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关于热力学空间概念的探讨
张启南     
北京航空航天大学 航空科学与工程学院, 北京 100083
摘要: 在气体力学研究中,不可避免地将引用热力学的基本定律,过去在不少工科著者所用的论述中常将传热量Q和气体所做的功W的微增量写为dQ和dW。但从严格的数学理论而言,这是不正确的表达式。笔者在参与《航空空气动力手册》的编审中曾经提出过此问题,在手册的再版时已经改正为δQ和δW。但此后一些气体力学的著作未能引起注意,仍然习惯地写成dQ和dW。为此,在本文中作一个严格的证明,并提出了热力学空间的概念,以澄清以往的混淆。
关键词: 热力学空间     几何空间     状况参数     积分型全微分条件     微分型全微分条件    
On the concept of thermodynamic space
ZHANG Qi'nan     
School of Aeronautical Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100083, China
Received: 2016-10-18; Revised: 2017-04-16; Accepted: 2017-05-05; Published online: 2017-05-12 15:49
Corresponding author. ZHANG Qi'na, E-mail:qal@buaa.edu.cn
Abstract: In the study of pneumatics, it is inevitable to refer to the basic laws of thermodynamics. In the past, a number of engineering authors often wrote heat Q and the micro-increments of the work done by the gas W as dQ and dW, which are, however, not correct expressions as far as a strict mathematical theory is concerned. When participating in the editing of the Aviation Air Force Manual, the author raised this issue. In the second edition of the manual, dQ and dW were corrected to δW and δQ. But some pneumatic works still fail to pay attention to the problem, and are still used to using dQ and dW. In this article, a rigorous proof is conducted and the concept of the thermodynamic space is proposed to clarify the confusion in the past.
Key words: thermodynamic space     geometric space     status parameter     integral-total differential condition     differential-total differential condition    
1 全微分存在的条件

数学中专门研究全微分的理论说明:

P、Q、Rx、y、z 3个自变量在单连通域中的连续函数,而且都存在连续的偏导数。和式Pdx+Qdy+Rdz是某函数F(xyz)的全微分的必要充分条件为

1) 积分型条件

(1)

2) 微分型条件

(2)

注意此两条件是等价的,即只有满足此条件,全微分式dF=Pdx+Qdy+Rdz才成立。

2 热力学第一定律

气体的物理性质由pvT 3个状况参数唯一确定。其中:p为压强,v为比容,T为绝对温度。气体微分体的能量守恒定律为

(3)

此即热力学第一定律。式中:E为气体的内能,是T的单自变量函数。因此

(4)

式中:c为气体的定容比热。

气体所作的功就是pdv,可表示为δW。注意QW前面的符号暂时写为δ。

将式(3) 写为

(5)

与和式Pdx+Qdy+Rdz对比可见

代入微分型的全微分条件:

可见

(6)

显然不满足全微分的条件。因此δQ不是全微分,不能写成dQ

类似地将气体作的功表达为

(7)

也可以证明δW不是全微分,不能写成dW。很明显QW不是代表气体状况的变量,而是气体运动和变化过程中出现的物理量。

3 焓和熵的概念

对于完全气体(Perfect Gas),它服从克拉贝隆方程

(8)

式中:k为气体常数,选用的是气体动力学中最常用的形式。

将热力学第一定律δQ=cdT+pdv两边均除以T,可得

(9)

显然是全微分,令

(10)

式中:S为熵。

再看

(11)

显然,这是全微分,可定义为

(12)

式中:H为焓。熵S及焓H表达的是气体的物理性质,和p、v、T一样,是气体的状况参数。

焓的物理意义是气体的内能与压力势能之和,熵的物理意义在热力学第二定律中说明。

4 热力学第二定律

系统中,选2个相邻的微体1、2,其绝对温度对应为T1T2。我们知道热量总是从高温体传至低温体的,若T1T2,则

因为微体1失去的热量δQ就是微体2得到的同样热量,得到的热量为正,失去的热量则为负, 因此dS>0。若考虑全闭合系统则∑dS>0。因此有限空间的闭合系统中,热传输过程的熵总是增加的。

状况参数的增量由全微分d表达; 非状况参数的增量则用δ表达,以示区别。这种数学表达方式与物理意义的对应是数学物理结合的完美范例。

5 结论

以上从全微分存在的微分条件出发,证明了dH、dS为全微分;δQ、δW为非全微分。可见当气体的微体经过某物理变化的闭合循环时,

(13)

即焓与熵回到原值,与积分过程无关, 与物理变化过程无关。而

(14)

即气体微体经过闭合循环过程,将会吸热和放热,将会对外做功或外面对它做功。热和功之增减量依赖于物理变化过程。

至此可以提出一个更为综合的概念:将气体的热力学状况参数p、v、T定义为“热力学空间”。实际上数学理论中的空间概念已经超越了几何空间的概念,有的作者常常不自觉地将“空间”之概念约束在几何范围中。其实自变量x、y、z不一定是几何量,可以是任何的物理量,例如在相对论中所用的自变量是x、y、z、t(四维)即“时空空间”的概念。相应的在气体力学中p、v、T作为自变量来描述热力学的物理量及定律,这就是“热力学空间”的概念。

总之几何空间的概念是3个自变量x、y、z唯一地描述了一点在三维空间的几何位置。热力学空间的概念是3个自变量p、v、T唯一地描述了气体微分体的热力学性质(状况参数)。这样的综合与推广非常自然,完全符合辩证唯物论的认识规律。

6 后记

笔者于1990年在北京航空航天大学出版社出版了《工程物理中的张量场论》一书,讨论的“场”即是物理量在几何空间中的分布和变化,这和本文中的“空间”概念是完全相通的。因此若能将两者融合起来,更能反应大自然的客观规律。现在已经到了各基本学科综合起来发展的时代,这是值得一提的。

参考文献
http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2016.721356
中国航空学会和北京航空航天大学主办。
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文章信息

张启南
ZHANG Qi'nan
关于热力学空间概念的探讨
On the concept of thermodynamic space
航空学报, 2017, 38(8): 721356.
Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(8): 721356.
http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2016.721356

文章历史

收稿日期: 2016-10-18
退修日期: 2017-04-16
录用日期: 2017-05-05
网络出版时间: 2017-05-12 15:49

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