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行星机构的可靠性分析与计算
李铭1, 谢里阳1, 丁丽君2     
1. 东北大学 机械工程与自动化学院, 沈阳 110819;
2. 中国航发黎明运行保障中心, 沈阳 110000
摘要: 行星机构的结构设计缺陷、制造与安装误差、支撑构件刚度不足等原因可能会使系统发生一定程度的偏载,从而会影响整个机构的使用寿命与可靠性。利用最小次序统计量的概念建立了行星齿轮系的可靠度计算模型,模型反映了偏载对齿轮系可靠性的影响。首先,对行星机构进行了详细的运动学和力学分析,计算得到了各个齿轮的随机载荷历程。根据Miner线性疲劳累积损伤法则,将随机载荷历程转化为等效恒幅载荷谱,并将其作为可靠性模型的载荷输入变量。然后,将特定齿轮的疲劳寿命数据进行统计处理,将统计结果作为可靠性模型的强度输入变量。最后,根据模型的计算结果定量地说明了偏载对行星齿轮系可靠性的影响程度,同时利用随机截尾数据处理方法对可靠性模型的有效性进行了验证。
关键词: 行星机构     偏载分析     可靠度计算     疲劳寿命     弯曲应力计算    
Reliability analysis and calculation for planetary mechanism
LI Ming1, XIE Liyang1, DING Lijun2     
1. School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. AECC Liming Operation Support Center, Shenyang 110000, China
Received: 2017-01-17; Revised: 2017-02-17; Accepted: 2017-04-24; Published online: 2017-05-19 09:27
Foundation item: National Key Technology Research and Development Program of China (2014BAF08B01); National Natural Science Foundation of China (51335003)
Corresponding author. XIE Liyang, E-mail:sysyxie@163.com
Abstract: For a planetary mechanism, structural design defects, manufacturing and installation errors, lack of stiffness of the support structure and other factors may cause to a certain degree unequal load sharing, thus affecting the life and reliability of the entire body. A reliability prediction model for the planetary gear set is established by using the concept of minimum order statistics, and the model reflects the influence of partial load on the reliability of the planetary gear set. A detailed kinematics and mechanics analysis of the mechanism is carried out, and the random load histories of each gear are calculated. According to the law of Miner linear fatigue cumulative damage, the random load histories are transformed into equivalent constant amplitude load spectrums, which are taken as the load input variable for the reliability model. The fatigue life data of specific gears are then statistically processed, and the treated life information is used as the strength input variable for the reliability model. According to the prediction result of the model, the adverse effects of partial load on the reliability of the planetary gear set are quantitatively explained, and the effectiveness of the model is verified by randomly censored data processing.
Key words: planetary mechanism     partial load analysis     reliability calculation     fatigue life     bending stress calculation    

行星机构被广泛应用于各种大功率传动系统中,尤其在航空领域,由于其具有体积小、质量轻、承载能力大的优点,因此得到了充分的重视。行星机构可以达到很高的功率传输水平,是由于行星轮的功率分流作用减小了轮齿的受力,在传输功率相当的条件下,行星齿轮系较其他齿轮系具有更高的可靠性。同时,由于大多数行星机构采取行星轮中心对称布置,这将使作用在中心轮上的径向力相互抵消,从而减小了轴承的支撑要求。但是,在行星机构中只有当传输功率平均分配到各个行星轮上,它的这些优点才能得到充分的发挥。

在实际应用中,由于制造与安装误差、支撑构件的变形等因素的影响,行星机构的偏载问题是无法避免的[1],因此对它的偏载分析具有重要的实际意义。Hidaka等[1-3]通过理论分析与试验证明了只有当至少一个中心轮处于浮动状态,行星机构才能达到较好的载荷分担效果,Muller[4]也得出了相同的结论。Hidaka和Terauchi[1]指出,行星架等支撑构件的小变形可以改善行星机构的偏载状况。其他一些研究[5-8]同样讨论了支撑条件对行星机构载荷分担的影响。Hayashi等[9]通过试验证明了随着输入功率的增加,行星机构的偏载系数呈现降低的趋势。Kahraman[10-11]通过一个简化的离散模型说明了行星销轴在动态载荷下的运动规律,进而说明了销轴对行星机构载荷分配的影响。

针对高速、重载的齿轮机构的可靠性分析是必要的,尤其对于航空领域的行星齿轮机构来说更是不可或缺的设计过程。Yang[12]改进了线性疲劳累积损伤法则,使其更好地应用于齿轮机构的疲劳计算。张义民等[13]利用随机摄动法对齿轮机构进行了可靠性分析,在一定程度上完善了齿轮传动的设计过程。张冠宇等[14]采用Kriging模型对大型球磨机齿轮机构的体积和可靠性进行了全局优化。Nejad等[15]提出了一种用于风力发电机的齿轮弯曲疲劳长寿命损伤计算方法。李延福等[16]使用逻辑图评估了风力涡轮机系统中通用齿轮机构的可靠性。Guerine等[17]分析了参数具有不确定性的齿轮机构的动态统计响应。

