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引入DMD方法研究有/无控气流分离的动态结构
洪树立1,2, 黄国平1,2     
1. 南京航空航天大学 能源与动力学院, 南京 210016;
2. 南京航空航天大学 江苏省航空动力系统重点实验室, 南京 210016
摘要: 为分析非定常流动控制技术抑制分离流的机理,对弯曲扩压通道的试验模型进行了数值模拟,针对扩压通道在无控和采用最佳射流频率状态下的计算结果引入了动力模态分解(DMD)技术进行分析。通过DMD技术能够将包含时空信息的扩压通道复杂流场进行分解,捕获流场包含的动力信息和对应的拟序流动结构。将无控和有控流场分解的结果进行对比分析后表明:采用有效激励措施时,和脱落涡频率一致的涡系对流场的影响更加突显,流场整体上表现得更加有序;非定常控制抑制了一部分涡的增长,使得各模态整体上更加稳定;而有控流场占主导地位的涡系结构相比无控流场较为有序,且对主流区未形成明显的直接影响。
关键词: 流动分离     非定常     流动控制     拟序结构     动力模态分解(DMD)    
Introducing DMD method to study dynamic structures of flow separation with and without control
HONG Shuli1,2, HUANG Guoping1,2     
1. College of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China;
2. Jiangsu Province Key Laboratory of Aerospace Power System, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Naning 210016, China
Received: 2016-10-21; Revised: 2016-11-18; Accepted: 2016-12-15; Published online: 2017-01-12 11:17
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (51176072)
Corresponding author. HONG Shuli, E-mail:hong_0815@163.com
Abstract: To analyze the mechanism of depressing flow separation with unsteady flow control technology, a numerical simulation for the experimental model of the divergent channel is carried out. Dynamic mode decomposition (DMD) technology is adopted to study the flow field of the curved divergent channel with and without pulsed jet control. With DMD technology, the complex flow field of the divergent channel containing spatial and temporal information can be decomposed hierarchically, and dynamical information as well as spatial coherent structure corresponding to the vortex can be captured and rendered. A comparison of the decomposed flow fields with and without control shows that with effective excitation, the coherent structure with the frequency approximating the frequency of the shedding vortex becomes more dominant in the initial flow field, and the overall flow field turns out be to more ordered. Some coherent structures, decomposed from flow field without control, are suppressed to make all modes more steady. The dominant structure of the controlled flow field has no obvious influence on the main flow.
Key words: flow separation     unsteady     flow control     coherent structure     dynamic mode decomposition (DMD)    

航空动力系统压缩部件通道内存在着较大的逆压梯度,容易产生流动分离并形成大尺度的湍动涡,尤其在航空动力系统高负荷的发展下,使得流动更加恶化,影响了其效率和稳定工作范围。为了改善该现象,越来越多的研究者开始关注于采用流动控制的方法[1]。相比于定常流动控制,非定常流动控制往往用较小的能量注入起到相同的效果。尽管非定常流动控制取得了许多有效的成果并获得了一些控制规律[2-4],然而对于其内在机理的认识还有欠缺。尤其是像航空动力系统的压缩部件,分离流、湍动涡等常跨越了大尺度和频率范围[5-6],这种内部的复杂流动增加了对其抑制的难度,因此有必要进一步加强对非定常流动控制机理的研究。而对于各种涡系互相耦合的复杂流动,为研究分析带来了困难。研究者发现,这种看似复杂无序的流动在时空的演化过程中具有某种有序的规律,存在着一些能够反映流场内在规律的本质特征[7-8]

为了得到这种流动的拟序结构,可以将时空流场包含的信息进行解耦。近年来研究较多的是本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD),其基本思想是寻找一组基元的抓拍“Snapshot”流场,可被重构为这组正交基与各自的时间权重系数(随时间分布的权重系数)的乘积之和。通过POD分解,能够将原时空流场分解为具有一定能量等级的拟序结构。此方法常被用于各类的流场分析,近年来对于非定常流动控制机理的研究也有较好的应用[9-10]。而POD在提取流场时往往通过某种统计平均得到,丢失了系统的相位信息,具体反映在POD分解的某个模态依旧参杂了不同频率的涡系结构,因而难以在动力学层面解析原流场。这使之在应用中也遇到了一些问题,例如不能很好地捕获能量不高的小扰动[11];高阶模态下掺杂的低频信息被忽略[12]

与POD不同的是,动力模态分解(Dynamic Mode Decomposition, DMD)是从动力层面对流场进行分解和提取,分解后得到的各阶模态在时间上是互不相关的。DMD方法是由美国普林斯顿大学的Rowley等[13]和巴黎综合理工大学的Schmid[14]首次提出的,其思路来源于非线性系统的Koopman分析。Koopman分析的思路是将对原系统的研究转移到对Koopman算子的研究上,而该算子则包含了原动力系统的所有信息[13]。DMD方法就是Koopman分析的一种近似处理,这种技术提供了一种新的方法和视角去描述流动的拟序结构。

