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基于聚类状态主控边界点的单调多态关联系统可靠性分析
张永进1, 孙有朝2, 张燕军3     
1. 安徽工业大学 数理科学与工程学院, 马鞍山 243002;
2. 南京航空航天大学 民航学院, 南京 211106;
3. 扬州大学 机械工程学院, 扬州 225127
摘要: 鉴于组成系统单元的多状态单调关联性特征,将多元离散函数理论引入描述系统状态结构函数,发展了控制状态等价类主导状态向量的状态等价类主控边界点的逻辑方法,推导了多态单调关联系统的状态结构函数、可靠性和期望状态表达式;面向顾客的需求偏好,将负效用函数嵌入系统平均性能效用模型;鉴于元件状态引起的计算复杂性,提出了集合运算的德摩根律法和新型的框图式算法,简化了系统可靠度的表达式。结合某型航空发动机的简化演算,验证了主导等价类向量方法和框图算法的合理性与有效性,为工程系统的可靠性设计和可靠性管理提供理论依据。
关键词: 主控边界点     离散函数     多状态关联系统     单调性     可靠性    
Reliability analysis for multi-state coherent system with monotonic components based on pivotal boundary points of clustering states
ZHANG Yongjin1, SUN Youchao2, ZHANG Yanjun3     
1. School of Mathematics and Physics, Anhui University of Technology, Maanshan 243002, China;
2. College of Civil Aviation, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China;
3. College of Mechanical Engineering, Yangzhou University, Yangzhou 225127, China
Received: 2016-10-19; Revised: 2017-02-26; Accepted: 2017-04-05; Published online: 2017-04-19 13:31
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (U1333119, 60979019, 60572171, 51605424, 71601002); CAAC Science and Technology Project (MHRD201123, MHRD200908, MHRD0722); Natural Science Foundation of Jiangsu Province (BK20150455)
Corresponding author. SUN Youchao, E-mail: sunyc@nuaa.edu.cn
Abstract: Considering the monotone and coherence of the multi-state system, the multiple discrete function theory is introduced to describe the structure function of system state. The logic approaches for the equivalence class of the component state which control the state vector of system are proposed, and the expressions for the state structure function, reliability and expected states are derived for the multi-state coherent system. To avoid the complexity of computation caused by the number of the state, the Demogen law and the new block diagram algorithm are developed to simplify the expression for the system reliability. An illustrative example of a certain type of aero engine verifies the effectiveness of the logic vector measure controlling the state equivalence class and the block diagram algorithm. It provides theoretical basis for reliability design and reliability management of system engineering.
Key words: pivotal boundary point     discrete function     multi-state coherent system     monotonicity     reliability    

随着系统设计的结构越来越复杂化,组成单元从“完美工作状态”到“完全失效状态”的演化过程中往往会经历若干中间状态,而系统的状态取决于系统内部若干个元件提供的状态组合,从而系统表现出多状态特征,它是工程机械系统性能的重要表征,如锅炉燃烧的燃油量由若干喷油器喷出,汽轮机所需蒸汽量由若干锅炉提供等。随着多态系统研究的深入,工程上提出系统中任何一个元件都有其特定的功能,而且一个部件质量的改善不会降低系统的可靠性[1],这就使得单调关联多态系统(Multi-State Coherent System:MSCS)的可靠性研究具有重要的现实意义。