偏载会恶化行星机构的载荷环境,限制其优势的发挥,同时会降低行星齿轮系的可靠性。目前尚未见有文献涉及偏载对行星齿轮系可靠性影响的研究,本文将偏载系数与可靠度计算结果进行对比,定量地分析了偏载程度与行星齿轮系可靠度之间的关系。一般的,齿轮系统的力学仿真计算需要大量的运算时间,学者们为了减小计算代价,一般将齿轮系统简化为几个齿轮甚至是几个轮齿[18-20]。对于行星机构的偏载研究,这种建模方法不能很好地反映机构的偏载状态。本文建立了行星机构的整体仿真模型,考虑了轴、轴承以及行星架等支撑构件的弹性变形对轮齿应力的影响。对于计算代价的考虑,没有以一条连续曲线的形式表示轮齿的载荷历程,而只是计算它在啮合过程中的应力峰值,以一系列离散点的形式给出载荷信息,这样不仅节省了计算时间,还考虑到了影响系统可靠性的主要的载荷因素。

将特定的试验齿轮(与行星齿轮系齿轮的主要参数相同)的寿命信息作为齿轮系统可靠性计算的已知条件,并没有像一般的,以材料的疲劳特性推测零件或系统的可靠性[21-23],因此在研究中回避了对零件的表面状态、尺寸、应力集中和残余应力等因素的考虑,提高了计算精度的同时又简化了计算过程。

对行星机构的偏载状态进行了详细的分析与计算,得到了偏载状态下轮齿的载荷谱,并将其作为可靠性模型的载荷输入变量;同时,根据特定齿轮的寿命数据,利用最小次序统计量概念将齿轮的概率寿命转化为轮齿的概率寿命,并将其作为可靠性模型的强度输入变量。最终,根据行星齿轮系的载荷特点建立了其可靠性计算模型,模型可以简单而有效地计算行星齿轮系在偏载状态下的可靠度。

1 行星机构 1.1 机构简介

某发动机三级减速器的行星机构如图 1所示,其主要构件包括行星齿轮系、轴承、行星架、输入轴、输出轴以及行星轴。

图 1 行星机构 Figure 1 Planetary mechanism

其中,行星齿轮系由太阳轮、行星轮和内齿轮组成,其详细参数如表 1所示。

表 1 行星齿轮系的参数 Table 1 Parameters of planetary gear train
Parameter Sun gear Planet gear Ring gear
Module/mm 4 4 4
Number of teeth 30 16 63
Pressure angle/(°) 20 20 20
Helix angle/(°) 0 0 0
Face width/mm 26 26 26
Tooth thickness/mm 6.66 6.66 6.60
Base pitch/mm 11.809 11.809 11.809
Profile shift coefficient 0.1299 0.1299 0.1096
Root fillet radius/mm 2.243 2.436 1.370
Root roughness/μm Rz=10 Rz=10 Rz=10
ISO quality grade 6 6 6
Precision machining Grinding Grinding Grinding
Material 20CrMnTi 20CrMnTi 20CrMnTi
Case depth/mm 0.8±0.13 0.8±0.13 0.8±0.13
Surface hardness HRC59-63 HRC59-63 HRC59-63
Core hardness HRC35-48 HRC35-48 HRC35-48

太阳轮与输入轴相联,行星架与输出轴相联,内齿轮与箱体固定,机构中的功率流向为:输入轴→太阳轮→行星轮→行星架→输出轴。机构的额定工况为:输入转速450 r/min,输入功率100 kW,内部工作温度70 ℃。

1.2 运动学分析

根据行星机构的运动学方程,获得各个齿轮的相对啮合频率,可用于计算轮齿的载荷历程,还用于将轮齿的载荷作用次数转化为机构的运行时间,统一可靠性模型的自变量。首先,假设太阳轮a、行星轮c、内齿轮b及行星架x的绝对角速度分别为ωaωcωbωx,那么它们的角速度关系式为

(1)

式中:iABC为构件A相对于构件C的相对转速与构件B相对于构件C的相对转速之比值,即iABC=(A、B和C表示具有相对运动的构件)。

由式(1) 可以得到行星机构的运动学方程式

(2)

式中:p为行星机构的特性参数,ZbZa分别为内齿轮b与太阳轮a的齿数。

根据式(2) 可以得到太阳轮、行星轮和内齿轮分别与行星架的相对转速。其运动学参量如表 2所示,其中,负号表示旋转方向相反,nc为机构中行星轮的个数,t为任意的时间段。

表 2 行星机构的运动学参量 Table 2 Kinematics parameters of planetary mechanism
Component Angular
velocity
Angular velocity
relative to planet
carrier
Number of relative
meshing of tooth
in time t
Sun gear ωa
Planet gear
Ring gear 0
Planet carrier 0
1.3 齿根弯曲应力计算方法

考虑到齿轮弯曲疲劳失效是齿轮最常见的失效形式之一,且对于航空领域的行星机构来说,掉落的齿块可能使机构卡死,导致整个传动系统在瞬间失去工作能力,甚至会发生机毁人亡的惨剧。

因此,将齿轮弯曲疲劳强度作为行星机构可靠性分析、评价的指标。

在计算齿根弯曲应力时,可把轮齿视为悬臂梁,并采用30°切线法确定其危险截面,如图 2所示,hF为力臂,SF为危险截面齿厚,ρr为齿根圆角半径,αa指明了法向力的方向。在端面内作与轮齿对称中心线成30°夹角并与齿根过渡曲线相切的两条直线,连接两个切点并平行于齿轮轴线的截面就是危险截面,这里是轮齿弯曲疲劳裂纹发生的主要位置。

图 2 30°切线法确定危险截面 Figure 2 30° tangent method for determining dangerous section

为了计算危险截面上的最大弯曲应力,以单对齿啮合时全部载荷作用于齿顶为基础来计算,作用于齿顶的法向力为

(3)

