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基于频响函数的复合材料空间分布模量场识别
范刚1,2, 吴邵庆1,2, 李彦斌3, 费庆国1,2, 韩晓林1,2     
1. 东南大学 工程力学系, 南京 210096;
2. 江苏省工程力学分析重点实验室, 南京 210096;
3. 东南大学 机械工程学院, 南京 211189
摘要: 针对纤维编织复合材料宏观力学性能的非均匀特性,提出了基于频响函数(FRF)的复合材料梁空间分布弹性模量场的识别方法。采用基于灵敏度分析的方法构造优化问题,以实测和计算加速度频响残差范数最小为目标函数,进而通过迭代求解识别出复合材料梁弹性模量的空间分布。首先,以悬臂梁模型为研究对象进行数值仿真分析,验证识别方法的正确性。进一步开展复合材料梁模态试验研究,将复合材料三点弯曲试验获取的近似均质化弹性模量作为优化问题的初值;利用非接触测量方法获取模态试验中梁上各测点处的动位移响应,并计算得到各测点的加速度频响函数作为优化问题的输入值。结果表明:采用所提出的识别方法获取的模量场计算得到的梁上各处频响函数与试验获取值吻合,且所提方法在实测动响应存在噪声污染工况下是可行的。该方法能够为复合材料等效建模提供更加准确的弹性模量场。
关键词: 纤维编织复合材料     非均匀特性     弹性模量场     模态试验     加速度频响     灵敏度分析    
Identification of spatial distribution of modulus field of composite material based on frequency response function
FAN Gang1,2, WU Shaoqing1,2, LI Yanbin3, FEI Qingguo1,2, HAN Xiaolin1,2     
1. Department of Engineering Mechanics, Southeast University, Nanjing 210096, China;
2. Jiangsu Key Laboratory of Engineering Mechanics, Nanjing 210096, China;
3. School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China
Received: 2016-12-06; Revised: 2016-12-27; Accepted: 2017-03-07; Published online: 2017-03-15 17:04
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (11402052, 11572086); Program for New Century Excellent Talents in University (NCET-11-0086); Natural Science Foundation of Jiangsu Province of China (BK20140616)
Corresponding author. FEI Qingguo, E-mail:qgfei@seu.edu.cn
Abstract: Considering the heterogeneity of the macroscopic mechanical properties of fiber braided composites, an identification method for spatial distribution of elastic modulus field of the composite beam structure based on Frequency Response Function (FRF) is proposed. The optimization problem is constructed based on sensitivity analysis. The minimum norm of the difference between the measured and the calculated frequency response of acceleration is taken as the objective function, and the spatial distribution of the elastic modulus of the composite beam is then identified by iterative methods. Numerical simulation of a cantilever beam is conducted to verify the correctness of the identification method, and the modal test is then carried out. The homogeneous elastic modulus obtained from a three-point bending test of the same composite beam is taken as the initial value of the optimization problem. The non-contact measurement approach is adopted to obtain the dynamic displacement response of each measuring point on the beam in the modal test, and the acceleration frequency response function is calculated as input data. Results show that the frequency response functions of each measuring point on the beam calculated by the identified elastic modulus field agree well with the experimental values, and the proposed method is feasible when the measurement dynamic responses are noise contaminated. This method is capable of providing a more accurate elastic modulus field for equivalent modeling of composite materials.
Key words: fiber braided composite     heterogeneity     elastic modulus field     modal test     frequency response of acceleration     sensitivity analysis    

纤维编织复合材料具有质量轻、强度高以及断裂性能好等优越性能[1],被广泛应用于汽车、船舶和航空航天等领域[2-4]。C/C复合材料以碳纤维为增强体,以碳为基体,其综合了碳纤维增强体优越的力学性能和碳基体良好的化学和热稳定性。与传统均质的金属材料不同,复合材料微观结构的多样性和微观变形的复杂性、内部多相(基体相、增强相、界面相)夹杂以及加工工艺等因素[5]导致复合材料宏观性能存在较大的空间非均匀性和离散性。因此,准确的复合材料宏观力学参数的获取成为复合材料结构动力学建模的关键之一。