近年来DMD方法已经成功运用于一些特征较为明显的流动结构。Schmid[15]运用DMD方法提取了射流中与频率相关的占主导地位的动力学模态;Zhang等[16]将POD和DMD方法运用于圆柱绕流,指出对于流动特征单一的单圆柱绕流,尽管POD方法也捕获了卡门涡街,但是其高阶模态的物理意义难以解释,而DMD分解得到的高阶模态就可以认为是卡门涡街的“谐波”;而对于双圆柱绕流,其具有2个重要涡街,POD捕获的涡结构掺杂了其他涡系,而DMD清晰地捕获了2个涡系;Seena和Sung[17]研究了空腔流,通过DMD分析发现当来流附面层达到一定条件时,会引起共振现象(Hydrodynamic Resonances),使得空腔内附面层的结构和来流附面层的结构在频率和波数上都一致;Nastase等[18]研究了三维的叶状射流,通过DMD分析发现Kelvin-Helmholtz结构是其主要形态。目前来说,DMD方法主要应用于分析典型的周期性非定常流动,而对较为复杂的非定常拟序结构流动的应用还很少见到报道。

本文采用DMD方法,对扩压通道内流场在无控和采用非定常流动控制下的状态进行分析研究,提取扩压通道内受控前后流场的拟序结构,并有效使用DMD分析结果探讨了非定常激励对拟序分离流的控制机理。

1 DMD基本原理与实现方法

采用DMD方法可以对海量的试验数据或数值模拟结果进行处理分析,其算法推导过程参见文献[13-14],本文主要介绍其基本原理和实现方法。

1.1 时空速度场的正切近似

采用抓拍法,可以将一个时空速度场写成向量矩阵形式:V1N=[ v1 v2vN],N为时间步数,vj为某一时刻的空间速度场,vjvj+1之间的时间步长为Δt。对于拟序的流动结构可以认为某时刻的流场与其前一时刻的流场之间存在一定的关系,假定后一时刻的速度场能用前一时刻的速度场进行近似线性表示,即

(1)

式中:A为系统矩阵,反映了前后2个时刻流场之间的关系。对于非线性系统,上述假设是正切近似的,而对于线性系统则严格成立,因此时空流场可以表述为

(2)

式中:V1N=[v1v2vN-1];V2N=[v2 v3vN]。

1.2 系统矩阵的物理意义

实际上式(2) 的形式和状态空间向量矩阵的表达式形式一样,只是将对时间的导数换成了对时间的推进,这相当于将多自由度系统的自由振动分析应用在流场的动力分析上[19]

图 1[19]为二自由度无阻尼系统(图中muk分别代表质量、位移、刚度系数,其下标为区分序号),其振动微分方程为:,其中MuK分别为质量矩阵、位移向量和刚度系数矩阵,对于一维的系统,矩阵MK则退化为质量m和刚度系数k即为其固有频率,由此可知系统的动力信息就包含在系数矩阵中。并且通过求解系数矩阵的特征值和特征向量就可以得到系统各阶固有频率和对应的固有振型,更多的相关信息可以参考文献[19]。

图 1 二自由度无阻尼系统[19] Figure 1 No-damping system of two-degree-of-freedom[19]

对于流场,式(2) 中A就包含了原时空流场的动力信息,其特征值反映了各流场空间点的速度增益(或阻尼)和比率变化的频率信息;A的特征向量反映了相应向量下的流场信息,相当于多自由度系统的固有振型。

1.3 系统矩阵降维处理与分解

一般来说A的维度较高(依赖于流场数据点),因而很难直接进行求解,而应用Arnoldi方法[20],可以将A进行降维处理,把求解A的特征值和特征向量转换到求解A的伴随矩阵S上,S的表达式为

(3)

伴随矩阵S只有最后一列是未知的,该列与前N-1个流场乘积的线性组合就反映了后一时刻的流场,可以得到

(4)

式中:r为残差向量;eN-1为单位向量。根据A在降维过程中残差最小化的方法,可以求解SS=R-1QHV2NQRV1N-1QR分解,即V1N-1=QR。考虑到S的特殊性,其中一种可行的S对角化形式为

(5)

式中:Λ为主对角元素为λ1, λ2, …, λN-1的对角矩阵;T为范德蒙德矩阵(Vandermonde Matrix),且Tijλij-1。这样就得到了S的特征值矩阵Λ和特征向量矩阵T-1[13]

定义矩阵Φ

(6)

则式(4) 可以变为

(7)