式中:T1为主动齿轮的转矩;d1为主动齿轮的分度圆直径;α为压力角。

齿轮传动中的载荷应计入原动机和工作机的特性、齿轮内部的动载荷、齿宽上载荷分布不均匀和啮合齿对间载荷分配不均匀等因素的影响,因此齿轮的计算载荷可表示为

(4)

式中:K为载荷系数,它由使用系数KA,动载系数Kv,齿向载荷分布系数Kβ和齿间载荷分配系数Kα构成,即K=KAKvKβKα

若忽略齿面间的摩擦力,那么作用于齿顶的法向力Fn可以分解为Fncos αaFnsin αa两个力,如图 3所示。

图 3 齿根弯曲应力计算 Figure 3 Tooth root bending stress calculation

由于Fncos αa产生的剪应力和Fnsin αa产生的压应力比Fncos αa产生的弯曲应力小得多,可忽略不计。那么,齿根弯曲应力为

(5)

式中:b为齿宽。

将式(3) 和式(4) 代入式(5) 得

(6)

,同时引入应力修正系数

Ys和重合度系数Yε,最终得到齿根弯曲应力的表达式[24]

(7)

式中:YF为齿形系数,它与齿廓形状有关,与模数m无关;Ys为应力修正系数,用它考虑齿根过渡圆角处的应力集中;Yε为重合度系数。

由式(7) 计算得到的齿根弯曲应力是受载齿侧齿根危险截面处的最大拉应力(文中提到的齿根弯曲应力都是指这个最大的应力),如图 3所示。它计算了轮齿在啮合过程中齿根弯曲应力的峰值,因此轮齿的载荷历程可以以一系列离散值的形式给出。同时将这个最大值出现的啮合位置定义为危险啮合位置。

使用RomaxDesigner软件作为齿根弯曲应力计算的辅助工具,它具有强大的齿轮机构分析、计算能力。RomaxDesigner软件可以实现行星机构的精确建模,反映出机构中齿轮、轴承、轴以及行星架等关键构件的受力和变形状态。对于齿根弯曲应力的计算,它以式(7) 为基础,根据仿真模型的结构参数,同时考虑离心力、热效应以及支撑构件的变形等因素对应力的影响,最终通过式(7) 中的系数精确地反映出来。

2 载荷分配分析 2.1 均载分析

行星机构在理想的制造精度与支撑刚度的条件下,将会处于均载状态。所谓行星机构均载,就是指系统中传递的功率被平均分配到各个行星轮上。如图 4所示,在均载状态下,行星轮受到齿轮副啮合力的作用而发生偏移,在笛卡尔坐标系下将偏移量的比例系数放大150倍,会发现行星轮的中心都落在同一个圆上,即3个行星轮的偏移量相同。此时,它们对太阳轮的径向合力为0,输入轴与输出轴没有发生弯曲变形。在额定工况下(输入功率为100 kW),通过计算得到了太阳轮传递给各个行星轮的功率都为33.3 kW,即整个行星机构处于均载状态。

图 4 均载分析 Figure 4 Analysis of equal load sharing

根据行星机构的结构参数和额定工况,利用RomaxDesigner计算得到了均载状态下太阳轮的齿根弯曲应力为414 MPa;行星轮双侧受载,两侧的齿根弯曲应力相等,量值为439 MPa;内齿轮的齿根弯曲应力为369 MPa。

2.2 偏载分析

与均载的定义相反,行星机构偏载是指系统中传递到各个行星轮的功率或啮合力不相等。起初,为了消除偏载,人们努力提高行星机构的加工精度,从而使它的制造和安装变得困难。随后又采用各种均载机构力求使行星轮间载荷分配均匀,但在运行过程中仍会出现偏载问题。

在实际应用中,一个支撑结构不合理的行星机构如图 5所示,相对于图 1中的机构,它增加了一对斜齿轮副,同时改变了功率输出位置,而行星齿轮系的参数与机构的额定工况都与图 1中的相同。

图 5 不合理的支撑结构 Figure 5 Unreasonable supporting structure

在斜齿轮副啮合力的作用下,机构中的传动轴和行星架发生了弯曲变形。将行星架节点合位移(USUM)的比例系数放大150倍,如图 6所示,可以看到行星架的变形为非对称变形。

图 6 传动轴与行星架的变形 Figure 6 Deformation of drive shafts and planet carrier

行星架与传动轴的变形将导致太阳轮发生径向与轴向偏移,使太阳轮中心与内齿轮中心不再重合,如图 7所示,在笛卡尔坐标系下,将齿轮偏移量的比例系数放大50倍并以线框形式显示,可以看到3个行星轮的中心不在同一个圆上,它们的偏移量不再相等。太阳轮与行星轮的这种偏移将使它们的工作齿廓间形成不同程度的间隙或过盈,导致太阳轮传递给各个行星轮的载荷不再相等,行星机构处于偏载状态。

图 7 偏载分析 Figure 7 Analysis of unequal load sharing

在额定工况下,使用RomaxDesigner分别对机构的均载状态和偏载状态进行了静力计算,得到某一时刻行星轮载荷分配对比结果如表 3所示(PT分别表示构件传递的功率与扭矩)。机构均载时,各个行星轮传递的功率相等,且在运行过程中保持不变;而当机构处于偏载状态时,各个行星轮传递的功率相差较大,且在运行过程中时刻变化。