最早Barlow[2]和EI-Neweihi[3]等对多态关联系统进行了研究,对多态关联系统给出了一系列基本定义,随后Natring[4]进一步完善了多态关联系统基本概念。目前,常见关于多态关联系统的可靠性研究方法有多状态故障树[5-6]、系统结构函数[7]、多状态最小路与割[8-13]、齐次马尔可夫模型[14-15]、非齐次马尔可夫模型[16]、随机衰退模型[17-18]、通用生成函数[19]和寿命分布函数[20]等方法,这些方法中多数并不考虑面向使用者的系统效能。进一步,系统可靠性评估通常建立在子单元可靠性数据的基础上,为此Barlow和Wu[2]将二态关联系统的可靠性理论推广到多态关联系统,EI-Neweihi[3]获得了系统性能与部件性能之间的关系,分别给出了一个并联系统和一个串联系统中存在的可靠性上下边界,Kundu[21]和Franko[22]等研究了单调关联系统可靠性问题。考虑部件性能改进对系统性能改进的影响,Griffith[23]给出了一个多态系统结构函数公理化方法,考虑系统效用,得到了系统性能度量方法。基于最小路和最小割原理,Butler[24]提出用模块分解方法来改进多态系统的可靠性边界,并研究了可靠性界限。为研究关联系统结构特性,Block和Savits[25]推导了多态系统结构函数的分解理论,给出了系统元件关联性与重要性基本概念。面向顾客偏好的多态关联系统,Hudson与Kapur[26]首次提出了等价类和边界点基本概念,分析了系统所处固定状态的概率,应用容斥原理和不交集对系统可靠性的状态边界进行了改进。基于顾客对系统元件状态变化如何影响系统状态的陈述,Boedigheimer和Kapur[7]建立了顾客偏好下系统的结构函数,给出了系统处于指定状态的概率计算方法。应用等价类和边界点结构函数方法,Lisnianski与Levitin[27]对系统可靠性性能进行了分析。鉴于结构函数描述系统状态的有效性,Liu[28]和Magana[29]等进一步完善了等价类结构函数评估系统可靠性的方法,建立了多态单调关联系统的结构函数,应用最小路和最小割方法研究了系统可靠性,然而随着单元数以及元件状态数的增加,计算复杂性也快速增加。

针对工程中常见的多状态单调关联系统,本文拟应用结构函数与离散函数相关理论,基于Lisnianski[27]、Liu[30]以及Magana[29]等给出的系统状态等价类及边界点方法,将一般状态等价类推广到可靠的状态聚类,应用状态等价聚类的边界点方法对多态关联系统可靠性进行研究,提出基于逻辑代数的德摩根律方法以及简易框图算法,优化计算复杂程度。最后给出一个算例分析,将航空发动机系统分解成一般性可靠性框图结构,分析该系统所处的各个状态时的可靠度,验证所给出的新方法的有效性,为工程实际的复杂多态关联系统可靠性设计提供理论基础。

1 单调多态关联系统

考虑一个含有n个元件的单调MSCS。设一个多态系统具有M+1个状态,不妨记为状态集{0, 1, …, M},设该系统由n个元件构成,而且这些元件具有多个状态,记为{0, 1, …, mi}(i=1, 2, …, n),即元件共有mi+1个状态。若一个系统具有初始性能状态,并非完好状态时,不妨记这些状态为{l, l-1, …, lk+1}{0, 1, …, M},其中lk+1为系统的最低可用状态,l为系统初始状态,k为任意状态。

由于一个系统所处状态总是由其组成元件的状态所确定,不妨记xi为第i个元件所处状态,即xi∈{0, 1, …, mi},于是系统所有元件状态构成一个状态向量x=[x1, x2, …, xn],则一定存在一个系统状态s∈{0, 1, …, M}及从部件状态到系统状态的映射φ,满足

φ为系统状态的结构函数。

x为系统各元件所处状态构成的系统状态向量,ΩCi为第i个部件状态空间,ΩS为系统状态空间,ΩCn为系统元件的状态空间,φ为构成系统的元件状态组合到系统状态的映射,则有相关标记

为方便构建多状态单调关联系统的结构函数φ(x),首先给出状态向量序概念。

定义1  设x=[x1, x2, …, xn],y=[y1, y2, …, yn]是2个元件的状态向量。若单元状态向量满足“xiyi且至少存在一个元件i满足xiyi(i=1, 2, …, n)”,则状态向量x优于状态向量y,记作xy