目前针对纤维编织复合材料的等效宏观力学参数获取方法主要有:理论分析、数值分析、试验测量、以及试验和数值混合分析等。理论分析和数值分析方法需要先建立具有代表性的材料单元,即单胞模型,从微观的角度进行单胞分析,然后通过刚度平均法得到复合材料的等效宏观参数。高思阳等[6]基于单胞模型,导出了纤维复合材料的刚度表达式,研究了刚度矩阵的基本力学特性。邢誉峰和田金梅[7]提出了一种特征单元均匀化分析方法,建立了单胞的特征单元。Dalmaz等[8]从理论分析出发,基于Esheby有限元模型预测了材料的等效弹性模量。刘玉佳等[9]发展了一种细观力学有限元分析方法,预测了单向纤维增强树脂基复合材料的力学性能。理论分析和数值分析方法大多建立在宏观材料参数均质化假设的基础上,然而,实际上复合材料宏观材料参数在空间分布上通常具有非均匀性,因此,理论分析和数值分析方法得到的材料参数很可能与复合材料实际的材料参数有较大偏差。随着测试手段的不断进步,对于一些材料参数简单的模型,可以通过试验直接获得复合材料的力学性能。孔春元等[10]通过经向拉伸试验获得2.5维C/SiC复合材料力学性能。然而对于材料参数较为复杂的模型,试验测量法一般只能获取材料的部分力学参数,对于试验难以获取的力学参数,只能通过数值分析与试验相结合的手段间接获取。Rahmani等[11]基于模型全场的位移数据,通过正则化模型修正(Regularized Model Updating)方法准确识别出复合材料力学参数。Bolzon和Talassi[12]以压痕试验数据为优化目标,通过函数差值的数值分析方法识别出各项异性材料的材料参数。Gras等[13]通过数字图像相关法获得三维编织复合材料的位移场,并通过进一步数值分析获取复合材料的等效力学参数。在基于静态测量数据的参数识别方法中,模拟边界条件往往无法与实际边界一致,带来参数识别误差。相对于静力学试验分析方法,基于动态试验结果的参数识别方法可以采用自由-自由边界来避免因边界条件模拟不准确而造成的参数识别误差。Sepahvand和Marburg[14]从复合材料微观角度出发,基于模态试验获取的模态频率,采用随机有限元的方法建立了复合材料参数的随机模型。姜东等[15]根据模态试验结果,开展了2.5维C/SiC复合材料不确定性弹性参数识别方法研究。Mehrez等[16]以模态试验获取的各阶模态频率为优化目标,通过一组确定性反问题建立了复合材料梁的弹性模量分布场。但当模态比较密集时,基于模态参数的识别方法会有较大的误差,而频响函数(FRF)包含了比模态参数更丰富的信息,当待识别的参数数目较多时,在构造优化问题时更有优势。

综上所述,目前关于复合材料等效力学参数获取方面的研究都较少关注材料宏观性能在空间上的非均匀性,会极大影响复合材料结构的局部动响应预示结果以及后续动强度评估的可靠性。本文考虑了复合材料弹性模量在空间分布上的非均匀性,利用C/C复合材料悬臂梁各测点处加速度频响函数,并通过灵敏度分析的方法识别出复合材料弹性模量在空间上的分布,为复合材料等效建模提供更加准确的弹性模量场。

1 理论基础

频域内多自由度线性系统的动力学方程为

(1)

式中:MCK分别为结构的整体质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;i和ω分别为虚数单位和圆频率;x(ω)和f(ω)分别为位移响应与激励的傅里叶变换。

定义结构的有限元模型弹性模量空间单向分布场为

(2)

式中:Ei(i=1, 2, …, n)为第i个单元的弹性模量;n为有限元模型单元个数。则结构的整体刚度矩阵可以表示为

(3)

由式(3) 可知,结构的整体刚度与空间分布弹性模量场有关。因此,准确的弹性模量空间分布场的获取对结构动力学建模至关重要。

引入结构位移频响函数矩阵为

(4)

则式(1) 可以重新写为

(5)

则加速度响应为

(6)

式中:A(ω)为加速度频响函数矩阵。

若激励为频域内作用于结构第j个自由度上的单位力,对于选定的n个自由度上的加速度响应可表示为

(7)