表 3 载荷分配结果对比 Table 3 Comparison of load sharing results
Type Equal load sharing Unequal load sharing
P/kW T/(N·m) P/kW T/(N·m)
Output shaft 100 8 457.9 100 8 457.9
Planet 1 33.3 2 819.3 21.4 1 808.2
Planet 2 33.3 2 819.3 52.6 4 448.6
Planet 3 33.3 2 819.3 26 2 201.1

同时,以行星轮间载荷分配不均匀系数G来描述行星机构的偏载程度

(8)

式中:Fmax为分配给行星轮的最大载荷;Fave为分配给行星轮的平均载荷。

同样使用RomaxDesigner计算机构在指定状态下各个行星齿轮上所分配到的载荷值,并根据式(8) 计算行星架旋转一圈的偏载系数。每当行星架转过18.5°计算一次系数G,由此得到了21个偏载系数离散值,同时将它们用样条曲线拟合,其结果如图 8(a)所示。由此可见,在机构的运行过程中,当行星架旋转到不同的周向位置时系数G是不同的,它以行星架转过Tθ=130°为一个变化周期,同时G的平均值G在1.52附近。

图 8 偏载程度分析 Figure 8 Analysis of unequal load degree

图 8(b)中可以发现,随着输入功率的增加,G逐渐降低,这个计算结果与文献[9]中的试验结果相吻合。

2.3 载荷谱计算

为了定量分析偏载对行星机构的影响,下面对行星齿轮系在偏载状态下的载荷进行计算与处理。

通过以上分析已经知道,在偏载状态下,行星轮的周向位置不同,其输出功率不同,齿根弯曲应力也将不同,即行星轮的齿根弯曲应力是其轮齿位置坐标的函数。对于太阳轮也有相同的结论,由于太阳轮与行星轮每次发生危险啮合的位置不同,因此在偏载状态下,太阳轮轮齿的齿根弯曲应力在不同的旋转位置也会不同。而对于内齿轮,它与箱体固定,每个轮齿的位置坐标不变,所以内齿轮各个轮齿的齿根弯曲应力值是固定的。

使用跟踪目标齿的方法计算内齿轮上各个轮齿在偏载状态下的齿根弯曲应力。指定任意一个行星轮上的任意一个轮齿作为目标齿,根据表 2中行星机构的运动学参量,计算了当目标齿与内齿轮完成两次相邻的危险啮合时行星架的旋转角度,然后将行星架的旋转角度输入RomaxDesigner中,RomaxDesigner可以精确识别输出轴的角度变化,计算目标齿与内齿轮的每一次啮合应力的大小,最终可以得到偏载状态下内齿轮上各个轮齿的齿根弯曲应力值,如图 9所示(环绕内齿轮的一圈数字是以MPa为单位的齿根弯曲应力值)。由于输入轴单向旋转,斜齿轮齿廓间的正压力方向不变,导致太阳轮偏移方向固定。在太阳轮的偏移方向上形成“过盈区”,其背离方向上形成“间隙区”。在过盈区啮合的轮齿,齿廓间的侧隙较小,而间隙区的啮合侧隙较大。从图中还可以发现,应力的最大值并不在过盈区,而在过盈区向间隙区过渡的交界处,在那里形成高应力区,在另一侧形成低应力区。在逆时针方向上,由低应力区向高应力区齿根弯曲应力逐渐增大。在直齿轮构成的行星机构中,相互啮合的轮齿间的齿根弯曲应力值存在正比例关系,因此当太阳轮与行星轮的轮齿同时进入高应力区时,它们的齿根弯曲应力一起变大,离开时又会同时变小,在低应力区的情况正好相反。通过齿轮试验获知,20CrMnTi渗碳齿轮的弯曲疲劳极限在400 MPa左右。在偏载状态下,内齿轮上有44%的齿根弯曲应力大于其疲劳极限,最高的超过疲劳极限46%,因此这些轮齿将成为影响内齿轮可靠性的敏感部位。

图 9 内齿轮的齿根弯曲应力值 Figure 9 Tooth root bending stress values of ring gear

太阳轮与行星轮的轮齿危险啮合位置并不固定,在偏载状态下,它们的某些轮齿是否经常在高应力区啮合,成为影响其可靠性的敏感部位,分析如下。

首先分析太阳轮。如图 10所示,太阳轮逆时针旋转,跟踪目标齿(图中填充的轮齿)的啮合轨迹,P1为它的第一个危险啮合位置(与① 行星轮啮合),当目标齿旋转到位置P2时到达其第二个危险啮合位置(与② 行星轮啮合),P1与P2之间的角度为177°;太阳轮继续旋转,当目标齿旋转到位置P3时第三次到达其危险啮合位置(与③ 行星轮啮合),P2与P3之间的角度同样为177°。即每当太阳轮旋转177°,它的目标齿会经历一次危险啮合,同理可以得到目标齿的其他危险啮合位置。由此可见,太阳轮目标齿的危险啮合位置均布于整个圆周,平均分布在高、低应力区。由于机构中的3个行星轮呈中心对称布置,因此太阳轮其他轮齿与目标齿的啮合情况相同。由此得出结论,在偏载状态下,太阳轮上不存在影响自身可靠性的敏感轮齿。

图 10 太阳轮目标齿的危险啮合位置 Figure 10 Dangerous meshing positions of target tooth of sun gear