下面给出MSCS的数学定义及性质[31]

定义2  对于一个由n个元件构成的多状态系统{C, φ},其中C表示元件,记xiyi是系统第i个元件所处的状态,则有

① 规范性(边界条件)。若系统所有部件失效,则系统处于完全失效状态;若系统所有部件处于完美状态,则系统处于完美状态,即有

② 可达性。对于系统的每一个状态k,至少有一个部件状态向量x=[x1, x2, …, xn]满足

③ 关联性。系统中每个元件均具有其特定作用,不存在无关元件,即系统中不存在不关联元件。若标记元件状态向量

则关联性应用数学方法可描述为:若αiβi,则φ(αi, x)≠φ(βi, x)。

④ 单调性。部件性能改进不会导致系统性能恶化,即系统元件的状态函数φ(x)是单调增的。若2个部件状态向量满足序xy,则系统状态向量满足φ(x) > φ(y);若向量序xy,则系统状态向量满足φ(x)≤φ(y)。

通常,满足上述性质的系统{C, φ}称为多状态单调关联系统,结构函数φ(x)为单调关联结构函数。

2 可靠状态类与边界

考察系统所处状态的性能水平,需要分析对应系统性能水平下部件的状态组合,由于不同的部件状态组合可能使得系统性能处于同一个状态水平,从而需要找到同一个系统水平下各个不同元件所处状态的集合类,即状态等价类。不妨将部件状态向量空间划分为一系列等价类,每个等价类对应于系统的特定状态。

定义3  对于系统的任意状态k,称集合

为系统状态等价类。

根据假设条件,该系统具有单调关联性,从而单元状态的等价类ΩC(0), ΩC(1), …, ΩC(M)是一列不相交集,故有

不同顾客对象对于系统性能水平的要求不同,多态关联系统的可靠性可以理解为系统所处的状态不低于系统规定的性能状态。鉴于此,应用定义3从面向顾客要求的性能水平角度给出多态系统的可靠状态等价类定义4。

定义4  对于规定的系统最低可靠性状态k,标记系统状态不低于k的元件状态集合表示为等价类

称等价类ΩCk+为合格状态的可靠状态类。

显然可靠等价类ΩC0+, ΩC1+,…, ΩCM+是一递增序列集合,将元件状态空间ΩCn划分成M+1个相包含的等价类关系,即

由于给出的等价类分类中元素随着组成部件的增加会快速增加,为方便计算,下面给出主导每一个等价类中的边界元素定义。

根据状态等价类定义知,任一个可靠等价类可能包含不止一个状态组合,而且可能有些状态组合对系统可靠性评估计算时是冗余的,导致在系统结构函数的简化过程中会出现无关的元件状态向量,为此给出控制状态类的边界。

定义5  给定某个系统状态k,部件向量x=[x1, x2, …, xn]∈ΩCk+,若对于任一个部件状态向量y=[y1, y2, …, yn]≺ x,均有

称向量x为可靠状态类ΩCk+中的主控边界点。

基于已给出的假设和定义,多态单调关联系统在水平k时的可靠性可表示为

根据定义5给出的主控边界点定义,表明边界点的作用是用较少的等价类元素控制和主导等价类中其他元素,避免重复计算而使得计算量大大减少。

3 单调MSCS可靠性

要获取单调关联多态系统的结构函数,需要将二元逻辑运算扩展到多元逻辑运算,利用离散函数相关定义,首先给出逻辑运算的析取形式。

3.1 离散函数析取运算式

根据离散函数的析取运算,对于任意实数uv,二元逻辑运算可以被延伸为下述析取运算形式:

为了将逻辑运算应用于多状态变量,需要将二元逻辑运算扩展到n元逻辑运算,下面给出二元变量集合运算{u1, u2, …, un}为

对于一个二元系统,考虑系统元件只有2个状态,若二元部件“成功”,则xi取值1,否则取值0,从而对应的指示函数I(xi=1)=xi,否则I(xi=0)=1-xi。于是根据枢轴量分解式,元件i的结构函数φ(x)可表示为“析取”范式形式:

(1)

式中:1i和0i表示第i个元素取值为1和0;若xi=α,则指示变量I(xi=α)=1,否则指示变量I(xi=α)=0。

从而根据式(1),多状态系统的结构函数枢轴量分解可以表示为如下“析取”范式形式[26]

(2)

式中:元件i的最低状态为0,最高状态为mi。显然,式(2) 给出了单个元件的结构函数“析取”形式,于是对于一个由n个子单元构成的多态单调关联系统而言,根据定义5,其结构函数枢轴分解可以表示为“析取”范式形式[26]

(3)

显然式(3) 给出了一个多态系统结构函数表示形式,但随着状态数目的增加,结构函数的复杂程度会快速增加。

3.2 边界点结构函数

从式(3) 知,若要计算一个单调关联多态系统结构函数,需要计算所有可能组合表达式,这是极其繁琐的,需要寻找新方法优化结构函数,为此将最小路集基本概念推广到MSCS,给出MSCS的最小路结构函数表示形式。

一个最小路集是一个确保系统正常工作的最少部件集合。一个系统通常有多个最小路集,不妨标记Pj是该系统的第j个最小路,j=1, 2, …, pp为系统的最小路集数,则一个二元关联系统结构函数可表示为

记最小路集中所有的部件正常取值1,否则取值为0。由于一个系统正常运行的充要条件是至少有一个最小路中所有部件正常运行,从而该系统的二元结构函数可表示为

从等价类和主控边界点定义知,一个最小路实质上是一个二元系统中状态1的一个边界点,由此可以将二元结构函数拓广到多态关联系统的结构函数。记Lk+为元件状态等价类ΩCk+的边界点数,LB(k+)为等价类ΩCk+中的边界点集,为等价类ΩCk+的第r个下边界点,为下边界点中第i个部件对应状态,r∈{1, 2, …, Lk+},k∈{0, 1, …, M},且有

为第r上边界点的结构函数,φU(x)为上边界点关联多态系统的单调结构函数。就可靠等价类而言,系统每一个状态对应一个边界点,代表系统处于所要求状态的最小路。从而MSCS的结构函数形式为

(4)

考虑系统在不低于某个状态下运行,关于下边界点中的元件状态可以用指示变量来描述,如高于或等于指定状态工作时,记为1,否则记为0,于是下边界点的结构函数可以定义为

(5)

式中:若x中所有部件状态小于等于边界点中相应部件状态,那么边界点的结构函数等于1,否则为0。

若将各个下边界点的结构函数式(5) 代入系统的结构函数式(4),可以得到MSCS的结构函数形式为

(6)

式(6) 为使用边界点的系统结构函数,通过使用第i个子单元状态与边界点中第i个元素进行逻辑比较,获取指示函数值。

为便于逻辑代数运算,可利用德摩根律,将式(6) 重新表示和描述。首先不妨引入记号:

则式(6) 可表示为

为求MSCS的可靠性,Lisnianski[27]和Liu[30]等给出了系统状态等价类的边界问题,以下简记为L-L方法, 该方法的结构函数形式为

(7)

式中:为第i个元件的第w个下边界点;Lk为等价类ΩCk中的边界点个数。

3.3 MSCS可靠度计算

对于一个MSCS,其可靠性可定义为在指定的时间和环境条件下,系统在一个指定或更高状态下执行任务的概率,从而MSCS以状态k或更高状态执行任务的可靠性可表示为

(8)

式中:k=0, 1, …, Msi∈{0, 1, …, mi},指示变量

若部件寿命具有统计独立性,则有

(9)