Φ的分量为φ1φ2, …, φN-1,从式(6) 可以看出Φ为原流场数据作了一次和特征值相关的变换,其分量φi就具有和流场相关的物理特征,并可称之为第i阶动力模态(习惯上通常用模态称呼系统的运动模式,DMD方法的提出者Schmid将其称之为动力模态[14])。V2N的分量

(8)

式中:λiS的第i阶模态φi对应的特征值,式(8) 即为流场的分解形式。S的特征值除去对应于时均流场为实数外,其余的特征值一般都为复数,设λi=eωiΔt,则将其以对数的形式进行表达:ωi=(lnλi)/Δt=ωir+iωii,其实部ωir代表了对应的模态增加或衰减的速度,虚部ωii为相位速度,包含了和时间相关的频率信息,每一阶模态的频率fi=ωii/2π。图 2给出了DMD的算法及具体过程[21]

图 2 DMD具体过程[21] Figure 2 Detailed process of DMD[21]

DMD技术将时空流场结构做线化近似,并进行降维处理,通过提取流场的主要动力信息,为研究复杂流场和不稳定性触发的拟序流动结构提供了认识相关机理的工具。

2 典型通道内气流分离及其控制 2.1 数值模拟方法

本文引入DMD方法,尝试分析典型通道内气流分离的动态拟序结构,及非定常激励对其流场结构的作用。为此,这里以一个前期有较多研究基础的拐弯扩压通道作为流场研究对象。在扩压通道弯角处设置了叶片,并针对叶背处出现的二次流采用无源脉冲射流控制技术进行抑制。利用叶盆(对应于大气高压一侧)和叶背处(对应于通道内低压一侧)的压差驱动流体经过叶片缝隙,并通过缝隙中转子的运动形成非定常有质量脉冲射流,最大射流速度为35 m/s,具体结构如图 3所示。

图 3 扩压通道结构图 Figure 3 Structure diagram of divergent channel

采用大涡模拟进行数值仿真,边界条件根据试验给定,进口为大气条件,出口设定背压,保证进口马赫数Ma=1,采用双时间步长进行加速求解,时间步长为1×10-5 s,计算域及坐标设置如图 4所示。通过对比不同状态下脱落涡频率、相对总压损失系数、平均压力等参数表明试验和数值模拟结果具有较好的吻合度,因此本文采用的数值模拟具有一定的可信度,更多相关的试验和数值模拟介绍可以参考文献。

图 4 扩压通道计算域 Figure 4 Computational domain of divergent channel
2.2 整体控制效果

采用相对总压损失系数衡量控制效果,相对总压损失系数定义为ωc=(ω -ωo)/ωoω为有控流场的总压损失系数,其表达式为ωp*/Eop*为进出口总压差,Eo为进口动压头),ωo为无控流场的总压损失系数。图 5给出了相对总压损失系数随折合射流频率F(F=fc/f0fc为激励频率,f0为脱落涡频率,计算所得f0=324 Hz)的变化。用平均动量衡量射流强度,所取的非定常射流平均强度约为主流的0.3%,最高强度为定常控制时的射流强度。通过对比相对总压损失系数表明,当非定常射流频率和脱落涡频率一致时控制效果最佳,和试验的结果一致[22-23],此时总压损失下降了5.4%,并且相比于定常控制,非定常控制注入的能量更少,达到的效果却更加理想。

图 5 控制效果对比 Figure 5 Contrast of control effect
3 基于DMD的弯曲通道流场分离及其控制分析

基于DMD原理,对z方向(垂直于xOy平面)上的涡量Ωz进行DMD分解,Ωz的表达式为

(9)

式中:uyux分别为yx方向上的速度分量。有控流场和无控流场均选取相同的时间步长Δt和时间步数N,时间步长Δt取为1×10-4 s,时间步数N取为300,共记0.03 s,约为7个分离涡准周期。

3.1 全局能量和特征值标准偏差分析方法

φiV1N-1 T-1的分量,其2范数||φi||可以反映流场的全局能量(提出DMD的原文称之为Global Energy Norm[13-14],文献[24]将其称之为相干幅值,但从其物理意义来看,||φi||和能量相关,因此称其为全局能量可能更为合适)。

特征值标准偏差的定义为

(1)

式中:||λi||为复特征值的模。对于中性稳定的流动,大部分特征值都落在复平面距离原点幅值为1的单位圆上,这些落在单位圆上的模态对应着较为稳定的结构,落在单位圆内的模态对应的结构在时间上呈衰减趋势,反之呈壮大趋势。因此,特征值的模与1的标准偏差σ可以用来衡量各模态整体上的稳定程度。