同时,计算了太阳轮目标齿与行星轮依次啮合50次的齿根弯曲应力值,如图 11(a)所示。这是一个高低载荷交替的脉动随机载荷历程,50个应力值基本上可以反映目标齿的受载状态。

图 11 目标齿的载荷历程 Figure 11 Load history of target tooth

行星轮轮齿的危险啮合位置的分析方法与太阳轮的相同。行星轮的目标齿与太阳轮和内齿轮交替啮合,相邻危险啮合点之间的圆周角度为47°,它们同样均布于整个圆周,平均分布在高、低应力区,因此当偏载发生时,行星轮上不存在影响其可靠性的敏感轮齿。同时,行星轮目标齿依次啮合50次的齿根弯曲应力值如图 11(b)所示,这是一个具有周期变化趋势的脉动随机载荷历程,50个应力值基本上可以反映目标齿的受载状态。由于系统中的行星轮均匀布置,因此3个行星轮上的所有轮齿与目标齿的载荷历程相同。

为了有效应用图 11中的载荷历程计算行星齿轮系的可靠度,需要利用Miner线性疲劳累积损伤理论,将脉动随机载荷历程转化为等效恒幅载荷谱。根据离散应力值的载荷历程形式,将一次载荷造成的损伤表示为D=1/NN为当前载荷水平对应的疲劳寿命。那么在变幅载荷作用下,n次载荷造成的损伤为

(9)

由于轮齿的弯曲疲劳寿命一般较长,且图 11中的载荷历程具有高、低载荷交替的趋势,因此可以不考虑载荷顺序效应,认为临界疲劳损伤值在1附近[25]。通过一个疲劳试验得到了轮齿的强度信息,但是试验是在轮齿单向受载的状态下进行的,其轮齿S-N曲线的应力比R=0。由于行星机构输入转速方向一定,太阳轮轮齿单向受载,可以根据试验得到的轮齿中值S-N曲线,应用Miner法则,将图 11(a)中的载荷历程转化为等效恒幅载荷谱。而对于行星轮,由于轮齿承受对称双向弯曲载荷,在相同应力等级下,其损伤要大于单向受载的情况,因此在应用Miner法则时,应将试验得到的轮齿极限应力降低30%,将单向受载的轮齿强度转化为双向受载的强度[24]。最后计算得到了太阳轮和行星轮的等效恒幅载荷谱的峰值分别为562 MPa和593 MPa,分别超过均载时的35.7%和35.1%。由此可见,偏载恶化了行星机构的载荷环境。

3 行星齿轮系可靠度计算 3.1 模型的建立

将最小次序统计量的概念应用于可靠性模型的建立过程中,最小次序统计量的概念可以描述为,从总体分布中抽出n个样本,选出样本中的最小值,重复此动作,最终由最小值得到的分布就是该总体的最小次序统计量分布。可以将这个概念应用于齿轮,将一个齿轮看成串联系统,齿轮上各个轮齿看成系统中相同的零件。如果任意轮齿失效,使齿轮无法完成指定的功能,则这个串联系统失效。

根据最小次序统计量的定义,齿轮的概率寿命等同于其轮齿概率寿命的最小次序统计量,它们的寿命分布关系如图 12所示。

图 12 齿轮与轮齿的寿命分布关系 Figure 12 Life distribution relationship between gear and tooth

对于两批材料与结构参数相同的齿轮产品,两者的轮齿弯曲疲劳性能可能存在差异,这种差异主要来自于热处理阶段。由于渗碳温度、渗碳时间、碳浓度等热处理条件无法达到完全一致,将会使两批齿轮的齿根处形成不同的表面硬度和心部硬度、硬化层深度和沿深度方向的硬度变化梯度、表面与次表面的残余应力状态等,这些因素会共同影响轮齿的弯曲疲劳寿命与可靠性[26-29]。对于一个齿轮来说,它的热处理条件是完全相同的,因此有理由认为一个齿轮上各个轮齿的疲劳寿命在相同的应力等级下为独立同分布随机变量,甚至对于同一批相同的齿轮来说,它们的轮齿寿命也可以看成是来自相同的母体,这是将最小次序统计量应用于齿轮的前提条件。对于行星机构而言,它的齿轮一般出自同一批齿轮产品,又由于所有齿轮的模数相同,承载能力相同,因此可以认为系统中所有轮齿的疲劳寿命服从同一个分布。

若总体X的概率密度函数为f(x),累积分布函数为F(x),则最小次序统计量的概率密度函数为

(10)

Z表示齿轮的齿数,自变量x表示轮齿的载荷作用次数(即寿命),将式(10) 两边积分,得到轮齿概率寿命的最小次序统计量累积分布函数Gmin(x),即齿轮的寿命累积分布函数可以表示为

(11)

将式(11) 变换,得到轮齿的寿命累积分布函数

(12)

用两参数威布尔分布函数表示齿轮的寿命分布[30],其累积分布函数可以表示为

(13)

式中:β0θ0分别为齿轮寿命分布的形状参数和尺度参数。

将式(13) 代入式(12) 得

(14)

式(14) 将齿轮的概率寿命转化成了轮齿的概率寿命。从分布函数的形式可见,轮齿的寿命分布同样为两参数威布尔分布,其形状参数不变β1=β0,尺度参数变为θ1=θ0Z1/β0