由式(8) 可以观察到,计算Rk需要计算所有向量下的系统结构函数,随着系统状态的增加复杂程度快速增加。若应用式的最小析取范式,MSCS的可靠性计算会有所简化。

事实上,应用系统状态为k时的系统状态等价类ΩCk+的主控边界点,可以得到每个可靠状态等价类的边缘向量,该向量支配所有使得系统状态为k或更高的其他向量,这意味着仅仅需要用于计算可靠性RkΩCk+中的主控边界点边缘向量,省却了L-L方法中许多不需要计算的冗余边界点。具体地,

若给出运算标记

则上述可靠度计算式可重新分别简记为

(10)

显然,在式(10) 的运算过程中,需要用到2个指示函数乘积问题。为计算Rk,首先给出其运算规律:

(11)

式中:uv是实数。基于规则式(11),指示函数连乘的期望运算为

(12)

式中:pi, si为第i个元件处于状态si的概率。将式(11)、式(12) 代入式(10),系统处于不低于状态k下运行的可靠性Rk可通过式(13) 进行计算:

(13)

而应用L-L方法,基于边界点计算系统处于状态k运行的可靠性表达式为

(14)

式中:ΩCkw个下边界点第i个元素;Lr为等价类ΩCk的上边界点集。

3.4 系统性能效用

对于系统设计者和使用者而言,多态系统处于某一个状态时的概率具有重要指导意义。根据式(13) 和式(14),系统处于某个固定状态k时的可靠性可表示为

(15)

进一步,根据系统所处每一个状态的概率,系统所处平均状态可表示为

(16)

事实上,系统开始进入使用或贮存时的可靠性可表示为R0=Pr{φ(x)=M}=RM,从而若此多状态系统处于状态k时的可靠度包含有初始可靠性,那么系统仅仅因为本次使用或贮存而产生的可靠度可表示为

根据已给出的定义和计算方法,等价类ΩCk+将不低于状态k的向量分组,每一个可靠状态等价类的主控边界点掌控所有其他向量,这些向量对应系统状态不低于状态k,从而主控边界点的应用可以减少MSCS可靠性的计算复杂性。

工程上,一个负效用函数可以衡量顾客偏好下的效用损失,经济损失与系统完美性能和当前状态差量密切相关,即若一个系统在最佳状态时,则顾客的负效用度达到最低。通常应用一个指数负效用函数去度量这种关系[29]

式中:ρβ为系统退化参数。当系统处于完美工作状态时,负效用值等于0;当系统完全失效时,系统负效用值为ρ[exp(βM)-1]。应用该函数可以计算出该系统的期望负效用值,具体为

(17)

事实上,式(17) 的负效用能够刻画顾客角度的不满意程度,对于复杂系统可靠性设计具有一定的指导意义。

4 算例分析

下面给出一个某型号航空发动机系统的算例分析,考虑该整机系统有多个状态,其子系统也具有多个状态,应用本文提出的方法计算系统的可靠性。某型号双转子航空发动机系统结构如图 1所示。

图 1 双转子航空发动机系统 Figure 1 Twin-rotor aero engine system

根据图 1(d)中可靠性框图,假设各个单元状态列于表 1~表 4, x1x2x3x4分别为系统各单元所处状态,根据这些子单元状态,验证所提出方法和原始方法的算法比较。