式中:Aij(i=1, 2, …, n)为加速度频响矩阵的第i行第j列;Aj为第j列。

定义残差项R(E)为结构加速度响应试验测量值Aje(ω)与有限元计算值Aja(ω, E)的差值,即

(8)

对选定频率点ω1, ω2, …, ωs(s为频率点的个数)处的频响函数值,利用有限元模型获取的计算值与试验获取的测试值具有良好的相关性[17],因此残差项的范数‖R(E)‖应在这些频率点处得到最小化,则参数识别问题转化为求极小值问题[18],即

(9)

对于极小值问题,一般采用迭代优化的方法解决。在待识别参数初始点E0处将Aja(ω, E)展开成待识别参数E的一级泰勒展开式,即

(10)

式中:S为加速度频响函数A(ω)对待识别参数E的灵敏度矩阵,ΔE为待识别参数E的变化量,其表达式分别为

(11)
(12)

由动刚度矩阵Z(ω)和位移频响函数矩阵H(ω)的互逆性H(ω) Z(ω)= I,可得加速度频响函数A(ω)对某一识别参数Er的灵敏度表达式为

(13)

对于某一特定频率ωt,动刚度矩阵Z(ω)关于某一识别参数Er的一阶偏导为

(14)

将式(14) 代入式(13) 可得

(15)

以上所述为基于加速度频响函数的弹性模量空间分布场识别方法,是一个迭代计算的过程。首先,对试验和计算得到的加速度频响函数进行匹配;然后,进行空间模量分布场的灵敏度分析;最后,采用二次规划方法迭代求解空间模量分布场的变化量直至收敛,其具体步骤如图 1所示。每次迭代时,都要从新识别出的参数值出发,重新计算灵敏度,最终得到复合材料精确的弹性模量空间分布场。其中,得到的复合材料各个方向的弹性模量为等效弹性模量,即把复合材料各个方向的拉/压弹性模量用一个等效弹性模量表示。

图 1 基于加速度频响函数的参数识别流程图 Figure 1 Flow chart of parameter identification based on frequency response function of acceleration

本节仅考虑复合材料弹性模量空间单向分布的非均匀特性,开展了参数识别方法研究。该方法对于其他宏观力学性能参数的非均匀性,如剪切模量和质量密度等也同样适用,且能够有效统一考虑多参数工况。只需将式(2) 包含多种待识别参数,并将结构的整体刚度K和整体质量M表示成含有多个待识别参数的表达式,最后将灵敏度矩阵S进行相应的变换即可。

2 方法验证

为验证基于加速度频响函数的参数识别方法在复合材料弹性模量空间分布识别上的准确性,以一复合材料悬臂梁结构为例开展研究。

采用2D梁单元建立如图 2所示的有限元模型,模型尺寸为260 mm×15 mm×3 mm,由于高跨比小于1/5,采用Euler-Bernoulli梁模型。将模型划分13个单元,节点编号如图 2中所示。模型几何参数如表 1所示,将各单元长度方向的弹性模量初值设为Ei=50 GPa(i=1, 2, …, 13),建立结构的初始有限元模型;将Ei摄动不同值来模拟梁非均匀的抗弯刚度EI,并建立参考模型,摄动后各单元长度方向的弹性模量参考值如表 2所示。

图 2 悬臂梁有限元模型 Figure 2 Finite element model of cantilever beam
表 1 模型几何参数 Table 1 Geometric parameters of model
Parameter Value
Mass density/(kg·m-3) 1 260
Sectional area/m2 4.5×10-5
Moment of inertia/m4 3.375×10-11
Length of element/m 0.02
表 2 悬臂梁各单元长度方向的弹性模量 Table 2 Elastic modulus in lengthwise direction of each element of cantilever beam
Elastic modulus Initial value/GPa Referenced value/GPa Identified value/GPa Identified error/%
E1 50 50 49.96 -0.08
E2 50 40 39.89 -0.05
E3 50 30 29.98 -0.07
E4 50 40 40.01 0.03
E5 50 50 50.02 0.04
E6 50 30 30.01 0.03
E7 50 40 40.01 0.03
E8 50 50 49.97 -0.06
E9 50 40 40.02 0.05
E10 50 40 39.97 -0.07
E11 50 30 30.03 0.10
E12 50 40 39.93 -0.17
E13 50 40 40.25 0.63