式(14) 建立了齿轮与轮齿之间的概率寿命的关系,对这种关系的必要性作如下讨论。根据行星机构的运动学与力学分析,获得了系统中各个齿轮的轮齿载荷信息,如果再得到它们的强度信息,就能够完成对齿轮系统的可靠度计算。可以通过疲劳试验获得轮齿的强度信息,国内外学者一般采用脉动加载的方式获得轮齿的疲劳寿命,但这种试验方法无法反映轮齿在啮合过程中的动态特性(齿根的应力状态为多轴应力状态),它只适用于不同轮齿之间的参数对比试验[31-34]。因此,使用了功率流封闭式齿轮旋转试验机,它可以很好地反映轮齿的实际载荷状态,但由此得到的试验数据为齿轮的寿命而非轮齿的寿命,这就需要借助两者的概率寿命关系,最终用于获得轮齿的强度信息。

转化过程如图 13所示,将不同应力等级下的齿轮寿命分布转化为轮齿的寿命分布,然后采用最小二乘法,对各应力级S下轮齿寿命的概率密度曲线的相同可靠度分位点进行线性拟合,最终得到了轮齿P-S-N曲线。

图 13 齿轮与轮齿的寿命分布转换 Figure 13 Life distribution transformation between gear and tooth

这里需要强调的是,试验中使用的齿轮试样为特定的齿轮,它与行星齿轮系中的齿轮的基本参数相同,如材料、模数、压力角、齿宽等。同时,两者的制造设备与工艺路线等也要相同,且要求来自于同一批热处理,这些要求最终能够保证行星齿轮系可靠度计算的精度。

在获得了行星齿轮系中轮齿的载荷与强度信息后,便可以完成系统的可靠度计算。对于太阳轮,根据其目标齿的等效恒幅应力可以得到其轮齿在σa应力等级下的寿命累积分布函数Fax,由于太阳轮所有轮齿的载荷历程都相同,因此可以得到太阳轮的可靠度表达式为

(15)

同理得到行星轮的可靠度表达式为

(16)

式中:ZaZc分别为太阳轮与行星轮的齿数。

内齿轮上各个轮齿处于不同的应力等级,其中有18个轮齿的齿根弯曲应力高于疲劳极限,它们是影响内齿轮可靠性的敏感部位,因此考虑这18个轮齿,内齿轮的可靠度表达式为

(17)

根据可靠性乘积定律,行星齿轮系的可靠度表达式为

(18)

将式(15)~式(17) 代入式(18) 得

(19)

式(19) 中,自变量x表示轮齿的载荷作用次数,由于行星齿轮系中各个齿轮的啮合频率不同,因此需要将式(19) 中的自变量统一为机构的运行时间t,根据表 2中的运动学参量,行星齿轮系的可靠度表达式变为

(20)

同时将两参数威布尔分布函数代入式(20),并整理得

(21)

式中:βaθa为在σa应力等级下,太阳轮轮齿的寿命分布形状参数和尺度参数;βcθc为在σc应力等级下,行星轮轮齿的寿命分布形状参数和尺度参数;βb1θb1为在σb1应力等级下,内齿轮上第一个敏感轮齿的寿命分布形状参数和尺度参数。

式(21) 即为行星齿轮系考虑偏载影响的可靠度计算模型,根据行星齿轮系的结构参数和特定齿轮的寿命信息便可以简单而有效地计算系统在偏载状态下的可靠度。当用此模型计算齿轮系在均载状态下的可靠度时,只需要将轮齿的均载应力计算结果代入模型即可。

在额定工况下,行星齿轮系运行1 000 min的可靠度计算结果如表 4表 5所示。由结果可见,在均载状态下,可靠度计算值接近此类系统的可靠度要求[35];而在偏载状态下,系统的可靠度明显降低。即在平均偏载系数G=1.52的条件下,行星齿轮系的可靠度下降了9.11%。

表 4 偏载状态的可靠度计算结果 Table 4 Reliability results with unequal load sharing
Type (Stress levels/MPa) Weibull distribution parameters Reliability/%
Sun gear (562)β=2.15, θ=2.46×105 97.37
Planet gear (593)β=2.42, θ=1.43×105 96.96
Ring gear (506)β=1.77, θ=7.11×105,(522)β=1.87, θ=5.19×105,(536)β=1.96, θ=3.97×105
(549)β=2.05, θ=3.12×105,(558)β=2.12, θ=2.64×105,(568)β=2.20, θ=2.21×105
(574)β=2.25, θ=1.99×105,(579)β=2.29, θ=1.82×105,(581)β=2.31, θ=1.76×105
(582)β=2.32, θ=1.73×105,(580)β=2.30, θ=1.79×105,(576)β=2.27, θ=1.92×105
(570)β=2.22, θ=2.13×105,(562)β=2.15, θ=2.46×105,(554)β=2.09, θ=2.84×105
(541)β=2.00, θ=3.61×105,(527)β=1.90, θ=4.71×105,(512)β=1.81, θ=6.31×105
99.89
System 88.65
表 5 均载状态的可靠度计算结果 Table 5 Reliability results of equal load sharing
Type (Stress levels/MPa) Weibull
distribution parameters
Reliability
/%
Sun gear (414)β=1.32, θ=5.39×106 99.82
Planet gear (570)β=2.22, θ=2.13×106 98.96
Ring gear (369)β=1.15, θ=1.72×107 99.99
3.2 模型的验证

行星齿轮系可靠性建模的关键思想是利用最小次序统计量概念,将特定齿轮的寿命分布转化为轮齿的寿命分布,为了对这种转化思想的有效性进行验证,首先介绍一种随机截尾数据的统计处理方法。