表 1 压气机单元A状态概率 Table 1 State probability of compressor A
State description Boost ratio Contributions State x1 Probability
Total failure 0~7 0 0 0.02
Partial failure 8~9 100 1 0.04
Perfect function 10~12 200 2 0.94
表 2 主燃烧单元B1状态概率 Table 2 State probability of main combustor B1
State description Failure mechanism Contri-butions State x2 Proba-bility
Total failure Failed ignition 0 0 0.01
Partial function Successful ignition/Unreliable combustion 60 1 0.11
Perfect function Successful ignition success/Reliable combustion 120 2 0.88
表 3 加力燃烧单元B2状态概率 Table 3 State probability of afterburner B2
State description Failure mechanism Contri-butions State x3 Proba-bility
Total failure Failed ignition 0 0 0.01
Partial function Successful ignition/Unreliable combustion 80 1 0.08
Perfect function Successful ignition/Reliable combustion 160 2 0.91
表 4 涡轮单元C状态概率 Table 4 State probability of turbine C
State description Failure mode Contri-butions State x4 Proba-bility
Total failure Creep/High and low cycle fatigue fracture 0 0 0.01
High failure Blade tips drop/Abrasion/Corrosion/Oxidation 70 1 0.06
Low failure Low abrasion/Corrosion/Oxidation 150 2 0.13
Perfect function No surface and global failure 200 3 0.80

在航空发动机系统中,表征压气机性能好坏的主要参数有[32]:空气流量、增压比、效率和喘振裕度。由于增压比为压气机出口气流压强与其进口气流的压强之比,总增压比的高低,在设计时根据特定型号发动机的需要来确定,它是影响涡轮喷气发动机工作性能的一个重要的循环参数,对发动机的单位推力和耗油率有较大的影响。工程上,总增压比越高,发动机性能就越好(推重比大、耗油率低)。考虑某先进军用涡轮喷气发动机的总增压比为8~12,给出状态分类如表 1所示。

由于发动机的燃烧室的功能是把燃料的化学能给释放出来,转换为热能,使气体的总焓增大,提高燃气的膨胀做功能力,其状态好坏,直接影响发动机的工作性能。而燃烧室主要由主燃烧室和加力燃烧室构成,主燃烧室位于压气机和涡轮之间,而加力燃烧室位于涡轮后喷管前,是为较短时间内增大发动机推力而设置的[32]。下面就燃烧室工作原理,将这一部分分成2个子单元(主燃烧单元B1,加力燃烧单元B2,如图 1(b)图 1(d))所示,根据点火可靠、燃烧稳定与燃烧完全等划分为3个状态,具体数据见表 2表 3

涡轮的主要目的是将气流的能量转换为机械能,高温高压燃气在涡轮内膨胀,向外输出功带动压气机,气流流过时产生作用力,对转子叶片作功使其转动,而将气流的能量转换成机械能输出[32]。由于涡轮转子叶片是在高温燃气包围下工作,不仅承受自身气动力、离心力、热应力和振动应力等作用,而且要抵制高温燃气的冲刷、氧化与腐蚀作用,从而产生磨损、腐蚀和高温氧化等表面失效,以及蠕变、高低周疲劳断裂等整体失效模式,于是涡轮转子叶片的工作状况对航空发动机的运行性能与可靠性起着决定性作用。根据这些失效模式和机理,考虑涡轮转子具有4个不同状态。

根据航空发动机系统结构(如图 1(a)所示)以及工作原理(图 1(b)所示),整个发动机系统的性能状态输出,考虑由图 1(d)中框图结构形式输出。考虑整个航空发动机推动力输出符合下列公式

(18)

式中:S为系统推动力输出量;a为压气机单元功能贡献量;b1为主燃烧室单元B1功能贡献量;b2为加力燃烧室单元B2功能贡献量;c为涡轮转子单元功能贡献量。贡献量为整体推力贡献的单位分量,主要是用来方便确定系统状态。

4.1 状态类与边界点

根据发动机系统结构状态情况的定量描述,以及式(18)、图 1(d)表 1~表 4相关数据。为方便,用(x1x2x3x4)表示系统状态输出,则系统状态等价类的计算结果展示于表 5