在2号节点处施加垂直向下的单位频域激励,计算其他节点处的加速度频响函数。结构加速度频响函数的初始值和参考值分别利用结构初始有限元模型和参考有限元模型计算获得。在基于加速度频响函数的参数识别方法中,频率点的选取会影响识别的效率和精度,选取时应优先选择参考模型各测点处频响函数曲线峰值频带附近的频率点,避免选择参考模型与初始模型各节点处的频响函数曲线两峰值之间的频率点[19]。根据识别理论构造迭代格式,识别出复合材料悬臂梁各单元长度方向的弹性模量并与参考值对比。

参数迭代收敛过程如图 3所示,给出了部分参数识别过程。由图 3可知,经过23次迭代后结果收敛,识别出的参数值与参考值的误差均小于1%,如表 2所示。为了验证识别后模型的正确性,将识别出的弹性模量代入有限元模型进行计算,得到各测点处的加速度频响函数,识别前后3个典型测点处(近固定端处、中部、近自由端处)的加速度频响函数曲线对比如图 4所示,识别前后各典型测点处的前4阶固有频率及各频率点处的响应值非常吻合,验证了识别方法的正确性。

图 3 基于仿真数据的参数迭代收敛过程 Figure 3 Convergence process of iterative of parameters based on simulation data
图 4 识别前后典型位置处的加速度频响曲线对比 Figure 4 Comparison of frequency response curves of acceleration at typical locations before and after identification
3 复合材料空间分布模量场识别

本节首先开展模态试验,获得复合材料悬臂梁各测点处的加速度频响函数;然后基于模态试验获取的加速度频响数据,采用参数识别方法得到复合材料梁各部位长度方向的等效弹性模量。

3.1 试验研究

C/C纤维编织复合材料梁如图 5所示,其为二维正交编织层合结构,共由6层平铺而成。几何尺寸为300 mm×15 mm×3 mm,由于试件长度方向尺寸远大于厚度和宽度方向尺寸,因此仅考虑复合材料梁长度方向的弹性模量空间分布的非均匀性。通过图 6所示的夹具将试件固定在试验台上,悬臂梁有效长度为260 mm,由于高跨比小于1/5,采用Euler-Bernoulli梁模型。根据理论计算的振型图,测点布置在振型曲线峰值较大处,避免将测点布置在振型曲线上的“节点”处,如图 5所示,在试件上布置13个测点,测点间距为20 mm。

图 5 C/C纤维编织复合材料试件 Figure 5 Specimen of C/C fiber braided composites
图 6 模态试验系统 Figure 6 Modal test system

采用锤击法开展模态试验,试验系统如图 6所示,由于复合材料试件质量很轻,采用接触式传感器测量响应会增加附加质量,对悬臂梁的力学性能以及响应测量精度影响显著。本研究中采用非接触式的激光位移计(optoNCDT 1610-4) 测量悬臂梁上各测点处的动位移信号,并结合力锤的激励信号获得各测点处的位移频响函数。由于加速度频响值对弹性模量比位移频响值更加灵敏,因此将位移频响值乘以ω2得到加速度频响值。

采用单点激励多点拾振的方式开展试验[20]。由于悬臂梁上测点P1处的抗弯刚度相对较大,在该测点锤击产生的激励信号接近脉冲信号,因此,选取测点P1为激振点;锤击时激励不宜过大,防止动位移响应幅值超出激光位移计量程;锤击点尽量在试件中线上,减少扭转振动。同时采用激光位移计测量测点P2~P13处(如图 5所示)的响应,每次测量前激光位移计的位置需通过云平台“调零”。

图 7给出了典型测点处的加速度频响函数,悬臂梁的前3阶固有频率分别为45、280、765 Hz。加速度频响函数曲线在低频段较为平滑,当频率较高时,响应值波动相对较大。主要是因为加速度频响函数是由位移频响函数乘以ω2获得的,因此,试验获取的高频段加速度频响值受噪声信号的影响较为显著。

图 7 各典型测点处加速度的试验频响曲线 Figure 7 Experimental frequency response curves of acceleration at typical locations