在寿命试验中一般会获得两种数据,一种是具有准确失效时间的数据,称之为失效数据;另一种是没有失效就退出试验,即它的实际寿命要大于试验时间,这种数据称之为截尾数据,以上两种数据统称为随机截尾数据。

将随机截尾数据的概念应用于齿轮,在齿轮的疲劳试验中,当一个齿轮上的某个轮齿断裂时立刻停止试验,这样便获得了断裂轮齿的失效数据和其他轮齿的截尾数据,将轮齿的随机截尾数据统计处理可以得到轮齿的概率寿命,并可将其与可靠性模型的计算结果进行对比验证。

用两参数威布尔分布函数表示轮齿的疲劳寿命,并采用最大似然估计法对随机截尾数据进行分布参数估计。用(t1, δ1), (t2, δ2), …, (tn, δn)表示随机截尾数据,ti代表第i个轮齿的寿命数据,当δi=1时ti是失效数据;当δi=0ti为截尾数据,那么在一个齿轮上,轮齿寿命的随机截尾数据模型如图 14所示。

图 14 轮齿寿命的随机截尾数据模型 Figure 14 Randomly censored data model for tooth life

威布尔分布函数的两个参数(β, θ)的似然函数可表示为

(22)

β的最大似然估计可通过式(23) 解得

(23)

θ的最大似然估计通过式(24) 解出

(24)

图 13中最高应力级的17个齿轮的寿命数据作为研究对象,从中可以得到17个轮齿的寿命数据和408个轮齿的截尾数据,共425个轮齿的随机截尾数据(一个试验齿轮上具有25个轮齿)。最终得到的对比结果如图 15所示。

图 15 两种方法的概率密度曲线 Figure 15 Probability density curves of two methods

由于随机截尾数据的样本量较大,因此其统计结果比较接近真实值。通过图 15中的结果对比可以看到,两者的概率密度曲线具有较高的重合度,均值的相对误差为7.9%,标准差的相对误差为8.8%,可见本文的转化模型具有较好的概率寿命计算能力。

4 结论

行星机构的偏载问题不容忽视,偏载对行星齿轮系可靠性的影响及齿轮系在偏载状态下的可靠度计算方法更是偏载问题的核心。通过以上研究可以得到如下结论。

1) 在额定工况下,当机构处于均载状态时,行星齿轮系的可靠度为96.73%;而当机构发生了偏载,其载荷环境发生恶化,在平均偏载系数G=1.52的条件下齿轮系的可靠度降到88.65%。可见对于齿轮弯曲疲劳这种失效模式来说,偏载降低了系统的可靠度,增加了轮齿折断的发生概率,因此对于航空行星机构而言,在提高制造与装配精度的同时,还要注重支撑结构的优化,将机构的偏载程度控制在安全的范围内。

2) 针对这种参数的行星机构,无论均载或是偏载,行星轮都是影响齿轮系可靠性的敏感构件。由于其齿数较少,啮合频率较高,加之轮齿双侧受载,因此其可靠度相对较低。在设计时应该适当增加行星轮的强度,用于提高整个系统的可靠度。对于齿轮弯曲疲劳失效模式,内齿轮对系统可靠性的影响并不显著,因此在追求轻质量的航空行星减速器的设计中,可以通过适当减小内齿轮的齿宽来达到减小质量的目的。