表 5 系统输出的状态等价类ΩCk Table 5 State equivalence ΩCk of system output
State k Output Equivalence ΩCk
0 0 0 (0000), (0001), (0002), (0003), (0100), (0200), (0010), (0020), (1000), (2000), (0011), (0012), (0013), (0021), (0022), (0023), (0101), (0102), (0103), (0201), (0202), (0203), (0110), (0120), (0210), (0220), (1001), (1002), (1003), (2001), (2002), (2003), (1010), (1020), (2010), (2020), (1100), (1200), (2100), (2200), (0111), (0112), (0113), (0121), (0122), (0123), (0211), (0212), (0213), (0221), (0222), (0223), (1110), (1120), (1210), (1220), (2110), (2120), (2210), (2220)
1 1 60 (1101), (1102), (1103), (2101), (2102), (2103)
2 70 (1011), (1021), (1111), (1121), (1201), (1211), (1221), (2011), (2021), (2111), (2121), (2201), (2211), (2221)
2 3 80 (1012), (1013), (2012), (2013)
4 100 (1022), (1023), (1112), (1113), (1122), (1123), (1202), (1203), (1212), (1213), (1222), (1223)
3 5 120 (2202), (2203)
6 140 (2112), (2113)
4 7 150 (2022), (2122), (2212), (2222)
8 160 (2023)
5 9 200 (2123), (2213), (2223)

进一步,不妨将上述9个等价类按照贡献量输出情况进行适当合并,简化为5个等价类。依据等价类定义3,表 5中给出了细分9个等价类时的边界点,显然从表 5可以看出等价类中边界点个数要比等价类所有等价元素个数少很多,这也说明了边界点方法可以减少计算量。根据定义4、定义5,以及表 5中数据,下面给出上等价类如表 6所示。

表 6 系统输出的上等价类ΩCk+ Table 6 Upper equivalence ΩCk+ of system output
k+ Output Equivalence ΩCk+
0+ ≥0 ΩC0ΩC1ΩC2ΩC3ΩC4ΩC5
1+ ≥70 ΩC1ΩC2ΩC3ΩC4ΩC5
2+ ≥100 ΩC2ΩC3ΩC4ΩC5
3+ ≥140 ΩC3ΩC4ΩC5
4+ ≥160 ΩC4ΩC5
5+ ≥200 ΩC5

根据定义5以及表 5表 6中相关数据,下面给出状态类下边界点以及上状态类的下边界点相关数据,如表 7所示。

表 7 系统输出的下边界点 Table 7 Lower boundary points of system output
ΩCk Boundary points ΩCk+ Main boundary
ΩC0 (0000) ΩC0+ (0000)
ΩC1 (1101), (1011) ΩC1+ (1101), (1011)
ΩC2 (1012), (1202) ΩC2+ (1012), (1202)
ΩC3 (2202), (2112) ΩC3+ (2202), (2112), (2022)
ΩC4 (2022), (2212) ΩC4+ (2022), (2212)
ΩC5 (2123), (2213) ΩC5+ (2123), (2213)

根据以上计算得到的边界点数据,应用文中给出的分析方法计算多态系统的可靠度。

4.2 MSCS的结构函数运算

应用析取式(6) 中的结构函数计算方法,下面给出基于表 7中边界点数据的结构函数表达式。

基于表 7中边界点及式(6),给出主控边界下结构函数的框图形式如图 2所示。

图 2 新方法框图形式 Figure 2 Diagram form of new approach

为便于应用,图 2可表示为

(19)

若应用表 7中状态类边界点,以及式(7) 中的L-L方法,则析取形式的结构函数应为

(20)

为验证结构函数的有效性,下面给出单元状态向量[2, 2, 0, 3]时系统所处状态计算。根据式(19) 和式(20) 有

事实上,根据表 5中状态等价类的划分,单元状态向量[2, 2, 0, 3]对应的系统状态为3。这表明基于状态等价类的主控边界点能够完全控制所有其他状态向量。

4.3 MSCS的可靠性计算

为演示新方法的有效性,考虑新框图算法和L-L方法,应用边界点和表 7中相关数据,计算各状态下可靠度。下面仅给出状态1的可靠度计算过程,其他计算结果参见表 8

表 8 系统可靠度计算结果 Table 8 Results of system reliability
Reliability R1 R2 R3 R4 R5
New 0.970 1 0.910 3 0.872 5 0.857 1 0.730 4
L-L 0.970 1 0.910 3 0.872 5 0.857 1 0.730 4

