.36