参考文献
[1] HIDAKA T, TERAUCHI Y. Dynamic behavior of planetary gear (1st report load distribution in planetary gear)[J]. Bulletin of the JSME, 1976, 19(132): 690–698.
Click to display the text
[2] HIDAKA T, TERAUCHI Y, DOHI K. On the relation between the run out errors and the motion of the center of sun gear in a stoeckicht planetary gear[J]. Bulletin of the JSME, 1979, 22(167): 748–754.
Click to display the text
[3] HIDAKA T, TERAUCHI Y, NAGAMURA K. Dynamic behavior of planetary gear (7th report influence of the thickness of ring gear)[J]. Bulletin of the JSME, 1979, 22(170): 1142–1149.
Click to display the text
[4] MULLER H W. Epicyclic drive trains[D]. Detroit:Wayne State University, 1982.
[5] SEAGER D L. Load sharing among planet gears:700178[R]. SAE, 1970.
[6] KASUBA R, AUGUST R. Torsional vibrations and dynamic loads in a basic planetary gear system[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1986, 108(3): 348–353.
Click to display the text
[7] MA P, BOTMAN M. Load sharing in a planetary gear stage in the presence of gear errors and misalignments[J]. Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, 1985, 107: 1–7.
Click to display the text
[8] JARCHOW F. Development status of epicyclic gears[C]//ASME International Power Transmission and Gearing Conference. New York:ASME, 1989:48-53.
[9] HAYASHI T, LI Y, HAYASHI I. Measurement and some discussions on dynamic load sharing in planetary gears[J]. Bulletin of the JSME, 1986, 29(253): 2290–2297.
Click to display the text
[10] KAHRAMAN A. Load sharing characteristics of planetary transmissions[J]. Mechanism and Machine Theory, 1994, 29(8): 1151–1165.
Click to display the text
[11] KAHRAMAN A. Static load sharing characteristics of transmission planetary gear sets:Model and experiment:1999-01-1050[R]. SAE, 1999.
[12] YANG Q. Fatigue test and reliability design of gears[J]. International Journal of Fatigue, 1996, 18(3): 171–177.
Click to display the text
[13] ZHANG Y M, LIU Q, WEN B. Practical reliability-based design of gear pairs[J]. Mechanism and Machine Theory, 2003, 38: 1363–1370.
Click to display the text
[14] ZHANG G Y, WANG G Q, LI X F. Global optimization of reliability design for large ball mill gear transmission based on the kriging model and genetic algorithm[J]. Mechanism and Machine Theory, 2013, 69(11): 321–336.
[15] NEJAD A R, GAO Z, MOAN T. On long-term fatigue damage and reliability analysis of gears under wind loads in offshore wind turbine drive trains[J]. International Journal of Fatigue, 2014, 61: 116–128.
Click to display the text
[16] LI Y F, VALLA S, ZIO E. Reliability assessment of generic geared wind turbines by GTST-MLD model and Monte Carlo simulation[J]. Renewable Energy, 2015, 83: 222–233.
Click to display the text
[17] GUERINE A, ELHAMI A, WALHA L. A perturbation approach for the dynamic analysis of one stage gear system with uncertain parameters[J]. Mechanism and Machine Theory, 2015, 92: 113–126.
Click to display the text
[18] HASL C, LIU H, OSTER P. Method for calculating the tooth root stress of plastic spur gears meshing with steel gears under consideration of deflection-induced load sharing[J]. Mechanism and Machine Theory, 2017, 111: 152–163.
[19] CONCLI F, GORLA C. Numerical modeling of the power losses in geared transmissions:Windage, churning and cavitation simulations with a new integrated approach that drastically reduces the computational effort[J]. Tribology International, 2016, 103: 58–68.
Click to display the text
[20] WANG L M, SHAO Y M. Fault mode analysis and detection for gear tooth crack during its propagating process based on dynamic simulation method[J]. Engineering Failure Analysis, 2017, 71: 166–178.
Click to display the text
[21] GLODEZ S, ABERSEK B. A computational model for determination of service life of gears[J]. International Journal of Fatigue, 2002, 24(10): 1013–1020.
Click to display the text
[22] GLODEZ S, ABERSEK B. Evaluation of the service life of gears in regard to surface pitting[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2004, 71(4): 429–438.
[23] ABERSEK B, FLASKER J. Review of mathematical and experimental models for determination of service life of gears[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2004, 71(4): 439–453.
[24] BRITISH STANDARD. ISO 6336-3 Calculation of load capacity of spur and helical gears, part 3:Calculation of tooth bending strength[S]. 2006.
[25] BUCH A. Fatigue strength calculation[M]. 1988:169-170.
[26] AKATA E, ALTINBALIK M T, CAN Y. Three point load application in single tooth bending fatigue test for evaluation of gear blank manufacturing methods[J]. International Journal of Fatigue, 2004, 26(7): 785–789.
Click to display the text
[27] SAVARIA V, BRIDIER F, BOCHER P. Predicting the effects of material properties gradient and residual stresses on the bending fatigue strength of induction hardened aeronautical gears[J]. International Journal of Fatigue, 2016, 85: 70–84.
Click to display the text
[28] DENGO C. Experimental analysis of bending fatigue strength of plain and notched case-hardened gear steels[J]. International Journal of Fatigue, 2015, 80: 145–161.
Click to display the text
[29] CONRADO E, GORLA C, DAVOLI P. A comparison of bending fatigue strength of carburized and nitrided gears for industrial applications[J]. Engineering Failure Analysis, 2017, 78(8): 41–54.
[30] 安宗文, 张宇, 刘波. 风电齿轮箱零件寿命分布函数的确定方法[J]. 电子科技大学学报, 2014, 43(6): 950–954.
AN Z W, ZHANG Y, LIU B. A method to determine the life distribution function of components for wind turbine gearbox[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2014, 43(6): 950–954. (in Chinese)
Cited By in Cnki (3) | Click to display the text
[31] OLSSON E, OLANDER A, OBERG M. Fatigue of gears in the finite life regime-experiments and probabilistic modelling[J]. Engineering Failure Analysis, 2016, 62(1): 276–286.
[32] FERNANDES P. Tooth bending fatigue failures in gears[J]. Engineering Failure Analysis, 1996, 3(3): 219–225.
Click to display the text
[33] MACKALDENER M, OLSSON M. Interior fatigue fracture of gear teeth[J]. Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, 2000, 23(4): 283–292.
Click to display the text
[34] MACKALDENER M, OLSSON M. Tooth interior fatigue fracture-computational and material aspects[J]. International Journal of Fatigue, 2001, 23(4): 329–340.
Click to display the text
[35] 林左鸣. 世界航空发动机手册[M]. 北京: 航空工业出版社, 2012: 240-270.
LIN Z M. World aero engine manual[M]. Beijing: Aviation Industry Press, 2012: 240-270. (in Chinese)
http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2017.421145
中国航空学会和北京航空航天大学主办。
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文章信息

李铭, 谢里阳, 丁丽君
LI Ming, XIE Liyang, DING Lijun
行星机构的可靠性分析与计算
Reliability analysis and calculation for planetary mechanism
航空学报, 2017, 38(8): 421145.
Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(8): 421145.
http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2017.421145

文章历史

收稿日期: 2017-01-17
退修日期: 2017-02-17
录用日期: 2017-04-24
网络出版时间: 2017-05-19 09:27

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