在基于频响函数的参数识别方法中,要选取不同频率点处的响应值作为优化目标,由于试验获得的加速度频响值受到噪声污染,数据在真实值附近有波动,因此不能直接作为优化目标,需要预先进行去噪处理。由于频响函数在固有频率处和非固有频率部分的信号特征迥异,因此采用小波信号分析方法对试验获得的频响函数进行分段去噪处理[21-22],去噪前后的频响函数曲线对比如图 8所示,经小波分析去噪后的频响函数曲线变得光滑,因此,将去噪后的加速度频响函数作为参数识别的目标函数。

图 8 小波去噪前后加速度频响对比 Figure 8 Comparison of frequency response of acceleration before and after wavelet denoising
3.2 基于试验频响的参数识别

将复合材料梁三点弯曲试验获得的近似均质化弹性模量作为有限元模型材料参数的初始值(如表 3所示),其他几何参数如表 1所示,建立初始有限元模型。选取去噪后的加速度频响值和由初始有限元模型计算得到的加速度频响值残差的范数最小作为优化目标,并利用在MATLAB中编写的程序实现参数识别方法的迭代优化计算,得到复合材料悬臂梁模型各单元长度方向的等效弹性模量。

表 3 初始模型和识别后模型各单元长度方向的等效弹性模量 Table 3 Equivalent elastic modulus in lengthwise direction of each element between initial model and identified model
Para-meter Initial value/GPa Indentified value/GPa
E1 50 37.6
E2 50 56.4
E3 50 36.7
E4 50 38.5
E5 50 54.0
E6 50 57.8
E7 50 57.7
E8 50 42.8
E9 50 49.6
E10 50 53.7
E11 50 52.7
E12 50 52.6
E13 50 52.5

部分参数迭代收敛过程如图 9所示,经过26次迭代后待识别参数收敛到目标值。

图 9 基于试验数据的参数迭代收敛过程 Figure 9 Convergence process of iterative of parameters based on experimental data

为验证识别结果的正确性,将识别得到的各单元的弹性模量值代入有限元模型中计算,得到识别后模型各测点处的加速度频响函数。识别后模型、实测模型及初始模型各测点处的加速度频响函数曲线对比如图 10所示。由图 10可知,越靠近固定端的测点,曲线的吻合度越好,主要是因为靠近固定端测点处的刚度相对较大,试验测得的频响值受噪声信号的影响相对较小;高频段的曲线吻合相对较差,主要是因为试验获取的高频段加速度频响值受噪声信号的影响较大。总体来说,识别结果的收敛以及复现实测频响的结果较理想,可以认为识别出的各部位复合材料长度方向的等效弹性模量趋近于真值。

图 10 识别后模型、实测模型和初始模型各典型测点处的加速度频响比较 Figure 10 Comparison of frequency response of acceleration at typical locations among identified model, experimental model and initial model
4 结论

1) 本文考虑了复合材料弹性模量在空间分布上的非均匀性,将识别出的弹性模量场代入到有限元模型中,得到模型各测点处的频响曲线与试验获取的各测点处频响曲线基本吻合。可以认为识别出的复合材料梁长度方向的等效弹性模量场能更好地反映结构的真实动态特性。

2) 相比于单纯的理论计算或静力试验,本文所提方法识别出的结果更接近真实值。为复合材料的精确动力学建模以及后续的动响应预测和动强度分析研究提供更好的参数化模型。

3) 本文仅考虑复合材料弹性模量空间单向分布的非均匀特性,开展了参数识别方法研究。对于弹性模量、剪切模量和质量密度等多种宏观力学性能参数同时存在非均匀特性的情况,该方法也能够有效统一考虑。

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http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2017.221024
中国航空学会和北京航空航天大学主办。
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文章信息

范刚, 吴邵庆, 李彦斌, 费庆国, 韩晓林
FAN Gang, WU Shaoqing, LI Yanbin, FEI Qingguo, HAN Xiaolin
基于频响函数的复合材料空间分布模量场识别
Identification of spatial distribution of modulus field of composite material based on frequency response function
航空学报, 2017, 38(8): 221024.
Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(8): 221024.
http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2017.221024

文章历史

收稿日期: 2016-12-06
退修日期: 2016-12-27
录用日期: 2017-03-07
网络出版时间: 2017-03-15 17:04

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