基于表 7中上等价类的下边界点数据,应用图 2的框图结构算法以及式(13),系统处于状态1的可靠度应为

若应用表 7中一般等价类的边界点数据及式(14),L-L方法析取形式下系统处于状态1的可靠度应为

显然析取形式下,应用L-L方法的计算工作量较大,而本文提出的方法较为简洁,减少计算复杂度。为便于分析比较,将上述计算结果列于表 8

表 8中数据知,提出的新方法与L-L方法计算结果均为一致。上述计算结果也表明,若整个发动机系统处于状态4,即次完美状态,则压气机的工作状态必为完美状态,而涡轮至少处于低度磨损与腐蚀、轻度高温氧化状态,而主力和助力燃烧室至少一个子单元处于完美状态。

根据表 8中计算结果,系统处于某个特定状态k的概率应为

从而系统状态的期望性能水平为

即系统可靠性性能平均状态水平为4.340 3。

进一步,根据式(17),不妨取c=100, β=0.5,基于顾客角度,该航空发动机系统的负效用水平应为

系统完全失效时的最大负效用为200.593 9,表明系统性能需要改进。

5 结论

1) 鉴于工程复杂系统处于多个状态运行的现实问题,将多元离散函数理论引入结构函数描述系统状态,给出了单调关联系统的数学概念,状态等价类,控制等价类的主导向量等相关定义与逻辑方法。

2) 基于离散函数理论的析取与合取运算的代数规则,将二元逻辑运算推广到多元逻辑运算,给出了多状态系统的析取与合取范式,推导了系统多状态边界点的结构函数。为便于运算,提出了集合运算的德摩根律方法,简化了边界点下系统的结构函数和可靠度表达式。为评估整个系统所处的平均性能,给出了系统的期望状态计算式,考虑系统面向顾客的偏好与需求,建立了基于负效用函数的性能效用模型。

3) 为验证模型的有效性与合理性,将一个某型航空发动机系统进行框图分解,基于各个子单元对系统的贡献度,给出了系统等价类,获取了系统状态相关的上下边界点数据。为便于运算,算例中构建了新型的框图式算法,给出了析取与合取形式下的结构函数表示,大大减少了计算复杂度,增加了问题描述的清晰度。通过新框图算法和德摩根律方法,降低了可靠度的计算复杂程度。

4) 通过算例分析,基于本文提出的状态等价类的主控边界点数据,以L-L方法作为比较对象,提出的方法能够寻找到完全控制等价类中其它向量,而且计算量简洁许多,并不需要计算所有满足≥0状态的所有边界点,只需要计算控制其他边界点的状态等价类中主控边界点即可,大大减少计算复杂度。

5) 本文给出的状态等价类的主控边界点方法,推广了L-L方法,通过实例验证了提出方法的有效性与合理性。然而随着单元数和子单元状态数的增加,复杂度也快速增加,可以进一步考虑使用计算机,给出系统状态和可靠度的计算程序以便于应用。

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http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2017.220868
中国航空学会和北京航空航天大学主办。
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文章信息

张永进, 孙有朝, 张燕军
ZHANG Yongjin, SUN Youchao, ZHANG Yanjun
基于聚类状态主控边界点的单调多态关联系统可靠性分析
Reliability analysis for multi-state coherent system with monotonic components based on pivotal boundary points of clustering states
航空学报, 2017, 38(8): 220868.
Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(8): 220868.
http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2017.220868

文章历史

收稿日期: 2016-10-19
退修日期: 2017-02-26
录用日期: 2017-04-05
网络出版时间: 2017-04-19 13:31

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