3.2 非定常控制对全局能量分布的影响

图 6给出了有控和无控流场全局能量和频率的对应关系(频率为0的模态可以看作对时间平均的流场,其全局能量相比其他各阶高出一个量级,图中并未给出)。从图中可以看出,随着频率的增加,全局能量大致呈递减趋势。

图 6 有/无控流场的全局能量分布 Figure 6 Distributions of global energy norm of flowfield with and without control

无控流场的全局能量峰值所在频率为373 Hz,有控流场全局能量峰值位置为331 Hz,相比无控流场其峰值点的频率更加接近脱落涡频率,说明尽管无控流场中脱落涡占了主导地位,但是掺杂了其他一些对流场有重要影响的涡系结构。此外有控流场全局能量最大值相比其他频率以及无控流场各频率对应的全局能量要高出一个数量级,表明施加非定常控制后,通过不同模态间的能量转移最终使得流场中占主导地位的涡系结构更加突出,表明流场更加有序。

3.3 非定常控制对整体稳定性的影响

图 7给出了流场施加非定常控制前后特征值的分布(图中λReλIm分别表示特征值的实部和虚部),无控流场DMD分解得到的特征值有46个模态落在单位圆外,103个落在单位圆内,受控后有39个模态落在单位圆外,126个落在单位圆内,表明非定常控制抑制了一部分涡的增长,呈衰减趋势的涡系增多。

图 7 有/无控流场的特征值分布 Figure 7 Distributions of flow field eigenvalues with and without control

无控流场特征值标准偏差σ=0.059,有控流场特征值标准偏差σ=0.023,说明在施加非定常控制之后,各模态在整体上更加接近稳定的固定周期运动。

总的来说,通过DMD技术,可以让更多动力模态处于单位圆内,并使得特征值标准偏差减少,这都说明经恰当周期激励控制(F=1.0),流场能变得更为有序。

3.4 非定常控制对拟序结构的影响

采用DMD方法,可以把流场各涡系的动力学行为和相应的空间拟序结构相结合,以便更好地分析和描述原流场的特征。图 8为弯曲扩压通道的分离流场和施加恰当周期激励控制(F=1.0) 后流场的不同模态的涡量云图。对于无控流场,将频率为373、651、2 522 Hz对应的模态分别记为MODE A、MODE B和MODE C。对于有控流场,将采用DMD方法后各相近频率为331、643、2 517 Hz对应的模态分别记为MODE A′、MODE B′和MODE C′。

图 8 动力模态涡量分布 Figure 8 Vorticity distributions of dynamic modes

从DMD的结果可以看出,涡的空间尺度随着频率的增加有所减小。并且采用DMD方法,能够捕获有控和无控流场的主导涡系结构,即MODE A′和MODE A。对比图 8(a)8(b)中有控和无控的分解结果可以看出,MODE A′反映的空间涡系结构较MODE A更加均匀有序,并且MODE A中的涡结构较为混乱,在向通道下游演变的过程中影响到了主流区,这一点也反映在MODE B′和MODE B中。

采用DMD方法,能够较为明显地反映出施加恰当周期激励控制(F=1.0) 后流场的变化,并且可显示出各主要动力模态的流动结构及控制前后差异。因此,DMD方法可以为分析复杂拟序流动提供有效的技术途径。

4 结论

本文以弯曲扩压通道内分离流为研究对象,采用大涡模拟方法对脉冲射流抑制扩压通道内流动分离及施加周期性激励控制后的流场进行了数值仿真,并引入DMD动力模态分解法对计算的结果进行分析,得出如下结论:

1) 采用DMD分析方法可以有效捕获流场的动力信息并且显示其对应模态的空间涡系结构,分解所得的各阶模态随着频率的增加对应的空间尺度有所减小。

2) 通过DMD分解的频谱表明,相比于无控流场,有控流场分解所得与脱落涡频率一致的涡系结构所占的主导地位更加突显,反映出流场更加有序。

3) 非定常控制抑制了一部分涡的增长,呈衰减趋势的涡系增多,各模态在整体上更加稳定。

4) 无控流场占主导地位的涡系结构较为混乱,该涡在向下游演变的过程中会更多地影响到主流区,而有控流场占主导地位的涡系结构比较有序,且沿通道向下游发展影响到的主流相对减少。

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http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2016.120876
中国航空学会和北京航空航天大学主办。
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洪树立, 黄国平
HONG Shuli, HUANG Guoping
引入DMD方法研究有/无控气流分离的动态结构
Introducing DMD method to study dynamic structures of flow separation with and without control
航空学报, 2017, 38(8): 120876.
Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(8): 120876.
http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2016.120876

文章历史

收稿日期: 2016-10-21
退修日期: 2016-11-18
录用日期: 2016-12-15
网络出版时间: 2017-01-12 11:17

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